【導(dǎo)讀】3,4,5,6,7,8中隨機選取3個不同的數(shù)，這3個數(shù)可以構(gòu)成等差數(shù)列的概率為。的一個實根是b，則。的右焦點為F，一條過原點O且。傾斜角為銳角的直線l與雙曲線C交于,AB兩點.若FAB?的面積為83，則直線的斜。則這樣的排列有___144_____種.，則滿足條件的三元數(shù)組。中，角,,ABC對應(yīng)的邊分別為,,abc，證明：。求函數(shù)()fx的單調(diào)區(qū)間；.線段AB交圓O于另一點。C，D為線段的OB中點.求線段CD長的取值范圍.填空題只設(shè)8分和0分兩檔；解答題的評閱，只要思路合理、步驟正確，在評卷時可參考本評分標準適當劃分檔次評分。直接將答案寫在橫線上。2．已知正項等比數(shù)列}{na的公比1?AC．設(shè)O是△ABC的內(nèi)心，若ACqABpAO??

　　

【正文】 位數(shù) abcde ， 滿足條件“ a b c d e? ? ? ?”的概率是 ． 三、解答題（本 大題共 4個小題， 每小題 20 分 ，共 80 分 ） 1設(shè)函數(shù) ( ) sin 3 c os 1f x x x? ? ?， （ I）求函數(shù) ()fx在 [0, ]2? 上的最大值與最小值； （ II）若實數(shù) cba , 使得 1)()( ??? cxbfxaf 對任意 Rx? 恒成立，求 acbcos 的值． FEB CA D 28 1已知 ,abc R?? ，滿足 ( ) 1abc a b c? ? ?， （ I）求 ( )( )S a c b c? ? ?的最小值； （ II）當 S 取最小值時，求 c 的最大值． 1直線 1y kx??與雙曲線 221xy??的左支交于 A 、 B 兩點，直線 l 經(jīng)過點 ( 2,0)? 和 AB 的中點，求直線 l 在 y 軸的截距 b 的取值范圍． 1設(shè)函數(shù) 2( ) (1 )nnf x x x??在 1[ ,1]2 上的最大值為 na （ 1,2,3,n? ）． （ I）求數(shù)列 {}na 的通項公式； 29 （ II）求證：對任何正整數(shù) ( 2)nn? ，都有21( 2)na n? ?成立； （ III）設(shè)數(shù)列 {}na 的前 n 項和為 nS ，求證：對任意正整數(shù) n ，都有 716nS ?成立． 2020年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽（四川初賽） 參考解答 一、選擇題 （本大題共 6 個小題，每小題 5 分，共 30 分） C A A B B D 二、填空題 （本大題共 6 個小題，每小題 5 分，共 30 分） 32? 5? 0 14 1 24 1 215 三、解答題 （本大題共 4 個小題，每小題 20 分，共 80 分） 1 解：（ I）由條件知 ( ) 2 sin ( ) 13f x x ?? ? ?， （ 5分 ） 由 0 2x ??? 知， 53 3 6x? ? ?? ? ? ，于是 1 sin ( ) 123x ?? ? ? 所以 2x ?? 時， ()fx有最小值 12 1 22? ? ? ； 當 6x ?? 時， ()fx有最大值 2 1 1 3? ? ? ． （ 10分 ） （ II）由條件可知 2 sin ( ) 2 sin ( ) 133a x b x c a b??? ? ? ? ? ? ?對任意的 xR? 恒成立， ∴ 2 sin ( ) 2 sin ( ) c os 2 c os ( ) sin ( 1 ) 03 3 3a x b x c b x c a b? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ∴ 2 ( c o s ) sin ( ) 2 sin c o s( ) ( 1 ) 033a b c x b c x a b??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 30 ∴ cos 0sin 010a b cbcab???????? ? ??, （ 15分 ） 由 sin 0bc? 知 0b? 或 sin 0c? 。 若 0b? 時，則由 cos 0a b c??知 0a? ，這與 10ab? ? ? 矛盾！ 