【文章內(nèi)容簡介】 的一個內(nèi)角為 60176。 ，一條對角線的長為 23，則另一條對角線的長為 ______________． 45.(2022 年 梅州市 )如圖 4， 把一個長方形紙片沿 EF 折疊后，點 DC、 分別落在 11 DC、 的位置 ． 若 65EFB??176。 ，則 1AED? 等于 _______度 ． 三．解答題 1．（ 2022年湖北十堰市） 如圖①，四邊形 ABCD是正方形 , 點 G是 BC上任意一點， DE⊥ AG于 點 E， BF⊥ AG 于 點 F. (1) 求證： DE－ BF = EF． (2) 當(dāng)點 G 為 BC 邊中點時 , 試探究線段 EF 與 GF 之間的數(shù)量關(guān)系， 并說明理由． D C B A E P B C E A D F A D C B 圖 3 O A E D C F B D1 C1 圖 4 第 16 頁 共 38 頁 (3) 若點 G 為 CB 延長線上一點，其余條件不變．請你在圖②中畫出圖形，寫出此時 DE、BF、 EF 之間的 數(shù)量關(guān)系（不需要證明）． 2．（ 2022 年山東 青島市 ）已知：如圖，在 ABCD 中， AE 是 BC邊上的高，將 ABE△ 沿 BC 方向平移，使點 E 與點 C 重合，得GFC△ ． （ 1）求證： BE DG? ； （ 2）若 60B??176。 ，當(dāng) AB 與 BC 滿足什么數(shù)量關(guān)系時，四邊形ABFG 是菱形？證明你的結(jié)論． 3．（ 2022 年佛山市 ） 如圖，在正方形 ABCD 中， CE DF? ．若 10cmCE? ，求 DF 的長． 4．（ 2022 年佛山市 ） （ 1）列式： x 與 20 的差不小于 0 ； （ 2）若（ 1）中的 x （單位： cm ）是一個正方形的邊長，現(xiàn)將正方形的邊長增加 2cm ， 則正方形的面積至少增加多少？ 5.（ 2022年佳木斯）如圖，將矩形紙片 ABCD 沿對角線 AC 折疊，使點 B 落到點 B′的位置， AB′與 CD 交于點 E. （ 1）試找出一 個與△ AED 全等的三角形，并加以證明 . （ 2）若 AB=8， DE=3， P 為線段 AC 上的任意一點， PG⊥ AE 于 G， PH⊥ EC 于 H，試求PG+PH 的值，并說明理由 . D F C B E A A D G C B F E 第 17 頁 共 38 頁 6. (2022 年達州 )如圖 7，在 △ ABC 中， AB＝ 2BC，點 D、點 E 分別為 AB、 AC 的中點，連結(jié) DE，將 △ ADE 繞點 E 旋轉(zhuǎn) 180? 得到 △ BCFD 的形狀，并說明理由 . 7．（ 2022 年中山） 如圖所示，在矩形 ABCD 中， 12AB AC? ， =20，兩條對角線相交于點 O ．以 OB 、 OC 為鄰邊作第 1 個平行四邊形1OBBC ，對角線相交于點 1A ，再以 11AB 、 1AC 為鄰邊作第 2 個平行四邊形 1 1 1ABCC ，對角線相交于點 1O ；再以 11OB 、 11OC 為鄰邊作第 3 個平行四邊形 1 1 2 1OBBC ??依次類推． （ 1）求矩形 ABCD 的面積； （ 2）求第 1 個平行四邊形 1OBBC 、第 2 個平行 四邊形 1 1 1ABCC 和第6 個平行四邊形的面積． 8 ． （ 2022 肇慶 ） 如圖 5 ， ABCD 是菱形，對角線 AC 與 BD 相交于 O ，30 6ACD BD? ? ?176。， ． （ 1）求證：△ ABD 是正三角形； （ 2）求 AC 的長（結(jié)果可保留根號） ． 9． （ 2022 肇慶 ） 如圖 ， ABCD 是正方形 ． G 是 BC 上的一點， DE⊥ AG 于 E， BF⊥ AG于 F． O D C B A 第 18 頁 共 38 頁 （ 1）求證： ABF DAE△ ≌ △ ； （ 2）求證： DE EF FB??． 