【正文】 2??????????? ???? ???? xx xx xxx xxxxxm ． 15 分 因為函數(shù)21)1(2 3)( ??? xxf在 ]2,1( 上單調(diào)遞減，所以 )1()2( fmf ?? ． 因此， m 的 最 小 值 為2 423)2( ??f． 20 分 11．設(shè) )3(log)2(log)( axaxxf aa ???? ，其中 0?a 且 1?a ．若在 區(qū)間 ]4,3[ ?? aa 上1)( ?xf 恒成立，求 a 的取值范圍． 解 22 2 25( ) l o g ( 5 6 ) l o g [ ( ) ]24aa aaf x x a x a x? ? ? ? ? ?． 由??? ?? ?? ,03 ,02ax ax得 ax 3? ，由題意知 aa 33?? ，故23?a，從而 53( 3 ) ( 2) 022aaa? ? ? ? ?，故 函 數(shù) 225( ) ( )24aag x x? ? ?在 區(qū) 間 ]4,3[ ?? aa 上 單 調(diào) 遞 增 . 5 分 （ 1）若 10 ?? a ，則 )( xf 在區(qū)間 ]4,3[ ?? aa 上單調(diào)遞減，所以 )(xf 在區(qū)間 ]4,3[ ?? aa 上的最大值為 )992(lo g)3( 2 ???? aaaf a ． 在區(qū)間 ]4,3[ ?? aa 上不等式 1)( ?xf 恒成立，等價于不等式 1)992(log 2 ??? aaa 成立，從而 aaa ??? 992 2 ，解得 2 75??a 或 2 75??a ． 結(jié)合 10?a 得10 ??a ． 10 分 （ 2）若 231 ??a ，則 )(xf 在區(qū)間 ]4,3[ ?? aa 上單調(diào)遞增，所以 )(xf 在區(qū)間 ]4,3[ ?? aa上的最大值為 )16122(lo g)4( 2 ???? aaaf a . 在區(qū)間 ]4,3[ ?? aa 上不等式 1)( ?xf 恒成立，等價于不等式 1)16122(lo g 2 ??? aaa 成立， 8 從而 aaa ??? 16122 2 ，即 016132 2 ??? aa ，解得4 41134 4113 ???? a． 易知2344113 ??，所以不符合． 15 分 綜 上 可 知 ： a 的 取 值 范 圍 為(0,1) ． 20 分 2020 年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽湖北省 預(yù)賽 試題 （高 二 年級） 說明： 評閱試卷時，請依據(jù)本評分標(biāo)準(zhǔn)。 一、填空題（本題滿分 64分，每小題 8分。 1 2020 各省數(shù)學(xué)競賽匯集 2020 高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽江蘇賽區(qū)初賽試卷 一、填空題（ 70分） 當(dāng) [ 3,3]x?? 時，函數(shù) 3( ) | 3 |f x x x??的最大值為 __18___. 在 ABC? 中，已知 1 2 , 4 ,A C B C A C B A? ? ? ? ?則 AC? ___4____. 從集合 ? ?3,4,5,6,7,8中隨機(jī)選取 3個不同的數(shù)，這 3個數(shù)可以構(gòu)成等差數(shù)列的概率為_____ 310 _______. 已知 a 是實數(shù)，方程 2 ( 4 ) 4 0x i x a i? ? ? ? ?的一個實根是 b （ i 是虛部單位），則||a bi? 的值為 _____22___. 在平面直角 坐標(biāo)系 xOy 中，雙曲線 :C 22112 4xy??的右焦點為 F ，一條過原點 O 且傾斜角為銳角的直線 l 與雙曲線 C 交于 ,AB兩點 .若 FAB? 的面積為 83，則直線的斜率為 ___12 ____. 已知 a 是正實數(shù)， lgaka? 的取值范圍是 ___[1, )?? _____. 在四面體 ABCD 中， 5A B A C A D D B? ? ? ?, 3BC? , 4CD? 該四面體的體積為 _____53_______. 8 、已知等差數(shù)列 ??na 和 等 比 數(shù) 列 ??nb 滿足：1 1 2 23 , 7 ,a b a b? ? ? ?3 3 4 415 , 35 ,a b a b? ? ? ?則 nnab??___ 132n n? ? ___.