江蘇省高考數(shù)學(xué)基本不等式及其應(yīng)用(編輯修改稿)
2024-09-28 05:39 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 + + ) =3+( + )+( + )+( + )≥3+2+2+2=9 ， 即 3( + + )≥9 ， 所以 + + ≥3 . 變式 a、 b為正實(shí)數(shù)，且 a+b=1. (1)求證： ab+ ≥4 ； (2)探索、猜想：將結(jié)果填在括號(hào)內(nèi)： a2b2+ ≥( )； a3b3+ ≥( )； (3)由 (1)、 (2)你能歸納出更一般的結(jié)論嗎？并證明你給出的結(jié)論 ． 解析： (1)因?yàn)?a0， b0， 所以 1=a+b≥2 ， 當(dāng)且僅當(dāng) a=b= 時(shí)等號(hào)成立， 即 0ab≤ . 設(shè) ab=t，則 t∈(0 ， ]． 令 f (t)=t+ ， 則問(wèn)題等價(jià)于當(dāng) t∈(0 ， ]時(shí)，求 f (t)的最小值． 因?yàn)?f ′(t)=1 0在 (0， ]上恒成立， 所以 f (t)=t+ 在 (0， ]上是減函數(shù)． 所以 f (t)min=f ( )= +4=4 ， 所以 f (t)≥4 ，即 ab+ ≥4 (2)a2b2+ ≥ ， a3b3+ ≥ . (3)由 (1)、 (2)可歸納出一般的結(jié)論為： anbn+ ≥4n+ (n∈N*) ． 證明：因?yàn)?a0， b0，所以 1=a+b≥2 ( 當(dāng)且僅當(dāng) a=b= 時(shí)等號(hào)成立 )， 所以 0ab≤ ，所以 0anbn≤ (n∈N*) ． 設(shè) anbn=t，則 t∈(0 ， ]． 令 f(t)=t+ .問(wèn)題等價(jià)于當(dāng) t∈(0 ， ]時(shí)，求 f(t)的最小值． 因?yàn)?f ′(t)=1 0在 (0， ]上恒成立， 所以 f(t)=t+ 在 (0， ]上是減函數(shù)， 所以 f(t)min=f( )=4n+ ， 所以 f(t)≥4n+ ， 即 anbn+ ≥4n+ (n∈N*) ． 【點(diǎn)評(píng)】 (1)利用基本不等式證明不等式時(shí)，首先
研究報(bào)告相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號(hào)-1