【文章內(nèi)容簡介】 ? ???? ???? xx xx xxx xxxxxm ． 15 分 因為函數(shù)21)1(2 3)( ??? xxf在 ]2,1( 上單調(diào)遞減，所以 )1()2( fmf ?? ． 又2 423)2(,41)1( ??? ff，所以)41,23[??m ． 20 分 11．已知點(diǎn) ),( nmE 為拋物線 )0(22 ?? ppxy 內(nèi)一定點(diǎn)，過 E 作斜率分別為 21,kk 的兩條直線交拋物線于 DCBA , ，且 NM, 分別是線段 CDAB, 的中點(diǎn)． （ 1）當(dāng) 0?n 且 121 ???kk 時，求 △ EMN 的面積的最小值； （ 2）若 ??? 21 kk （ ?? ,0? 為常數(shù)），證明：直線 MN 過定點(diǎn)． 解 AB 所在直線的方程為 mnytx ??? )(1 ，其中111kt ? ，代入 pxy 22? 中，得 2 112 2 2 0y p t y p t n p m? ? ? ?， 設(shè) 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y，則有 121 2ptyy ?? ，從而 1 2 1 1 2 1 1( 2 ) 2 ( 2 2 ) 2x x t y y n m t p t n m? ? ? ? ? ? ? ?． 則 21 1 1( , )M pt nt m pt??． CD 所在直線的方程為 mnytx ??? )(2 ，其中221kt ? ，同理可得 22 2 2( , )N pt nt m pt?? ． 5 分 （ 1）當(dāng) 0?n 時， ( ,0)Em ， 211( , )M pt m pt? ， 222( , )N pt m pt? ， 211 1|||| tptEM ?? ，222 1|||| tptEN ?? ． 又 121 ???kk ，故 121 ???tt ，于是 △ EMN 的面積 13 22 2 2 2 21 2 1 2 1 211| | | | | | ( 1 ) ( 1 ) 22 2 2pS E M E N p t t t t t t? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 242p p? ? ? ， 當(dāng)且僅當(dāng) 1|||| 21 ??tt 時等號成立． 所以， △ EMN 的面積的最小值為 2p . 10 分 （ 2）pnttttnttpttpkMN ????????)(1)()()(21212221 21， MN 所在直線的方程為 ]([)(1 121211 mntptxpnttpty ????????， 即mxtptpntty ????? 2121 )( ． 15 分 又 ?????212111 ttkk ，即 ? 2121 tttt ?? ，代入上式，得 1212() ttny t t p x mp ??? ? ? ? ? ?， 即 mpnyxpytt ????? ))(( 21 ?． 當(dāng) 0???py時，有 0??? mpnyx，即?????????? nmxpy 為方程的一組解， 所以直線 MN 恒過定點(diǎn)),(?pnm?． 20 分 14 15 16 17 18 19 20 2020 年上海市高中數(shù)學(xué)競賽 一、填空題 （本題滿分 60 分，前 4 小題每小題 7 分，后 4 小題每小題 8 分） ,正六邊形 1 1 1 1 1 1ABCDEF 的邊長為 1,它的 6 條對角線又圍成一個正六邊形 2 2 2 2 2 2A B C D E F ,如此繼續(xù)下去 ,則所有這些六邊形的面積和是 . 1 2 10, , ,a a a 滿足 : 3 ,1 1 02? ? ? ?jia ija,則 10a的最小可能值是 . 17ta n ta n ta n 6? ? ?? ? ?， 4c ot c ot c ot 5? ? ?? ? ? ?,cot cot?? 17c o t c o t c o t c o t 5? ? ? ?? ? ? ?，則 ? ?tan ? ? ?? ? . 4．已知關(guān)于 x 的方程 ? ? ? ?lg 2 lg 1??kx x僅有一個實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù) k 的取值范圍是 . 5．如圖， ?AEF 是邊長為 x 的正方形 ABCD 的內(nèi)接三角形，已知90? ? ?AEF ， ,? ? ?AE a EF b a b，則 ?x . 6．方程 12 3 3 2 1 3?? ? ? ?m n n m的非負(fù)整數(shù)解 ? ?, ?mn . 7．一個口袋里有 5 個大小一樣的小球，其中兩個是紅色的，兩個是白色的，一個是黑色的，依次從中摸出 5 個小球，相鄰兩個小球的顏色均不相同的概率是 .（用數(shù)字作答） 8．?dāng)?shù)列 ??na 定義如下： ? ?1 2 2 1211 , 2 , , 1 , 2 ,22???? ? ? ? ???n n nn na a a a a nnn.若20202 2020??ma ，則正整數(shù) m 的最小值為 . F 2E 2D2C2B 2A 2E 1F 1B 1A 1C1D1FBDACE 21 二、解答題 9． （本題滿分 14 分） 如圖，在平行四邊形 ABCD 中， AB x? ， 1BC? ，對角線AC 與 BD 的夾角 45BOC? ? ? ，記直線 AB 與 CD 的距離為 ()hx ． 求 ()hx 的表達(dá)式，并寫出 x 的取值范圍． 10． （本題滿分 14 分） 給定實(shí)數(shù) 1a? ，求函數(shù) ( sin ) ( 4 sin )() 1 sina x xfx x??? ?的最小值． 11． （本題滿分 16 分） 正實(shí)數(shù) ,xyz 滿足 94xyz xy yz zx????，求證： （ 1） 43xy yz zx? ? ? ； （ 2） 2x y z? ? ? ． OD CBA 22 12．（本題滿分 16 分） 給定整數(shù) ( 3)n? ，記 ()fn為集合 ? ?1, 2, , 2 1n ? 的滿足如下兩個條件的子集 A的元素個數(shù)的最小值： （ a） 1 , 2 1nAA? ? ? ； （ b） A中的元素（除 1 外）均為 A中的另兩個（可以相同）元素的和． （ 1）求 (3)f 的值； （ 2）求證： (100) 108f ? ． 23 2020 年上海市高中數(shù)學(xué)競賽答案 934 92 11 ? ? ? ?,0 4?? 222()aa a b?? ? ? ? ?3, 0 , 2, 2 25 4025 9． 解 由平行四邊形對角線平方和等于四條邊的平方和得 2 2 2 2 211( ) ( 1 )22O B O C A B B C x? ? ? ? ?． ① ??????? （ 2 分） 在△ OBC 中，由余弦定理 2 2 2 2 c o sB C O B O C O B O C B O C? ? ? ? ?， 所以 22 21O B O C O B O C? ? ? ?， ② 由 ①，②得 2 122xOB OC ???． ③ ??????? （ 5 分） 所以 14 4 sin2A B CD O B CS S O B O C B O C?? ? ? ? ? 2OB OC??2 12x ?? ， 故 ()ABhx? 2 12x?? ， 所以 2 1() 2xhx x?? ． ??????? （ 10 分） 由 ③可得， 2 10x ?? ，故 1x? ． 因為 22 2O B O C O B O C? ? ?，結(jié)合②，③可得 24