【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 10分6．（2010山東濟(jì)寧）(第22題)數(shù)學(xué)課上，李老師出示了這樣一道題目：如圖，正方形的邊長(zhǎng)為，為邊延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，為的中點(diǎn)，的垂直平分線交邊于，與的比值是多少？經(jīng)過思考，小明展示了一種正確的解題思路：過作直線平行于交，分別于，如圖，則可得：，因?yàn)?，進(jìn)而可求得與的比值.(1) 請(qǐng)按照小明的思路寫出求解過程.(2) 小東又對(duì)此題作了進(jìn)一步探究，？如果正確，請(qǐng)給予證明；如果不正確，請(qǐng)說明理由.【答案】（1）解：過作直線平行于交，分別于點(diǎn)， 則，.∵，∴. 2分∴，.∴. 4分（2）證明：作∥交于點(diǎn)， 5分則，.∵，∴.∵，∴.∴. 7分∴. 8分(第22題)7．（2010山東青島）已知：如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在BC和CD上，AE = AF．（1）求證：BE = DF；（2）連接AC交EF于點(diǎn)O，延長(zhǎng)OC至點(diǎn)M，使OM = OA，連接EM、FM．判斷四邊形AEMF是什么特殊四邊形？并證明你的結(jié)論．【答案】證明：（1）∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝AD,∠B = ∠D = 90176。．∵AE = AF，∴．∴BE＝DF． 4分ADBEFOCM第21題圖（2）四邊形AEMF是菱形．∵四邊形ABCD是正方形，∴∠BCA = ∠DCA = 45176。，BC = DC．∵BE＝DF，∴BC－BE = DC－DF. 即．∴．∵OM = OA，∴四邊形AEMF是平行四邊形．∵AE = AF，∴平行四邊形AEMF是菱形． 8分8．（2010山東日照）如圖，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為a的正方形，點(diǎn)G，E分別是邊AB，BC的中點(diǎn)，∠AEF=90o，且EF交正方形外角的平分線CF于點(diǎn)F． （1）證明：∠BAE=∠FEC；（2）證明：△AGE≌△ECF；（3）求△AEF的面積．【答案】（1）證明：∵∠AEF=90o， ∴∠FEC+∠AEB=90o．………………………………………1分在Rt△ABE中，∠AEB+∠BAE=90o，∴∠BAE=∠FEC；……………………………………………3分（2）證明：∵G，E分別是正方形ABCD的邊AB，BC的中點(diǎn)，∴AG=GB=BE=EC，且∠AGE=180o－45o=135o．又∵CF是∠DCH的平分線， ∠ECF=90o+45o=135o．………………………………………4分在△AGE和△ECF中， ∴△AGE≌△ECF； …………………………………………6分 （3）解：由△AGE≌△ECF，得AE=EF．又∵∠AEF=90o，∴△AEF是等腰直角三角形．………………………………7分由AB=a，BE=a，知AE=a，∴S△AEF=a2．…………………………………………………9分9．（2010四川眉山）如圖，O為矩形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)，DE∥AC，CE∥BD．（1）試判斷四邊形OCED的形狀，并說明理由；（2）若AB=6，BC=8，求四邊形OCED的面積．【答案】解：（1）四邊形OCED是菱形．…………（2分）∵DE∥AC，CE∥BD，∴四邊形OCED是平行四邊形，…………（3分）又 在矩形ABCD中，OC=OD，∴四邊形OCED是菱形．…………………（4分） （2）連結(jié)OE．由菱形OCED得：CD⊥OE， …………（5分） ∴OE∥BC 又 CE∥BD∴四邊形BCEO是平行四邊形∴OE=BC=8……………………………………………（7分）∴S四邊形OCED=……………（8分）10．（2010浙江寧波）如圖1，有一張菱形紙片ABCD，AC=8， BD=6. (1)請(qǐng)沿著AC剪一刀，把它分成兩部分，把剪開的兩部分拼成一 個(gè)平行四邊形，在圖2中用實(shí)線畫出你所拼成的平行四邊形；若 沿著BD剪開， 寫出這兩個(gè)平行四邊形的周長(zhǎng). (圖1) (2)沿著一條直線剪開，拼成與上述兩種都不全等的平行四邊形， 請(qǐng)?jiān)趫D4中用實(shí)線畫出拼成的平行四邊形. (注：上述所畫的平行四邊形都不能與原菱形全等)(圖4)(圖3)(圖2)周長(zhǎng)為 ▲ 周長(zhǎng)為 ▲ (第21題)【答案】解：(1) 1分 周長(zhǎng)為26 2分 3分 周長(zhǎng)為22 4分 (2) 6分 注:畫法不唯一.11．