【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 的一個(gè)內(nèi)角為 60176。 ，一條對(duì)角線的長(zhǎng)為 23，則另一條對(duì)角線的長(zhǎng)為 ______________． 45.(2022 年 梅州市 )如圖 4， 把一個(gè)長(zhǎng)方形紙片沿 EF 折疊后，點(diǎn) DC、 分別落在 11 DC、 的位置 ． 若 65EFB??176。 ，則 1AED? 等于 _______度 ． 三．解答題 1．（ 2022年湖北十堰市） 如圖①，四邊形 ABCD是正方形 , 點(diǎn) G是 BC上任意一點(diǎn)， DE⊥ AG于 點(diǎn) E， BF⊥ AG 于 點(diǎn) F. (1) 求證： DE－ BF = EF． (2) 當(dāng)點(diǎn) G 為 BC 邊中點(diǎn)時(shí) , 試探究線段 EF 與 GF 之間的數(shù)量關(guān)系， 并說(shuō)明理由． D C B A E P B C E A D F A D C B 圖 3 O A E D C F B D1 C1 圖 4 第 16 頁(yè) 共 38 頁(yè) (3) 若點(diǎn) G 為 CB 延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，其余條件不變．請(qǐng)你在圖②中畫(huà)出圖形，寫(xiě)出此時(shí) DE、BF、 EF 之間的 數(shù)量關(guān)系（不需要證明）． 2．（ 2022 年山東 青島市 ）已知：如圖，在 ABCD 中， AE 是 BC邊上的高，將 ABE△ 沿 BC 方向平移，使點(diǎn) E 與點(diǎn) C 重合，得GFC△ ． （ 1）求證： BE DG? ； （ 2）若 60B??176。 ，當(dāng) AB 與 BC 滿足什么數(shù)量關(guān)系時(shí)，四邊形ABFG 是菱形？證明你的結(jié)論． 3．（ 2022 年佛山市 ） 如圖，在正方形 ABCD 中， CE DF? ．若 10cmCE? ，求 DF 的長(zhǎng)． 4．（ 2022 年佛山市 ） （ 1）列式： x 與 20 的差不小于 0 ； （ 2）若（ 1）中的 x （單位： cm ）是一個(gè)正方形的邊長(zhǎng)，現(xiàn)將正方形的邊長(zhǎng)增加 2cm ， 則正方形的面積至少增加多少？ 5.（ 2022年佳木斯）如圖，將矩形紙片 ABCD 沿對(duì)角線 AC 折疊，使點(diǎn) B 落到點(diǎn) B′的位置， AB′與 CD 交于點(diǎn) E. （ 1）試找出一 個(gè)與△ AED 全等的三角形，并加以證明 . （ 2）若 AB=8， DE=3， P 為線段 AC 上的任意一點(diǎn)， PG⊥ AE 于 G， PH⊥ EC 于 H，試求PG+PH 的值，并說(shuō)明理由 . D F C B E A A D G C B F E 第 17 頁(yè) 共 38 頁(yè) 6. (2022 年達(dá)州 )如圖 7，在 △ ABC 中， AB＝ 2BC，點(diǎn) D、點(diǎn) E 分別為 AB、 AC 的中點(diǎn)，連結(jié) DE，將 △ ADE 繞點(diǎn) E 旋轉(zhuǎn) 180? 得到 △ BCFD 的形狀，并說(shuō)明理由 . 7．（ 2022 年中山） 如圖所示，在矩形 ABCD 中， 12AB AC? ， =20，兩條對(duì)角線相交于點(diǎn) O ．以 OB 、 OC 為鄰邊作第 1 個(gè)平行四邊形1OBBC ，對(duì)角線相交于點(diǎn) 1A ，再以 11AB 、 1AC 為鄰邊作第 2 個(gè)平行四邊形 1 1 1ABCC ，對(duì)角線相交于點(diǎn) 1O ；再以 11OB 、 11OC 為鄰邊作第 3 個(gè)平行四邊形 1 1 2 1OBBC ??依次類(lèi)推． （ 1）求矩形 ABCD 的面積； （ 2）求第 1 個(gè)平行四邊形 1OBBC 、第 2 個(gè)平行 四邊形 1 1 1ABCC 和第6 個(gè)平行四邊形的面積． 8 ． （ 2022 肇慶 ） 如圖 5 ， ABCD 是菱形，對(duì)角線 AC 與 BD 相交于 O ，30 6ACD BD? ? ?176。， ． （ 1）求證：△ ABD 是正三角形； （ 2）求 AC 的長(zhǎng)（結(jié)果可保留根號(hào)） ． 9． （ 2022 肇慶 ） 如圖 ， ABCD 是正方形 ． G 是 BC 上的一點(diǎn)， DE⊥ AG 于 E， BF⊥ AG于 F． O D C B A 第 18 頁(yè) 共 38 頁(yè) （ 1）求證： ABF DAE△ ≌ △ ； （ 2）求證： DE EF FB??． 