20xx年全國各省高中數(shù)學(xué)競賽預(yù)賽試題匯編含答案(參考版)
2024-08-23 21:25本頁面
【正文】 ( ) 0nfx? ； ∴ ()nfx在 2nx n? ? 處取得最大值，即 2224( ) ( )2 2 ( 2 )nnn nnna n n n ???? ? ? 綜上所述，21 , ( 1)84 , ( 2)( 2)n nnnan nn ?? ???? ?? ?? ??． （ 10分 ） （ II）當(dāng) 2n? 時，欲證 2241( 2) ( 2)nnnnn? ???，只需證明 2(1 ) 4nn?? ∵ 0 1 1 2 22 2 2 2( 1 ) ( ) ( ) ( )n n nn n n nC C C Cn n n n? ? ? ? ? ? ? ? ? 2( 1 ) 41 2 1 2 1 42nn n?? ? ? ? ? ? ? ? 所以，當(dāng) 2n? 時，都有21( 2)na n? ?成立． （ 15分 ） （ III）當(dāng) 1,2n? 時，結(jié)論顯然成立； 32 當(dāng) 3n? 時，由（ II）知34118 16nnS a a a? ? ? ? ? ? 2 2 21 1 1 1 18 1 6 5 6 ( 2 )n? ? ? ? ? ? ? 1 1 1 1 1 1 1 1( ) ( ) ( )8 16 4 5 5 6 1 2nn? ? ? ? ? ? ? ? ??? 1 1 1 78 16 4 16? ? ? ?． 所以，對任意正整數(shù) n ，都有 716nS ?成立． （ 20分 ） 33 34 35 36 37 38 39 40 。( ) 0nfx? 知 1x? 或者 2nx n? ? ， （ 5分 ） 當(dāng) 1n? 時， 11[ ,1]2 3 2nn ??? ，又1 11()28f ?， (1) 0nf ? ，故1 18a?； 當(dāng) 2n? 時， 11[ ,1]2 2 2nn ??? ，又2 11()2 16f ?， (1) 0nf ? ，故2 116a?； 當(dāng) 3n? 時， 1[ ,1]22nn ?? ， ∵ 1[ , )22nx n? ? 時， 39。 若 0b? 時，則由 cos 0a b c??知 0a? ，這與 10ab? ? ? 矛盾！ 若 sin 0c? ，則 cos 1c? （舍去）， cos 1c?? ， 解得 ?)12(,21 ???? kcba，所以， 1cos ??a cb． （ 20分 ） 1解：（ I）因為 2( ) ( )a c b c a b a c b c c? ? ? ? ? ? 1()ab a b c c ab ab? ? ? ? ? ? （ 5分 ） 122abab? ? ?，等號成立的條件是 1ab? ， 當(dāng) 1, 2 1a b c? ? ? ?時， S 可取最小值 2． （ 10分 ） （ II）當(dāng) S 取最小值時， 1ab? ，從而 ( ) 1c a b c? ? ? ， 即 2 ( ) 1 0c a b c? ? ? ?，令 t a b??，則 22t ab?? （ 15分 ） 從而 2 42ttc ? ? ?? 或者 2 4 02ttc ? ? ???（舍去） 故 22422 4ttc tt? ? ??? ??在 [2, )t? ?? 單減， 所以在 2t? 時， c 有最大值 21? ． （ 20分 ） 1解：將直線 1y kx??與雙曲線 221xy??方程聯(lián)立得2211y kxxy???? ??? 化簡得 22( 1) 2 2 0k x kx? ? ? ?① （ 5分 ） 由題設(shè)知方程 ①有兩負根，因此2212 212 24 8 ( 1) 02 012 01kkkxxkxxk??? ? ? ? ???? ? ? ????? ? ? ?? ??， 解得 12k?? ． （ 10分 ） 設(shè) 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y，則有12 22 1kxx k? ? ? ?， 31 21 2 1 2 22( ) 2 211ky y k x x kk? ? ? ? ? ? ? ? ??? 故 AB 的中點為221( , )11kkk????， 所以直線 l 方程為2 1 ( 2)22yxkk?????，其在 y 軸的截距 b2 222kk?? ??， （ 15分 ） 當(dāng) 12k?? 時， 1 172 2 2( )48k k k? ? ? ? ?，其取值范 圍是 ( 1,2 2)?? 所以 b2 222kk?? ??的取值范圍是 ( , 2 2 ) ( 2 , )?? ? ? ??． （ 20分 ） 1解：（ I） 39。 ） 1．函數(shù)74 1)( 2 ?? ?? xx xxf的值域為 6[0, ]6 ． 2．已知 1s in2s in3 22 ?? ?? ， 1)c o s( s in2)c o s( s in3 22 ???? ???? ，則 ?? )(2cos ?? 13? ． 3．已知數(shù)列 }{na 滿足： 1a 為正整數(shù)， ???????? ,13,21為奇數(shù)為偶數(shù)nnnnn aa aaa 如果 29321 ??? aaa ，則 ?1a 5 ． 4．設(shè)集合 }12,3,2,1{ ??S ， },{ 321 aaaA? 是 S 的子集，且滿足 321 aaa ?? ， 523 ??aa ，那么滿足條件的子集 A 的個數(shù)為 185 ． 5．過原點 O 的直線 l 與橢圓 C ： )0(12222 ???? babyax 交于 NM, 兩點， P 是橢圓 C 上異于 NM, 的任一點．若直線 PNPM, 的斜率之積為31?，則橢圓 C 的離心率為 63 ． 6．在 △ ABC 中， 2??BCAB ， 3?AC ．設(shè) O 是 △ ABC 的內(nèi)心，若 ACqABpAO ?? ，則qp的值為 32 ． 11 7．在長方體 1111 DCBAABCD? 中，已知 pABCBAC ??? 11 ,2,1 ，則長方體的體積最大時， p 為 2313?． 8．設(shè) ][x 表示不超過 x 的最大整數(shù)，則 202010 2020 2[]2kkk ?? ? ?? 2020 ． 二、解答題（本大題滿分 56 分，第 9題 16分，第 10題 20分，第 11題 20分） 9．已知正項數(shù)列 }{na 滿足 21 2 1 1 143n n n n n n n n na a a a a a a a a? ? ? ? ?? ? ? ?且 1 1a? ，2 8a? ，求 }{na 的通項公式． 解 在 已知等式 兩邊同時除以 1?nnaa ，得 3141 112 ???? ???nnnn aaaa ， 所以 2111 1 4 ( 1 1 )nnaa???? ? ? ? ?． 4 分 令 11 1 ??? ?nnn aab ,則 nn bbb 4,4 11 ?? ? ， 即數(shù)列 }{nb 是以 1b ＝ 4 為首項 ,4 為公比的等比數(shù)列 ， 所以 nnnbb 4411???? . 8 分 所以 nna 4111???? , 即 nnn aa ]1)14[( 21 ???? . 12 分 于是 ， 當(dāng) 1?n 時 , 22221121 ]1)14[(]1)14[(]1)14[( ????? ????????? nnnnnn aaa ?? ?????? ??????? 112111 121 ]1)14[(]1)14[( nkknkk a? ， 因此 ,????? ??? ?? ???? .2,]1)14[(,1,1 1121 nna nkkn 16 分 10．已知正實數(shù) ba, 滿足 122 ??ba ，且 333 )1(1 ????? bamba ，求 m 的取值范圍． 解 令 cos , sinab????， 0 2???? ，則 12 322333 )1s i n( c o s 1)s i ns i nc o s) ( c o ss i n( c o s)1s i n( c o s 1s i nc o s ?? ??
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