（2010浙江紹興） (1) 如圖1,在正方形ABCD中,點(diǎn)E,F分別在邊BC,CD上,AE,BF交于點(diǎn)O,∠AOF＝90176。.求證：BE＝CF.第23題圖1(2) 如圖2,在正方形ABCD中,點(diǎn)E,H,F,G分別在邊AB,BC,CD,DA上,EF,GH交于點(diǎn)O,∠FOH＝90176。, EF＝.第23題圖2(3) 已知點(diǎn)E,H,F,G分別在矩形ABCD的邊AB,BC,CD,DA上，EF,GH交于點(diǎn)O,∠FOH＝90176。,EF＝4. 直接寫出下列兩題的答案：①如圖3,矩形ABCD由2個(gè)全等的正方形組成,求GH的長(zhǎng)； ②如圖4,矩形ABCD由n個(gè)全等的正方形組成,求GH的長(zhǎng)(用n的代數(shù)式表示).第23題圖4第23題圖3【答案】第23題圖1(1) 證明：如圖1，∵ 四邊形ABCD為正方形，∴ AB=BC,∠ABC=∠BCD=90176。， ∴ ∠EAB+∠AEB=90176。.∵ ∠EOB=∠AOF＝90176。,∴ ∠FBC+∠AEB=90176。，∴ ∠EAB=∠FBC， ∴ △ABE≌△BCF ， ∴ BE=CF． 第23題圖2O′NM(2) 解：如圖2,過點(diǎn)A作AM//GH交BC于M，過點(diǎn)B作BN//EF交CD于N,AM與BN交于點(diǎn)O/，則四邊形AMHG和四邊形BNFE均為平行四邊形， ∴ EF=BN,GH=AM， ∵ ∠FOH＝90176。, AM//GH，EF//BN, ∴ ∠NO/A=90176。,故由(1)得, △ABM≌△BCN， ∴ AM=BN，∴ GH=EF=4． (3) ① 8．② 4n． 12．（2010 浙江省溫州市）(本題10分)如圖，在□ABCD中，EF∥BD，分別交BC，CD于點(diǎn)P，Q，交AB，AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．F．已知BE=BP． 求證：(1)∠E=∠F(2)□ABCD是菱形．【答案】13．（2010重慶市潼南縣）(10分) 如圖,四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，點(diǎn)G是BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連結(jié)AG，點(diǎn)E、F分別在AG上，連接BE、DF，∠1=∠2 ， ∠3=∠4.（1）證明：△ABE≌△DAF；（2）若∠AGB=30176。，求EF的長(zhǎng).【答案】解：（1）∵四邊形ABCD是正方形 ∴AB=AD在△ABE和△DAF中∴△ABE≌△DAF4分（2）∵四邊形ABCD是正方形∴∠1+∠4=900∵∠3=∠4∴∠1+∠3=900∴∠AFD=9006分在正方形ABCD中， AD∥BC∴∠1=∠AGB=300在Rt△ADF中，∠AFD=900 AD=2 ∴AF= DF =18分由(1)得△ABE≌△ADF∴AE=DF=1∴EF=AFAE= 10分14．（2010山東聊城）如圖，在等邊△ABC中，點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，以AD為邊作等邊△ADE．（1）求∠CAE的度數(shù)；（2）取AB邊的中點(diǎn)F，連結(jié)CF、CE，試證明四邊形AFCE是矩形．第22題圖【答案】（1）在等邊△ABC中，∵點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，∴∠DAC＝30186。，又∵等邊△ADE，∴∠DAE＝60186。，∴∠CAE＝30186。（2）在等邊△ABC中，∵F是AB邊的中點(diǎn)，D是BC邊的中點(diǎn)，∴CF＝AD，∠CFA＝90186。，又∵AD＝AE，∴AE＝CF，由（1）知∠CAE＝30186。，∴∠EAF＝60186。+30186。＝90186。，∴∠CFA＝∠EAF，∴CF∥AE，∵AE＝CF，∴四邊形AFCE是平行四邊形，又∵∠CFA＝90186。，∴四邊形AFCE是矩形．15．（2010湖南長(zhǎng)沙）在正方形ABCD中，AC為對(duì)角線，E為AC上一點(diǎn)，連接EB、ED（1）求證：△BEC≌△DEC；（2）延長(zhǎng)BE交AD于F，當(dāng)∠BED＝120176。時(shí)，求的度數(shù)．【答案】解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，∴BC＝DC又∵AC為對(duì)角線，E為AC上一點(diǎn)，∴∠BCE＝∠DCE＝45176。．