10． （ 2022年廣西欽州 ） （ 1）已知：如圖 1，在矩形 ABCD 中， AF＝ BE．求證： DE＝ CF； A D C B 圖 1 F E 11.（ 2022 年 廣西 梧州 ） 如圖 ， △ ABC 中， AC 的垂直平分線 MN 交 AB 于 點 D，交 AC 于點 O， CE∥ AB 交 MN 于 E，連結(jié) AE、 CD． （ 1）求證： AD＝ CE； （ 2）填空：四邊形 ADCE 的形 狀是 ★ ． 12. （ 2022 年宜賓） 已知：如圖，四邊形 ABCD 是菱形，過 AB 的中點 E 作 AC 的垂線EF，交 AD 于點 M，交 CD 的延長線于點 F. （ 1）求證： AM=DM； （ 2）若 DF=2，求菱形 ABCD 的周長． 第 21 題圖A BCDEFM 13． （ 2022年日照市） 已知正方形 ABCD 中， E 為 對角線 BD 上一點，過 E 點作 EF⊥ BD交 BC 于 F，連接 DF， G 為 DF 中點，連接 EG， CG． （ 1） 求證： EG=CG； （ 2）將圖 ① 中 △ BEF 繞 B 點逆時針旋轉(zhuǎn) 45186。， 如 圖 ②所示 ，取 DF 中點 G，連接 EG，DB CAENM O A D E F C G B 第 19 頁 共 38 頁 CG． 問（ 1）中的結(jié)論是否仍然成立 ？若成 立，請給出證明；若不成立，請說明理由 ． （ 3）將圖 ① 中 △ BEF 繞 B 點旋轉(zhuǎn)任意角度， 如圖③所示 ，再連接相應(yīng)的線段，問（ 1）中的結(jié)論是否仍然成立？通過觀察你還能得出什么結(jié)論？（均不要求證明） 14.（ 2022 年河南 ） 如 圖 ，在 Rt△ ABC 中， ∠ ACB=90176。 , ∠ B =60176。 ， BC=2．點 0 是AC 的中點，過點 0的直線 l 從與 AC 重 合 的 位置 開始，繞點 0作逆時針旋轉(zhuǎn)，交 AB 邊于點 C 作 CE∥ AB 交 直線 l 于點 E，設(shè)直線 l 的旋轉(zhuǎn)角為 α . (1)① 當(dāng) α =________度時，四邊形 EDBC 是等腰梯形，此時 AD 的 長為 _________； ② 當(dāng) α =________度時，四邊形 EDBC 是直角梯形，此時 AD 的長為 _________； (2)當(dāng) α =90176。 時 ,判斷四邊形 EDBC 是否為菱形，并說明理由． 16． （ 2022 年孝感） 三個牧童 A、 B、 C 在一塊正方形的牧場上看守一群牛，為保證 公平合理 ， 他們商量將牧場劃分為三塊分別看守，劃分的原則是：①每個人看守的牧場面積相等；②在每個區(qū)域內(nèi)，各選定一個看守點， 并保證在有情況時他們所需走的 最大距離 ． ． ． ． （看守點到本區(qū)域內(nèi)最遠處的距離） 相等．按照這一原則，他們先設(shè)計了一種 如圖 1的 劃分方案：把正方形牧場分成三塊相等的矩形，大家分頭守在這三個矩形的中心 （對角線交點） ，看守自己的一塊牧場．過了一段時間，牧童 B 和牧童 C 又分別提出了新的劃分方案．牧童 B 的劃分方案如圖 2：三塊矩形的面積相等，牧童的位置在三個小矩形的中心．牧童 C 的劃分方案如圖 3：把正方形的牧場分成三塊矩形，牧童的位置在三個小矩形的中心，并保證在有情況時三個人所需走的最大距離相等． F B A D C E G 第 24 題 圖 ① D F B A D C E G 第 24 題 圖 ② F B A C E 第 24 題 圖 ③ 第 20 頁 共 38 頁 請回答： （ 1）牧童 B 的劃分方案中，牧童 ▲ （填 A、 B 或 C） 在有情況時所需走的最大距離較遠；（ 3 分） （ 2）牧童 C 的劃分方案是否符合他們商量的劃分原則？為什么？ （提示：在計算時可取正方形邊長為 2） （ 5 分） 17.