20xx年全國(guó)各省高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽預(yù)賽試題匯編含答案-展示頁(yè)
2024-08-31 21:25本頁(yè)面
【正文】 4 sin2A B CD O B CS S O B O C B O C?? ? ? ? ? 2OB OC??2 12x ?? ， 故 ()ABhx? 2 12x?? ， 所以 2 1() 2xhx x?? ． ??????? （ 10 分） 由 ③可得， 2 10x ?? ，故 1x? ． 因?yàn)?22 2O B O C O B O C? ? ?，結(jié)合②，③可得 24 2211( 1) 22 22xx ?? ? ?， 解得（結(jié)合 1x? ） 1 2 1x? ? ?． 綜上所述， 2 1() 2xhx x?? ， 1 2 1x? ? ? ． ??????? （ 14 分） 10． 解 ( sin ) ( 4 sin ) 3 ( 1 )( ) 1 sin 21 sin 1 sina x x af x x axx? ? ?? ? ? ? ? ???． 當(dāng) 71 3a?? 時(shí)， 0 3( 1) 2a? ? ?，此時(shí) 3 ( 1 )( ) 1 sin 2 2 3 ( 1 ) 21 sinaf x x a a ax?? ? ? ? ? ? ? ? ??， 且當(dāng) ? ?? ?sin 3 ( 1 ) 1 1 , 1xa? ? ? ? ?時(shí)不等式等號(hào)成立，故 m in ( ) 2 3 ( 1) 2f x a a? ? ? ?． ??????? （ 6 分） 當(dāng) 73a? 時(shí)， 3( 1) 2a??，此時(shí)“耐克”函數(shù) 3( 1)ayt t??? 在 ?0, 3( 1)a ?? ?內(nèi)是遞減，故此時(shí) m in 3 ( 1 ) 5 ( 1 )( ) ( 1 ) 2 222aaf x f a??? ? ? ? ? ?． 綜上所述，m in72 3 ( 1 ) 2 , 1 。 一、填空題（本題滿分 64分，每小題 8分。 ） 1．函數(shù)74 1)( 2 ?? ?? xx xxf的 值域?yàn)?________________． 2 ． 已 知 1s in2s in3 22 ?? ?? ， 1)c o s( s in2)c o s( s in3 22 ???? ???? ，則??)(2cos?? _______________． 3．已知數(shù)列 }{na 滿足： 1a 為正整數(shù)，???????? ,13,21為奇數(shù)為偶數(shù)nnnnn aa aaa如果 29321 ??? aaa ，則 ?1a ． 4．設(shè)集合 }12,3,2,1{ ??S ， },{ 321 aaaA? 是 S 的子集，且滿足 321 aaa ?? ， 523 ??aa ，那么滿足條件的子集 A 的個(gè)數(shù)為 ． 5．過(guò)原點(diǎn) O 的直線 l 與橢圓 C ： )0(12222 ???? babyax 交于 NM, 兩點(diǎn)， P 是橢圓 C 上異于 NM, 的任一點(diǎn)．若直線 PNPM, 的斜率之積為31?，則橢圓 C 的離心率為_(kāi)______________． 6．在 △ ABC 中， 2??BCAB ， 3?AC ．設(shè) O 是 △ ABC 的內(nèi)心，若 ACqABpAO ?? ，則qp的值為 _______________． 7．在長(zhǎng)方體 1111 DCBAABCD? 中，已知 pABCBAC ??? 11 ,2,1 ，則長(zhǎng)方體的體積最大時(shí)， p 為 _______________． 8．設(shè) ][x 表示不超過(guò) x 的最大整數(shù)，則 202010 2020 2[]2kkk ?? ? ?? ． 二、解答題（本大題滿分 56 分，第 9題 16分，第 10題 20分，第 11題 20分） 9．已知正項(xiàng)數(shù)列 }{na 滿足 21 2 1 1 143n n n n n n n n na a a a a a a a a? ? ? ? ?? ? ? ?且 1 1a? ， 9 2 8a? ，求 }{na 的通項(xiàng)公式． 10．已知正實(shí)數(shù) ba, 滿足 122 ??ba ，且 333 )1(1 ????? bamba ，求 m 的取值范圍． 11．