∵EC＝EC,∴△BEC≌△DEC(SAS)；（2）∵△BEC≌△DEC, ∠BED＝120176。,∴∠BEC＝∠DEC＝60176。．∵∠DAC＝45176。，∴∠ADE＝15176?！唷螮FD＝∠BED－∠ADE＝120176。－15176。＝105176。16．（2010浙江金華(本題12分)如圖，把含有30176。角的三角板ABO置入平面直角坐標(biāo)系中，A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為（3，0）和(0，3）.動(dòng)點(diǎn)P從A點(diǎn)開始沿折線AOOBBA運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P在AO，OB，BA上運(yùn)動(dòng)的面四民﹒數(shù)學(xué)興趣小組對(duì)捐款情況進(jìn)行了抽樣調(diào)查，速度分別為1，2 (長(zhǎng)度單位/秒)﹒一直尺的上邊緣l從x軸的位置開始以 (長(zhǎng)度單位/秒)的速度向上平行移動(dòng)（即移動(dòng)過程中保持l∥x軸），且分別與OB，AB交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)﹒設(shè)動(dòng)點(diǎn)P與動(dòng)直線l同時(shí)出發(fā)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，當(dāng)點(diǎn)P沿折線AOOBBA運(yùn)動(dòng)一周時(shí)，直線l和動(dòng)點(diǎn)P同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．請(qǐng)解答下列問題： （1）過A，B兩點(diǎn)的直線解析式是 ▲ ；（2）當(dāng)t﹦4時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為 ▲ ；當(dāng)t ﹦ ▲ ，點(diǎn)P與點(diǎn)E重合； （3）① 作點(diǎn)P關(guān)于直線EF的對(duì)稱點(diǎn)P′. 在運(yùn)動(dòng)過程中，若形成的四邊形PEP′F為 菱形，則t的值是多少？② 當(dāng)t﹦2時(shí)，是否存在著點(diǎn)Q，使得△FEQ ∽△BEP ?若存在, 求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；BFAPEOxy(第24題圖)若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】解：（1）； （2）（0,），；（3）①當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，過作⊥軸，為垂足（如圖1） BFAPEOxyGP′P′(圖1) ∵,∠∠90176。 ∴△≌△，∴﹒又∵,∠60176。,∴ 而，∴,BFAPEOxyMP′H（圖2) 由得 ； 當(dāng)點(diǎn)P在線段上時(shí)，形成的是三角形，不存在菱形； 當(dāng)點(diǎn)P在線段上時(shí)，過P作⊥，⊥，、分別為垂足（如圖2） ∵,∴,∴ ∴， 又∵ 在Rt△中， 即，解得．BFAPEOxQ′B′QCC1D1(圖3)y②存在﹒理由如下： ∵，∴,，將△繞點(diǎn)順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90176。，得到△（如圖3） ∵⊥，∴點(diǎn)在直線上， C點(diǎn)坐標(biāo)為（，－1） 過作∥，交于點(diǎn)Q,則△∽△ 由，可得Q的坐標(biāo)為（－，）根據(jù)對(duì)稱性可得，Q關(guān)于直線EF的對(duì)稱點(diǎn)（－，）也符合條件。17．（2010江蘇泰州）如圖，四邊形ABCD是矩形，∠EDC=∠CAB，∠DEC=90176。．(1)求證：AC∥DE；(2)過點(diǎn)B作BF⊥AC于點(diǎn)F，連結(jié)EF，試判斷四邊形BCEF的形狀，并說明理由．【答案】⑴在矩形ABCD中，AC∥DE，∴∠DCA=∠CAB，∵∠EDC=∠CAB，∴∠DCA=∠EDC，∴AC∥DE；⑵四邊形BCEF是平行四邊形．理由：由∠DEC=90176。，BF⊥AC，可得∠AFB=∠DEC=90176。，又∠EDC=∠CAB，AB=CD，∴△DEC≌△AFB，∴DE=AF，由⑴得AC∥DE，∴四邊形AFED是平行四邊形，∴AD∥EF且AD=EF，∵在矩形ABCD中，AD∥BC且AD=BC，∴EF∥BC且EF=BC，∴四邊形BCEF是平行四邊形．18．（2010江蘇無錫）（1）如圖