【文章內容簡介】 ⑴ 求證：四邊形ACFD是平行四邊形。⑵ 怎樣移動Rt△ABC，使得四邊形ACFD為菱形。⑶ 將Rt△ABC向左平移，求四邊形DHCF的面積.圖(1)A(D)B(E)C(F)D圖(2)FECBAH41. 如圖，P是矩形ABCD下方一點，將△PCD繞P點順時針旋轉60176。后恰好D點與A點重合，得到△PEA，連接EB，問△ABE是什么特殊三角形？請說明理由.矩形、菱形與正方形解答題1. 【答案】（1）四邊形EFGH是正方形．　　　　(2) ①∠HAE=90176。＋a．在□ABCD中，AB∥CD，∴∠BAD=180176。－∠ADC=180176。－a；∵△HAD和△EAB都是等腰直角三角形，∴∠HAD=∠EAB=45176。，∴∠HAE=360176。－∠HAD－∠EAB－∠BAD＝360176。－45176。－45176。－（180176。－a）＝90176。＋a．②∵△AEB和△DGC都是等腰直角三角形，∴AE=AB，DG=CD，在□ABCD中，AB=CD，∴AE=DG，∵△HAD和△GDC都是等腰直角三角形，∴∠DHA=∠CDG= 45176。，∴∠HDG=∠HAD＋∠ADC＋∠CDG＝90176。＋a＝∠HAE．∵△HAD是等腰直角三角形，∴HA=HD，∴△HAE≌△HDG，∴HE=HG．[來源:學科網ZXXK]③四邊形EFGH是正方形．由②同理可得：GH=GF，F(xiàn)G=FE，∵HE=HG（已證），∴GH=GF=FG=FE，∴四邊形EFGH是菱形；∵△HAE≌△HDG（已證），∴∠DHG=∠AHE，又∵∠AHD=∠AHG＋∠DHG=90176。，∴∠EHG=∠AHG＋∠AHE＝90176。，∴四邊形EFGH是正方形．2. 【答案】（1）過A點作AF⊥l3分別交ll3于點E、F，過C點作CG⊥l3交l3于點G，∵l2∥l3，∴∠2 =∠3，∵∠1+∠2=90176。，∠4+∠3=90176。，∴∠1=∠4，又∵∠BEA=∠DGC=90176。, BA=DC，∴△BEA≌△DGC，∴AE=CG，即=；（2）∵∠FAD+∠3=90176。，∠4+∠3=90176。，∴∠FAD =∠4，又∵∠AFD=∠DGC=90176。, AD=DC，∴△AFD≌△DGC，∴DF=CG，∵AD2=AF2+FD2，∴S=； (3)由題意，得， 所以又，解得0＜h1＜∴當0＜h1＜時，S隨h1的增大而減??； 當h1=時，S取得最小值；當＜h1＜時，S隨h1的增大而增大.3. 【答案】(1)證明:①∵四邊形是矩形∴∥∴,∵垂直平分,垂足為∴∴≌∴ ∴四邊形為平行四邊形又∵∴四邊形為菱形②設菱形的邊長,則 在中,由勾股定理得,解得∴(2)①顯然當點在上時,點在上,此時、四點不可能構成平行四邊形。同理點在上時,點在或上,、點在上時,才能構成平行四邊形∴以、四點為頂點的四邊形是平行四邊形時,∵點的速度為每秒5,點的速度為每秒4,運動時間為秒∴,∴,解得∴以、四點為頂點的四邊形是平行四邊形時,秒.②由題意得,以、四點為頂點的四邊形是平行四邊形時,點、在互相平行的對應邊上.分三種情況:i)如圖1,當點在上、點在上時,即,得ii)如圖2,當點在上、點在上時, 即,得iii)如圖3,當點在上、點在上時,即,得綜上所述,與滿足的數量關系式是 圖1圖2圖34. 【答案】∵四邊形ABCD為菱形∴∠BAC=∠DAC又∵AE=AF，AC=AC∴△ACE≌△ACF（SAS）5. 【答案】當點O運動到AC的中點（或OA=OC）時，四邊形AECF是矩形證明：∵CE平分∠BCA,∴∠1=∠2，又∵MN∥BC, ∴∠1=∠3，∴∠3=∠2，∴EO=CO.同理，F(xiàn)O=CO6分∴EO=FO又OA=OC, ∴四邊形AECF是平行四邊形又∵∠1=∠2，∠4=∠5，∴∠1+∠5=∠2+∠∵∠1+∠5+∠2+∠4=180176?！唷?+∠4=90176。分∴四邊形AECF是矩形6. （1）解：過作直線平行于交，分別于點， 則，.∵，∴.∴，.∴. （2）證明：作∥交于點， 則，.∵，∴.∵，∴.∴.∴.7. ∴AM∥DN，∴∠KNM=∠1．∵∠KMN=∠1，∴∠KNM=∠KMN．∵∠1=70176。，∴∠KNM=∠KMN=70176。．∴∠MNK=40176。． （2）不能．