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正文內(nèi)容

20xx年全國(guó)各省高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽預(yù)賽試題匯編含答案(編輯修改稿)

2024-09-24 21:25 本頁(yè)面
 

【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 ? ???? ???? xx xx xxx xxxxxm . 15 分 因?yàn)楹瘮?shù)21)1(2 3)( ??? xxf在 ]2,1( 上單調(diào)遞減,所以 )1()2( fmf ?? . 又2 423)2(,41)1( ??? ff,所以)41,23[??m . 20 分 11.已知點(diǎn) ),( nmE 為拋物線 )0(22 ?? ppxy 內(nèi)一定點(diǎn),過(guò) E 作斜率分別為 21,kk 的兩條直線交拋物線于 DCBA , ,且 NM, 分別是線段 CDAB, 的中點(diǎn). ( 1)當(dāng) 0?n 且 121 ???kk 時(shí),求 △ EMN 的面積的最小值; ( 2)若 ??? 21 kk ( ?? ,0? 為常數(shù)),證明:直線 MN 過(guò)定點(diǎn). 解 AB 所在直線的方程為 mnytx ??? )(1 ,其中111kt ? ,代入 pxy 22? 中,得 2 112 2 2 0y p t y p t n p m? ? ? ?, 設(shè) 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y,則有 121 2ptyy ?? ,從而 1 2 1 1 2 1 1( 2 ) 2 ( 2 2 ) 2x x t y y n m t p t n m? ? ? ? ? ? ? ?. 則 21 1 1( , )M pt nt m pt??. CD 所在直線的方程為 mnytx ??? )(2 ,其中221kt ? ,同理可得 22 2 2( , )N pt nt m pt?? . 5 分 ( 1)當(dāng) 0?n 時(shí), ( ,0)Em , 211( , )M pt m pt? , 222( , )N pt m pt? , 211 1|||| tptEM ?? ,222 1|||| tptEN ?? . 又 121 ???kk ,故 121 ???tt ,于是 △ EMN 的面積 13 22 2 2 2 21 2 1 2 1 211| | | | | | ( 1 ) ( 1 ) 22 2 2pS E M E N p t t t t t t? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 242p p? ? ? , 當(dāng)且僅當(dāng) 1|||| 21 ??tt 時(shí)等號(hào)成立. 所以, △ EMN 的面積的最小值為 2p . 10 分 ( 2)pnttttnttpttpkMN ????????)(1)()()(21212221 21, MN 所在直線的方程為 ]([)(1 121211 mntptxpnttpty ????????, 即mxtptpntty ????? 2121 )( . 15 分 又 ?????212111 ttkk ,即 ? 2121 tttt ?? ,代入上式,得 1212() ttny t t p x mp ??? ? ? ? ? ?, 即 mpnyxpytt ????? ))(( 21 ?. 當(dāng) 0???py時(shí),有 0??? mpnyx,即?????????? nmxpy 為方程的一組解, 所以直線 MN 恒過(guò)定點(diǎn)),(?pnm?. 20 分 14 15 16 17 18 19 20 2020 年上海市高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽 一、填空題 (本題滿分 60 分,前 4 小題每小題 7 分,后 4 小題每小題 8 分) ,正六邊形 1 1 1 1 1 1ABCDEF 的邊長(zhǎng)為 1,它的 6 條對(duì)角線又圍成一個(gè)正六邊形 2 2 2 2 2 2A B C D E F ,如此繼續(xù)下去 ,則所有這些六邊形的面積和是 . 1 2 10, , ,a a a 滿足 : 3 ,1 1 02? ? ? ?jia ija,則 10a的最小可能值是 . 17ta n ta n ta n 6? ? ?? ? ?, 4c ot c ot c ot 5? ? ?? ? ? ?,cot cot?? 17c o t c o t c o t c o t 5? ? ? ?? ? ? ?,則 ? ?tan ? ? ?? ? . 4.已知關(guān)于 x 的方程 ? ? ? ?lg 2 lg 1??kx x僅有一個(gè)實(shí)數(shù)解,則實(shí)數(shù) k 的取值范圍是 . 5.如圖, ?AEF 是邊長(zhǎng)為 x 的正方形 ABCD 的內(nèi)接三角形,已知90? ? ?AEF , ,? ? ?AE a EF b a b,則 ?x . 6.方程 12 3 3 2 1 3?? ? ? ?m n n m的非負(fù)整數(shù)解 ? ?, ?mn . 7.一個(gè)口袋里有 5 個(gè)大小一樣的小球,其中兩個(gè)是紅色的,兩個(gè)是白色的,一個(gè)是黑色的,依次從中摸出 5 個(gè)小球,相鄰兩個(gè)小球的顏色均不相同的概率是 .(用數(shù)字作答) 8.?dāng)?shù)列 ??na 定義如下: ? ?1 2 2 1211 , 2 , , 1 , 2 ,22???? ? ? ? ???n n nn na a a a a nnn.若20202 2020??ma ,則正整數(shù) m 的最小值為 . F 2E 2D2C2B 2A 2E 1F 1B 1A 1C1D1FBDACE 21 二、解答題 9. (本題滿分 14 分) 如圖,在平行四邊形 ABCD 中, AB x? , 1BC? ,對(duì)角線AC 與 BD 的夾角 45BOC? ? ? ,記直線 AB 與 CD 的距離為 ()hx . 求 ()hx 的表達(dá)式,并寫(xiě)出 x 的取值范圍. 10. (本題滿分 14 分) 給定實(shí)數(shù) 1a? ,求函數(shù) ( sin ) ( 4 sin )() 1 sina x xfx x??? ?的最小值. 11. (本題滿分 16 分) 正實(shí)數(shù) ,xyz 滿足 94xyz xy yz zx????,求證: ( 1) 43xy yz zx? ? ? ; ( 2) 2x y z? ? ? . OD CBA 22 12.(本題滿分 16 分) 給定整數(shù) ( 3)n? ,記 ()fn為集合 ? ?1, 2, , 2 1n ? 的滿足如下兩個(gè)條件的子集 A的元素個(gè)數(shù)的最小值: ( a) 1 , 2 1nAA? ? ? ; ( b) A中的元素(除 1 外)均為 A中的另兩個(gè)(可以相同)元素的和. ( 1)求 (3)f 的值; ( 2)求證: (100) 108f ? . 23 2020 年上海市高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽答案 934 92 11 ? ? ? ?,0 4?? 222()aa a b?? ? ? ? ?3, 0 , 2, 2 25 4025 9. 解 由平行四邊形對(duì)角線平方和等于四條邊的平方和得 2 2 2 2 211( ) ( 1 )22O B O C A B B C x? ? ? ? ?. ① ??????? ( 2 分) 在△ OBC 中,由余弦定理 2 2 2 2 c o sB C O B O C O B O C B O C? ? ? ? ?, 所以 22 21O B O C O B O C? ? ? ?, ② 由 ①,②得 2 122xOB OC ???. ③ ??????? ( 5 分) 所以 14 4 sin2A B CD O B CS S O B O C B O C?? ? ? ? ? 2OB OC??2 12x ?? , 故 ()ABhx? 2 12x?? , 所以 2 1() 2xhx x?? . ??????? ( 10 分) 由 ③可得, 2 10x ?? ,故 1x? . 因?yàn)?22 2O B O C O B O C? ? ?,結(jié)合②,③可得 24
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