全國各省高中數(shù)學(xué)競賽預(yù)賽試題匯編(含答案)(參考版)
2025-01-17 01:07本頁面
【正文】 ） 1．函數(shù)的值域為．2．已知，則．3．已知數(shù)列滿足：為正整數(shù)，如果，則 5 ．4．設(shè)集合，是的子集，且滿足，那么滿足條件的子集的個數(shù)為 185 ．5．過原點的直線與橢圓：交于兩點，是橢圓上異于的任一點．若直線的斜率之積為，則橢圓的離心率為．6．在△中，．設(shè)是△的內(nèi)心，若，則的值為．7．在長方體中，已知，則長方體的體積最大時，為．8．設(shè)表示不超過的最大整數(shù)，則 2012 ．二、解答題（本大題滿分56分，第9題16分，第10題20分，第11題20分）9．已知正項數(shù)列滿足且，求的通項公式．解 在已知等式兩邊同時除以，得，所以 ． 4分令,則，即數(shù)列是以＝4為首項,4為公比的等比數(shù)列，所以. 8分所以,即 . 12分于是，當(dāng)時, ，因此, 16分10．已知正實數(shù)滿足，且，求的取值范圍．解 令，則．5分令 ，則 ，且．10分于是． 15分因為函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以．又，所以． 20分11．已知點為拋物線內(nèi)一定點，過作斜率分別為的兩條直線交拋物線于，且分別是線段的中點．（1）當(dāng)且時，求△的面積的最小值；（2）若（為常數(shù)），證明：直線過定點．解 所在直線的方程為，其中，代入中，得，設(shè)，則有，從而．則．所在直線的方程為，其中，同理可得．5分（1）當(dāng)時，．又，故，于是△的面積，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立．所以，△的面積的最小值為. 10分（2），所在直線的方程為，即． 15分又，即，代入上式，得，即 ．當(dāng)時，有，即為方程的一組解，所以直線恒過定點． 20分2012年上海市高中數(shù)學(xué)競賽一、填空題（本題滿分60分，前4小題每小題7分，后4小題每小題8分）,正六邊形的邊長為1,它的6條對角線又圍成一個正六邊形,如此繼續(xù)下去,則所有這些六邊形的面積和是 . : ,則的最小可能值是 .，,，則 .4．已知關(guān)于的方程僅有一個實數(shù)解，則實數(shù)的取值范圍是 .5．如圖，是邊長為的正方形的內(nèi)接三角形，已知，則 .6．方程的非負(fù)整數(shù)解 .7．一個口袋里有5個大小一樣的小球，其中兩個是紅色的，兩個是白色的，一個是黑色的，依次從中摸出5個小球，相鄰兩個小球的顏色均不相同的概率是 .（用數(shù)字作答）8．?dāng)?shù)列定義如下：.若，則正整數(shù)的最小值為
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