過M點作ME⊥DN，垂足為點E，則ME=AD=1,由（1）知∠KNM=∠KMN．∴MK=NK．又MK≥ME,∴NK≥1．∴．∴△MNK的面積最小值為，不可能小于．（3）分兩種情況：情況一：將矩形紙片對折，使點B與點D重合，此時點K也與點D重合．設MK=MD=x，則AM=5x，由勾股定理，得,解得，．即．∴．（情況一）情況二：將矩形紙片沿對角線AC對折，此時折痕為AC．設MK=AK= CK=x，則DK=5x，同理可得即．∴．∴△． （情況二）8.（1）證明：連接AC，∵∠ABC＝90176。，∴AB2＋BC2＝AC2.∵CD⊥AD，∴AD2＋CD2＝AC2.∵AD2＋CD2＝2AB2，∴AB2＋BC2＝2AB2，∴AB＝BC.（2）證明：過C作CF⊥BE于F.∵BE⊥AD，∴四邊形CDEF是矩形.∴CD＝EF.∵∠ABE＋∠BAE＝90176。，∠ABE＋∠CBF＝90176。，∴∠BAE＝∠CBF，∴△BAE≌△CBF.∴AE＝BF.∴BE＝BF＋EF ＝AE＋CD.9.【答案】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，且AD=BC，∴AF∥EC，∵BE=DF，∴AF=EC，∴四邊形AECF是平行四邊形.（2）∵四邊形AECF是，∴AE＝CE，∴∠1＝∠2，∵∠BAC＝90176。，∴∠3＝∠90176。－∠2，∠4＝∠90176。－∠1，∴∠3＝∠4，∴AE＝BE，∴BE＝AE＝CE＝BC＝5.10． 解：（1）□ABCD 中，AB∥CD，AB＝CD∵E、F分別為AB、CD的中點∴DF＝DC，BE＝AB∴DF∥BE，DF＝BE∴四邊形DEBF為平行四邊形∴DE∥BF(2)證明：∵AG∥BD∴∠G＝∠DBC＝90176。∴DBC 為直角三角形又∵F為邊CD的中點．∴BF＝DC＝DF又∵四邊形DEBF為平行四邊形∴四邊形DEBF是菱形：（1）解法1∵DE∥AB，AE∥BC， ∴四邊形ABDE是平行四邊形，∴AE∥BD，且AE=BD 又∵AD是BC邊上的中線， ∴BD=CD ∴AE∥CD，且AE=CD∴四邊形ADCE是平行四邊形 ∴AD=CE解法2 證明：∵DE∥AB，AE∥BC ∴四邊形ABDE是平行四邊形，∠B=∠EDC ∴AB=DE 又∵AD是BC邊上的中線∴BD=CD∴△ABD≌△EDC(SAS) ∴AD=EC (2)解法1∵∠BAC=Rt∠，AD上斜邊BC上的中線，∴AD=BD=CD又∵四邊形ADCE是平行四邊形∴四邊形ADCE是菱形解法2∵DE∥AB，∠BAC=Rt∠，∴DE⊥AC又∵四邊形ADCE是平行四邊形∴四邊形ADCE是菱形解法3∵∠BAC=Rt∠，AD是斜邊BC上的中線，∴AD=BD=CD又∵AD=EC ∴AD=CD=CE=AE ∴四邊形ADCE是菱形 (3)解法1∵四邊形ADCE是菱形∴AO=CO，∠ADO=90176。,又∵BD=CD∴OD是△ABC的中位線，則 ∵AB=AO ∴∴在Rt△AOD中，解法2∵四邊形ADCE是菱形∴AO=CO=，AD=CD，∠AOD=90176。，∵AB=AO∴AB=∴在Rt△ABC中， ∵AD=CD， ∴∠DAC=∠DCA ∴ 13. 【答案】∵矩形ABCD ∴BC=AD,BC∥AD∴∠DAC=∠ACB∵把△ACD沿CA方向平移得到△A1C1D1．∴∠A1=∠DAC,A1D1=AD,AA1=CC1∴∠A1=∠ACB，A1D1=CB?！唷鰽1AD1≌△CC1B（SAS）。當C1在AC中點時四邊形ABC1D1是菱形， 第9題圖 第13題圖 第14題圖14. 【答案】（1）由折疊可知EF⊥AC，AO=CO∵AD∥BC∴∠EAO=∠FCO，∠AEO=∠CFO∴△AOE≌△COF∴EO=FO∴四邊形AFCE是菱形。（2）由（1）得AF=AE=10設AB=a，BF=b，得a2+b2=100 ①，ab=48 ②①+2②得 (a+b)2=196，得a+b=14（另一負值舍去）∴△ABF的周長為24cm（3）存在，過點E作AD的垂線交AC于點P，則點P符合題意。證明：∵∠AEP=∠AOE=90176。，∠EAP=∠OAE∴△AOE∽△AEP∴，得AE2=AOAP即2AE2=2AOAP又AC=2AO∴2AE2=ACAP1