（ *nN? ） 將 2 7 , 3 7 , 4 7 , 4 8 , 5 5 7 1 7 5， ，這 7 個數(shù)排成一列，使任意連續(xù) 4 個數(shù)的和為 3 的倍數(shù)，則這樣的排列有 ___144_____種 . 三角形的周長為 31，三邊 ,abc均為整數(shù)，且 abc??，則滿足條件的三元數(shù)組( , , )abc 的個數(shù)為 __24___. 2 二、解答題（本題 80分，每題 20 分） 1在 ABC? 中，角 ,ABC 對應(yīng)的邊分別為 ,abc，證明： （ 1） c o s c o sb C c B a?? （ 2）22 sinc o s c o s 2CABa b c? ?? 12 、已知 ,ab 為實數(shù) ， 2a? ，函數(shù) ( ) | l n | ( 0 )af x x b xx? ? ? ?. 若(1 ) 1 , ( 2 ) l n 2 12ef e f? ? ? ? ?. （ 1）求實數(shù) ,ab； （ 2）求函數(shù) ()fx的單調(diào)區(qū)間； （ 3）若實數(shù) ,cd滿足 ,1c d cd??，求證： ( ) ( )f c f d? 3 1如圖，半徑為 1的圓 O 上有一定點 M 為圓 O 上的動點 .在射線OM 上有一動點 B , 1, 1AB OB??.線段 AB 交圓 O 于另一點C ， D 為線段的 OB 中點 .求線段 CD 長的取值范圍 . 4 1設(shè)是 , , ,abcd 正整數(shù)， ,ab是方程 2 ( ) 0x d c x cd? ? ? ?的兩個根 .證明：存在邊長是整數(shù)且面積為 ab 的直角三角形 . 5 2020 年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽湖北省 預(yù)賽 試題參考答案 （高一年級） 說明： 評閱試卷時，請依據(jù)本評分標(biāo)準(zhǔn)。填空題只設(shè) 8分和 0分兩檔；解答題的評閱，只要思路合理、步驟正確，在評卷時可參考本評分標(biāo)準(zhǔn)適當(dāng)劃分檔次評分。 直接將答案寫在橫線上。填空題只設(shè) 8分和 0分兩檔；解答題的評閱，只要思路合理、步驟正確，在評卷時可參考本評分標(biāo)準(zhǔn)適當(dāng)劃分檔次評分。 直接將答案寫在橫線上。填空題只設(shè) 8分和 0分兩檔；解答題的評閱，只要思路合理、步驟正確，在評卷時可參考本評分標(biāo)準(zhǔn)適當(dāng)劃分檔次評分。 直接將答案寫在橫線上。3()5 ( 1 ) 7,.23a a afx aa? ? ? ? ? ???? ??? ??? ??????? （ 14 分） 11． 證 （ 1） 記3xy yz zxt ???， 由平均不等式 ? ? 33 223 ( ) ( ) ( ) 3x y y z z xx y z x y y z z x ?????? ????． ??????? （ 4 分） 于是 324 9 9 3x y z x y y z zx t t? ? ? ? ? ?， 所以 ? ?? ?23 2 3 3 2 0t t t? ? ? ?， 而 23 3 2 0tt? ? ? ，所以 3 2 0t?? ，即 23t? ，從而 43xy yz zx? ? ?． ??????? （ 10 分） （ 2） 又因為 2( ) 3 ( )x y z xy yz zx? ? ? ? ?， 25 所以 2( ) 4x y z? ? ? ， 故 2x y z? ? ? ． ??????? （ 16 分） 12． 解 （ 1） 設(shè)集合 ? ?31, 2, , 2 1A ??，且 A滿足（ a），（ b）．則 1 , 7AA??．由于 ? ? ? ?1, , 7 2 , 3, , 6mm ? 不滿足（ b），故 3A? ． 又 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 , 2 , 3 , 7 , 1 , 2 , 4 , 7 , 1 , 2 , 5 , 7 , 1 , 2 , 6 , 7 , 1 , 3 , 4 , 7 , 1 , 3 , 5 , 7 , 1 , 3 , 6 , 7 , ? ? ? ? ? ?1 , 4 , 5 , 7 , 1 , 4 , 6 , 7 , 1 , 5 , 6 , 7都不滿足 （ b）， 故 4A? ． 而集合 ? ?1,2,4,6,7 滿足（ a），（ b），所以 (3) 5f ? ． ??????? （ 6 分） （ 2） 首先證明 ( 1 ) ( ) 2 , 3 , 4 ,f n f n n? ? ? ?． ①