已知點(diǎn) ),( nmE 為拋物線 )0(22 ?? ppxy 內(nèi)一定點(diǎn)，過(guò) E 作斜率分別為 21,kk 的兩條直線交拋物線于 DCBA , ，且 NM, 分別是線段 CDAB, 的中點(diǎn)． （ 1）當(dāng) 0?n 且 121 ???kk 時(shí)，求 △ EMN 的面積的最小值； （ 2）若 ??? 21 kk （ ?? ,0? 為常數(shù)），證明：直線 MN 過(guò)定點(diǎn)． 10 2020 年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽湖北省 預(yù)賽 試題參考答案 （高 二 年級(jí)） 說(shuō)明： 評(píng)閱試卷時(shí)，請(qǐng)依據(jù)本評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)。 一、填空題（本題滿分 64分，每小題 8分。 ） 1．已知集合 ????? babxxBaxxA ,},|{},|{ N，且 ??BA N }1{? ，則 ??ba 1 ． 2 ． 已 知 正 項(xiàng) 等 比 數(shù) 列 }{na 的公比 1?q ，且 542 , aaa 成 等 差 數(shù) 列 ， 則??? ?? 963 741 aaa aaa 352? ． 3．函數(shù)74 1)( 2 ?? ?? xx xxf的值域?yàn)?6[0, ]6 ． 4．已知 1s in2s in3 22 ?? ?? ， 1)c o s( s in2)c o s( s in3 22 ???? ???? ，則 ?? )(2cos ?? 13? ． 5．已知數(shù)列 }{na 滿足： 1a 為正整數(shù)， ???????? ,13,21為奇數(shù)為偶數(shù)nnnnn aa aaa 如果 29321 ??? aaa ，則 ?1a 5 ． 6．在 △ ABC 中，角 CBA , 的對(duì)邊長(zhǎng) cba, 滿足 bca 2?? ，且 AC 2? ，則 ?Asin 74 ． 6 7．在 △ ABC 中， 2??BCAB ， 3?AC ．設(shè) O 是 △ ABC 的內(nèi)心，若 ACqABpAO ?? ，則qp的值為 32． 8．設(shè) 321 , xxx 是方程 013 ???xx 的三個(gè)根，則 535251 xxx ?? 的值為 － 5 ． 二、解答 題（本大題滿分 56 分，第 9題 16分，第 10題 20分，第 11題 20分） 9．已知正項(xiàng)數(shù)列 }{na 滿足 21 2 1 1 143n n n n n n n n na a a a a a a a a? ? ? ? ?? ? ? ?且 1 1a? ，2 8a? ，求 }{na 的通項(xiàng)公式． 解 在 已知等式 兩邊同時(shí)除以 1?nnaa ，得 3141 112 ???? ???nnnn aaaa ， 所以 2111 1 4 ( 1 1 )nnaa???? ? ? ? ?． 4 分 令 11 1 ??? ?nnn aab ,則 nn bbb 4,4 11 ?? ? ， 即數(shù)列 }{nb 是以 1b ＝ 4 為首項(xiàng) ,4 為公比的等比數(shù)列 ， 所以 nnnbb 4411???? . 8 分 所以 nna 4111???? , 即 nnn aa ]1)14[( 21 ???? . 12 分 于是 ， 當(dāng) 1?n 時(shí) , 22221121 ]1)14[(]1)14[(]1)14[( ????? ????????? nnnnnn aaa ?? ?????? ??????? 112111 121 ]1)14[(]1)14[( nkknkk a? ， 因此 ,????? ??? ?? ???? .2,]1)14[(,1,1 1121 nna nkkn 16 分 10．已知正實(shí)數(shù) ba, 滿足 122 ??ba ，且 333 )1(1 ????? bamba ，求 m 的最小值． 解 令 cos , sinab????， 0 2???? ，則 322333 )1s i n( c o s 1)s i ns i nc o s) ( c o ss i n( c o s)1s i n( c o s 1s i nc o s ?? ??????? ??? ?? ???????? ??m ． 7 5 分 令 ?? sincos ??x ，則 ]2,1()4s in (2 ??? ??x，且21s i nc o s2??x??． 10 分 于是 21)1(2 3)1(2 2)1(22)1(2 32)1(1)2 11(22333
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