10． （ 2022年廣西欽州 ） （ 1）已知：如圖 1，在矩形 ABCD 中， AF＝ BE．求證： DE＝ CF； A D C B 圖 1 F E 11.（ 2022 年 廣西 梧州 ） 如圖 ， △ ABC 中， AC 的垂直平分線 MN 交 AB 于 點(diǎn) D，交 AC 于點(diǎn) O， CE∥ AB 交 MN 于 E，連結(jié) AE、 CD． （ 1）求證： AD＝ CE； （ 2）填空：四邊形 ADCE 的形 狀是 ★ ． 12. （ 2022 年宜賓） 已知：如圖，四邊形 ABCD 是菱形，過(guò) AB 的中點(diǎn) E 作 AC 的垂線EF，交 AD 于點(diǎn) M，交 CD 的延長(zhǎng)線于點(diǎn) F. （ 1）求證： AM=DM； （ 2）若 DF=2，求菱形 ABCD 的周長(zhǎng)． 第 21 題圖A BCDEFM 13． （ 2022年日照市） 已知正方形 ABCD 中， E 為 對(duì)角線 BD 上一點(diǎn)，過(guò) E 點(diǎn)作 EF⊥ BD交 BC 于 F，連接 DF， G 為 DF 中點(diǎn)，連接 EG， CG． （ 1） 求證： EG=CG； （ 2）將圖 ① 中 △ BEF 繞 B 點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 45186。， 如 圖 ②所示 ，取 DF 中點(diǎn) G，連接 EG，DB CAENM O A D E F C G B 第 19 頁(yè) 共 38 頁(yè) CG． 問(wèn)（ 1）中的結(jié)論是否仍然成立 ？若成 立，請(qǐng)給出證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由 ． （ 3）將圖 ① 中 △ BEF 繞 B 點(diǎn)旋轉(zhuǎn)任意角度， 如圖③所示 ，再連接相應(yīng)的線段，問(wèn)（ 1）中的結(jié)論是否仍然成立？通過(guò)觀察你還能得出什么結(jié)論？（均不要求證明） 14.（ 2022 年河南 ） 如 圖 ，在 Rt△ ABC 中， ∠ ACB=90176。 , ∠ B =60176。 ， BC=2．點(diǎn) 0 是AC 的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) 0的直線 l 從與 AC 重 合 的 位置 開(kāi)始，繞點(diǎn) 0作逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，交 AB 邊于點(diǎn) C 作 CE∥ AB 交 直線 l 于點(diǎn) E，設(shè)直線 l 的旋轉(zhuǎn)角為 α . (1)① 當(dāng) α =________度時(shí)，四邊形 EDBC 是等腰梯形，此時(shí) AD 的 長(zhǎng)為 _________； ② 當(dāng) α =________度時(shí)，四邊形 EDBC 是直角梯形，此時(shí) AD 的長(zhǎng)為 _________； (2)當(dāng) α =90176。 時(shí) ,判斷四邊形 EDBC 是否為菱形，并說(shuō)明理由． 16． （ 2022 年孝感） 三個(gè)牧童 A、 B、 C 在一塊正方形的牧場(chǎng)上看守一群牛，為保證 公平合理 ， 他們商量將牧場(chǎng)劃分為三塊分別看守，劃分的原則是：①每個(gè)人看守的牧場(chǎng)面積相等；②在每個(gè)區(qū)域內(nèi)，各選定一個(gè)看守點(diǎn)， 并保證在有情況時(shí)他們所需走的 最大距離 ． ． ． ． （看守點(diǎn)到本區(qū)域內(nèi)最遠(yuǎn)處的距離） 相等．按照這一原則，他們先設(shè)計(jì)了一種 如圖 1的 劃分方案：把正方形牧場(chǎng)分成三塊相等的矩形，大家分頭守在這三個(gè)矩形的中心 （對(duì)角線交點(diǎn)） ，看守自己的一塊牧場(chǎng)．過(guò)了一段時(shí)間，牧童 B 和牧童 C 又分別提出了新的劃分方案．牧童 B 的劃分方案如圖 2：三塊矩形的面積相等，牧童的位置在三個(gè)小矩形的中心．牧童 C 的劃分方案如圖 3：把正方形的牧場(chǎng)分成三塊矩形，牧童的位置在三個(gè)小矩形的中心，并保證在有情況時(shí)三個(gè)人所需走的最大距離相等． F B A D C E G 第 24 題 圖 ① D F B A D C E G 第 24 題 圖 ② F B A C E 第 24 題 圖 ③ 第 20 頁(yè) 共 38 頁(yè) 請(qǐng)回答： （ 1）牧童 B 的劃分方案中，牧童 ▲ （填 A、 B 或 C） 在有情況時(shí)所需走的最大距離較遠(yuǎn)；（ 3 分） （ 2）牧童 C 的劃分方案是否符合他們商量的劃分原則？為什么？ （提示：在計(jì)算時(shí)可取正方形邊長(zhǎng)為 2） （ 5 分） 17.（ 2022 年婁底） 如圖，在△ ABC 中， AB=AC， D 是 BC 的中點(diǎn)，連結(jié) AD，在 AD 的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn) E，連結(jié) BE， CE. （ 1）求證：△ ABE≌△ ACE （ 2）當(dāng) AE 與 AD 滿足什么數(shù)量關(guān)系時(shí)，四邊形 ABEC 是 菱形？并說(shuō)明理由 . 18.（ 2022 恩施市） 兩個(gè)完全相同的矩形紙片 ABCD 、 BFDE 如圖 7 放置， AB BF? ，求證：四邊形 BNDM 為菱 形． 20. （ 2022 山西省太原市）如圖， A 是 MON? 邊 OM 上一點(diǎn)， AE ON∥ ． （ 1）在圖中作 MON? 的角平分線 OB ，交 AE 于點(diǎn) B ；（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法和證明） （ 2）在（ 1）中，過(guò)點(diǎn) A 畫(huà) OB 的垂線，垂足為點(diǎn) D ，交 ON 于點(diǎn) C ，連接 CB ，將圖形補(bǔ)充完整，并證明四邊形 OABC 是菱形． C D E M A B F N A O E N M 第 21 頁(yè) 共 38 頁(yè) 21. （ 2022 山西省太原市） 問(wèn)題解決 如圖（ 1），將正方形紙片 ABCD 折疊，使點(diǎn) B 落在 CD 邊上一點(diǎn) E （不與點(diǎn) C ， D 重合），壓平后得到折痕 MN ．當(dāng) 12CECD? 時(shí)，求 AMBN 的值． 類(lèi)比歸納 在圖（ 1）中，若 13CECD? ， 則 AMBN 的值等于 ；若 14CECD? ， 則 AMBN 的值等于 ；若 1CECD n? （ n 為整數(shù)），則 AMBN 的值等于 ．（用含 n 的式子表示） 聯(lián)系拓廣 如圖（ 2），將矩形紙片 ABCD 折疊，使點(diǎn) B 落在 CD 邊上一點(diǎn) E （不與點(diǎn) CD， 重合），壓平后得到折痕 MN， 設(shè) ? ?111A B C EmB C m C D n? ? ?， ，則 AMBN 的值等于 ．（用含 mn， 的式子表示） 22. （ 2022 襄樊市） 如圖所示，在 Rt ABC△ 中， 90ABC??∠ ． 將 Rt ABC△ 繞點(diǎn) C 順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn) 60? 得到 DEC△ ， 點(diǎn) E 在 AC 上，再將 Rt ABC△ 沿著 AB 所在直線翻轉(zhuǎn)180? 得到 ABF△ ． 連接 AD． （ 1）求證：四邊形 AFCD 是菱形； （ 2）連接 BE 并延長(zhǎng)交 AD 于 G， 連接 CG， 請(qǐng)問(wèn)：四邊形 ABCG 是什么特殊平行四邊形？為什么？ 方法指導(dǎo)： 為了求得 AMBN 的值，可先求 BN 、 AM 的長(zhǎng)，不妨設(shè)： AB =2 圖（ 2） N A B C D E F M 圖（ 1） A B C D E F M N 第 22 頁(yè) 共 38 頁(yè) 24. (2022年 安順 )如圖，在△ ABC 中， D 是 BC 邊上的一點(diǎn)， E 是 AD 的中點(diǎn)，過(guò) A 點(diǎn)作 BC 的平行線交 CE 的延長(zhǎng)線于點(diǎn) F，且 AF=BD，連結(jié) BF。 （ 1） 求證： BD=CD； （ 2） 如果 AB=AC，試判斷四邊形 AFBD 的形狀，并證明你的結(jié)論。 （ 2022 重慶 綦江 ） 如圖，在矩形 ABCD 中， E 是 BC 邊上的點(diǎn)， AE=BC， DF⊥ AE，垂足 為 F，連接 DE． （ 1）求證： ABE△ DFA≌ △ ； （ 2）如果 10AD AB? ， =6，求 sin EDF? 的值． 25.（ 2022 年北京市 ）閱讀下列材料： 小明遇到一個(gè)問(wèn)題： 5 個(gè)同樣大小的正方形紙片排列形式如圖 1 所示，將它們分割后拼接成一個(gè)新的正方形 .他的做法是：按圖 2 所示的方法分割后，將三角形紙片①繞 AB 的中點(diǎn)O 旋轉(zhuǎn)至三角形紙片②處，依此方法繼續(xù)操作 ，即可拼接成一個(gè)新的正方形 考小明的做法解決下列問(wèn)題： （ 1）現(xiàn)有 5 個(gè)形狀、大小相同的矩形紙片，排列形式如圖 3 所示 .請(qǐng)將其分割后拼接成一個(gè)平行四邊形 .要求：在圖 3 中畫(huà)出并 指明拼接成的平行四邊形（畫(huà)出一個(gè)符合條件的平行四邊形即可）； （