（ 2022 年婁底） 如圖，在△ ABC 中， AB=AC， D 是 BC 的中點，連結(jié) AD，在 AD 的延長線上取一點 E，連結(jié) BE， CE. （ 1）求證：△ ABE≌△ ACE （ 2）當(dāng) AE 與 AD 滿足什么數(shù)量關(guān)系時，四邊形 ABEC 是 菱形？并說明理由 . 18.（ 2022 恩施市） 兩個完全相同的矩形紙片 ABCD 、 BFDE 如圖 7 放置， AB BF? ，求證：四邊形 BNDM 為菱 形． 20. （ 2022 山西省太原市）如圖， A 是 MON? 邊 OM 上一點， AE ON∥ ． （ 1）在圖中作 MON? 的角平分線 OB ，交 AE 于點 B ；（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法和證明） （ 2）在（ 1）中，過點 A 畫 OB 的垂線，垂足為點 D ，交 ON 于點 C ，連接 CB ，將圖形補充完整，并證明四邊形 OABC 是菱形． C D E M A B F N A O E N M 第 21 頁 共 38 頁 21. （ 2022 山西省太原市） 問題解決 如圖（ 1），將正方形紙片 ABCD 折疊，使點 B 落在 CD 邊上一點 E （不與點 C ， D 重合），壓平后得到折痕 MN ．當(dāng) 12CECD? 時，求 AMBN 的值． 類比歸納 在圖（ 1）中，若 13CECD? ， 則 AMBN 的值等于 ；若 14CECD? ， 則 AMBN 的值等于 ；若 1CECD n? （ n 為整數(shù)），則 AMBN 的值等于 ．（用含 n 的式子表示） 聯(lián)系拓廣 如圖（ 2），將矩形紙片 ABCD 折疊，使點 B 落在 CD 邊上一點 E （不與點 CD， 重合），壓平后得到折痕 MN， 設(shè) ? ?111A B C EmB C m C D n? ? ?， ，則 AMBN 的值等于 ．（用含 mn， 的式子表示） 22. （ 2022 襄樊市） 如圖所示，在 Rt ABC△ 中， 90ABC??∠ ． 將 Rt ABC△ 繞點 C 順時針方向旋轉(zhuǎn) 60? 得到 DEC△ ， 點 E 在 AC 上，再將 Rt ABC△ 沿著 AB 所在直線翻轉(zhuǎn)180? 得到 ABF△ ． 連接 AD． （ 1）求證：四邊形 AFCD 是菱形； （ 2）連接 BE 并延長交 AD 于 G， 連接 CG， 請問：四邊形 ABCG 是什么特殊平行四邊形？為什么？ 方法指導(dǎo)： 為了求得 AMBN 的值，可先求 BN 、 AM 的長，不妨設(shè)： AB =2 圖（ 2） N A B C D E F M 圖（ 1） A B C D E F M N 第 22 頁 共 38 頁 24. (2022年 安順 )如圖，在△ ABC 中， D 是 BC 邊上的一點， E 是 AD 的中點，過 A 點作 BC 的平行線交 CE 的延長線于點 F，且 AF=BD，連結(jié) BF。 （ 1） 求證： BD=CD； （ 2） 如果 AB=AC，試判斷四邊形 AFBD 的形狀，并證明你的結(jié)論。 （ 2022 重慶 綦江 ） 如圖，在矩形 ABCD 中， E 是 BC 邊上的點， AE=BC， DF⊥ AE，垂足 為 F，連接 DE． （ 1）求證： ABE△ DFA≌ △ ； （ 2）如果 10AD AB? ， =6，求 sin EDF? 的值． 25.（ 2022 年北京市 ）閱讀下列材料： 小明遇到一個問題： 5 個同樣大小的正方形紙片排列形式如圖 1 所示，將它們分割后拼接成一個新的正方形 .他的做法是：按圖 2 所示的方法分割后，將三角形紙片①繞 AB 的中點O 旋轉(zhuǎn)至三角形紙片②處，依此方法繼續(xù)操作 ，即可拼接成一個新的正方形 考小明的做法解決下列問題： （ 1）現(xiàn)有 5 個形狀、大小相同的矩形紙片，排列形式如圖 3 所示 .請將其分割后拼接成一個平行四邊形 .要求：在圖 3 中畫出并 指明拼接成的平行四邊形（畫出一個符合條件的平行四邊形即可）； （