全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽江西省預(yù)賽試題(含詳細(xì)答案)-在線瀏覽
2025-03-03 13:51本頁面
【正文】 斜邊上的高，（），分別是的內(nèi)心，的外接圓分別交于，直線交于點(diǎn)；證明：分別是的內(nèi)心與旁心．證：如圖，連，由，則圓心在上，設(shè)直徑交于，并簡(jiǎn)記的三內(nèi)角為，由，所以∽，得，且，故∽，而，注意，所以，因此，同理得，故與重合，即圓心在上，而，所以平分；同理得平分，即是的內(nèi)心，是的旁心．證二：如圖，因?yàn)?，故的外接圓圓心在上，連，則由為內(nèi)心知， 所以，于是四點(diǎn)共圓，所以，又因，因此點(diǎn)在上，即為與的交點(diǎn)．設(shè)與交于另一點(diǎn)，而由，可知，分別為的中點(diǎn)，所以，．因此，點(diǎn)分別為的內(nèi)心與旁心．、（分）設(shè)為非負(fù)實(shí)數(shù)，滿足，證明：．簡(jiǎn)證：為使所證式有意義，三數(shù)中至多有一個(gè)為；據(jù)對(duì)稱性，不妨設(shè)，則，對(duì)正數(shù)作調(diào)整，由于 ，取等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)，此時(shí)條件式成為，則，且有，于是，只要證，即，也即，此為顯然，取等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)，故命題得證．詳證：為使所證式有意義，三數(shù)中至多有一個(gè)為；據(jù)對(duì)稱性，不妨設(shè)，則；、當(dāng)時(shí)，條件式成為，而，只要證，即，也即，此為顯然；取等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)．、再證，對(duì)所有滿足的非負(fù)實(shí)數(shù)，皆有．顯然，三數(shù)中至多有一個(gè)為，據(jù)對(duì)稱性，仍設(shè)，則，令，為銳角，以為內(nèi)角，構(gòu)作，則，于是，且由知，；于是，即是一個(gè)非鈍角三角形．下面采用調(diào)整法，對(duì)于任一個(gè)以為最大角的非鈍角三角形，固定最大角，將調(diào)整為以為頂角的等腰，其中，且設(shè)，記，據(jù)知，．今證明，．即 ……．即要證 ……先證 ……，即證 ，即 ，此即 ，也即，即 ，此為顯然．由于在中，則；而在中，因此式成為
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