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全國各省高中數(shù)學競賽預賽試題匯編(含答案)(參考版)

2025-01-17 01:07本頁面
  

【正文】 ) 1.函數(shù)的值域為.2.已知,則.3.已知數(shù)列滿足:為正整數(shù),如果,則 5 .4.設集合,是的子集,且滿足,那么滿足條件的子集的個數(shù)為 185 .5.過原點的直線與橢圓:交于兩點,是橢圓上異于的任一點.若直線的斜率之積為,則橢圓的離心率為.6.在△中,.設是△的內心,若,則的值為.7.在長方體中,已知,則長方體的體積最大時,為.8.設表示不超過的最大整數(shù),則 2012 .二、解答題(本大題滿分56分,第9題16分,第10題20分,第11題20分)9.已知正項數(shù)列滿足且,求的通項公式.解 在已知等式兩邊同時除以,得,所以 . 4分令,則,即數(shù)列是以=4為首項,4為公比的等比數(shù)列,所以. 8分所以,即 . 12分于是,當時, ,因此, 16分10.已知正實數(shù)滿足,且,求的取值范圍.解 令,則.5分令 ,則 ,且.10分于是. 15分因為函數(shù)在上單調遞減,所以.又,所以. 20分11.已知點為拋物線內一定點,過作斜率分別為的兩條直線交拋物線于,且分別是線段的中點.(1)當且時,求△的面積的最小值;(2)若(為常數(shù)),證明:直線過定點.解 所在直線的方程為,其中,代入中,得,設,則有,從而.則.所在直線的方程為,其中,同理可得.5分(1)當時,.又,故,于是△的面積,當且僅當時等號成立.所以,△的面積的最小值為. 10分(2),所在直線的方程為,即. 15分又,即,代入上式,得,即 .當時,有,即為方程的一組解,所以直線恒過定點. 20分2012年上海市高中數(shù)學競賽一、填空題(本題滿分60分,前4小題每小題7分,后4小題每小題8分),正六邊形的邊長為1,它的6條對角線又圍成一個正六邊形,如此繼續(xù)下去,則所有這些六邊形的面積和是 . : ,則的最小可能值是 .,,,則 .4.已知關于的方程僅有一個實數(shù)解,則實數(shù)的取值范圍是 .5.如圖,是邊長為的正方形的內接三角形,已知,則 .6.方程的非負整數(shù)解 .7.一個口袋里有5個大小一樣的小球,其中兩個是紅色的,兩個是白色的,一個是黑色的,依次從中摸出5個小球,相鄰兩個小球的顏色均不相同的概率是 .(用數(shù)字作答)8.數(shù)列定義如下:.若,則正整數(shù)的最小值為
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