若 sin 0c? ，則 cos 1c? （舍去）， cos 1c?? ， 解得 ?)12(,21 ???? kcba，所以， 1cos ??a cb． （ 20分 ） 1解：（ I）因為 2( ) ( )a c b c a b a c b c c? ? ? ? ? ? 1()ab a b c c ab ab? ? ? ? ? ? （ 5分 ） 122abab? ? ?，等號成立的條件是 1ab? ， 當 1, 2 1a b c? ? ? ?時， S 可取最小值 2． （ 10分 ） （ II）當 S 取最小值時， 1ab? ，從而 ( ) 1c a b c? ? ? ， 即 2 ( ) 1 0c a b c? ? ? ?，令 t a b??，則 22t ab?? （ 15分 ） 從而 2 42ttc ? ? ?? 或者 2 4 02ttc ? ? ???（舍去） 故 22422 4ttc tt? ? ??? ??在 [2, )t? ?? 單減， 所以在 2t? 時， c 有最大值 21? ． （ 20分 ） 1解：將直線 1y kx??與雙曲線 221xy??方程聯(lián)立得2211y kxxy???? ??? 化簡得 22( 1) 2 2 0k x kx? ? ? ?① （ 5分 ） 由題設(shè)知方程 ①有兩負根，因此2212 212 24 8 ( 1) 02 012 01kkkxxkxxk??? ? ? ? ???? ? ? ????? ? ? ?? ??， 解得 12k?? ． （ 10分 ） 設(shè) 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y，則有12 22 1kxx k? ? ? ?， 31 21 2 1 2 22( ) 2 211ky y k x x kk? ? ? ? ? ? ? ? ??? 故 AB 的中點為221( , )11kkk????， 所以直線 l 方程為2 1 ( 2)22yxkk?????，其在 y 軸的截距 b2 222kk?? ??， （ 15分 ） 當 12k?? 時， 1 172 2 2( )48k k k? ? ? ? ?，其取值范 圍是 ( 1,2 2)?? 所以 b2 222kk?? ??的取值范圍是 ( , 2 2 ) ( 2 , )?? ? ? ??． （ 20分 ） 1解：（ I） 39。 1 2 1( ) ( 1 ) 2 ( 1 ) ( 1 ) [ ( 1 ) 2 ]n n nnf x n x x x x x x n x x??? ? ? ? ? ? ? ?， 當 1[ ,1]2x? 時，由 39。( ) 0nfx? 知 1x? 或者 2nx n? ? ， （ 5分 ） 當 1n? 時， 11[ ,1]2 3 2nn ??? ，又1 11()28f ?， (1) 0nf ? ，故1 18a?； 當 2n? 時， 11[ ,1]2 2 2nn ??? ，又2 11()2 16f ?， (1) 0nf ? ，故2 116a?； 當 3n? 時， 1[ ,1]22nn ?? ， ∵ 1[ , )22nx n? ? 時， 39。( ) 0nfx? ； ( ,1)2nx n? ? 時， 39。( ) 0nfx? ； ∴ ()nfx在 2nx n? ? 處取得最大值，即 2224( ) ( )2 2 ( 2 )nnn nnna n n n ???? ? ? 綜上所述，21 , ( 1)84 , ( 2)( 2)n nnnan nn ?? ???? ?? ?? ??． （ 10分 ） （ II）當 2n? 時，欲證 2241( 2) ( 2)nnnnn? ???，只需證明 2(1 ) 4nn?? ∵ 0 1 1 2 22 2 2 2( 1 ) ( ) ( ) ( )n n nn n n nC C C Cn n n n? ? ? ? ? ? ? ? ? 2( 1 ) 41 2 1 2 1 42nn n?? ? ? ? ? ? ? ? 所以，當 2n? 時，都有21( 2)na n? ?成立． （ 15分 ） （ III）當 1,2n? 時，結(jié)論顯然成立； 32 當 3n? 時，由（ II）知34118 16nnS a a a? ? ? ? ? ? 2 2 21 1 1 1 18 1 6 5 6 ( 2 )n? ? ? ? ? ? ? 1 1 1 1 1 1 1 1( ) ( ) ( )8 16 4 5 5 6 1 2nn? ? ? ? ? ? ? ? ??? 1 1 1 78 16 4 16? ? ? ?． 所以，對任意正整數(shù) n ，都有 716nS ?成立． （ 20分 ） 33 34 35 36 37 38 39 40