【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 到目的 . 例 8 設(shè)隨機(jī)變量 ? 服從 幾何分布 ),( pkg ,求它的數(shù)學(xué)期望 )(?E . 解 因?yàn)?1)1()( ???? kppkP ? ),2,1,10( ???? kp ，根據(jù)分布律的性質(zhì)得1)1(1 1 ????? ?k kpp 兩邊對(duì) p 求導(dǎo)數(shù)，得 ? ? 0)1)(1()1(1 21 ???????? ??k kk pkpp ， 0)1(1 1)1(1 1)1(1 1 11 11 1 ???????? ??? ?? ??? ??? ? k kk kk k ppppkppppp ， 即 01 1)(1 11 ????? pEpp ? ， 因此pE 1)( ??. 聊城大學(xué)本科畢業(yè)論文 8 利用分布的對(duì)稱性 對(duì)稱的概念在概率中有著非常廣泛且重要的作用 ,利用這一技巧可以簡(jiǎn)化解題的步驟 .一般的幾何概率問(wèn)題要用積分進(jìn)行計(jì)算比較復(fù)雜 ,但利用對(duì)稱性計(jì)算簡(jiǎn)單便捷 ,當(dāng)隨機(jī)變量的分布律或分布密度函數(shù)較復(fù)雜時(shí) ,如果隨機(jī)變量的分布律或分布密度函數(shù)具有對(duì)稱性 ,則其數(shù)學(xué)期望就是其取值的對(duì)稱中心 . 例 9 設(shè)在區(qū)間 )1,0( 上隨機(jī)地取 n 個(gè)點(diǎn) ,以 X 表示相距最遠(yuǎn)的兩點(diǎn)間的距離 ,求 )(XE . 解 n 個(gè)點(diǎn)把 )1,0( 區(qū)間分成 )1(?n 段 , 它 們 的 長(zhǎng) 度 分 別 依 次 記 為121 , ?nXXX ? . 根據(jù)對(duì)稱性 ,每一個(gè) iX 的概率分布都應(yīng)相同 ,從而數(shù)學(xué)期望也都相同 .但1121 ???? ?nXXX ? ,因此 ， 11)( ?? nXE i .相距最遠(yuǎn)的兩點(diǎn)間的距離為nXX ???2 ,因此 11)( ??? nnXE . 例 10 若 nXXX , 21 ? 為正的獨(dú)立隨機(jī)變量，服從相同分布，試證明nkXXX XXXE nk ????????? ??? ??? ??21 21. 證 由對(duì)稱性知nnnn XXXXXXX XXXX X ????????? ????21212211 , 同分布，故 ???????? ????????????? ??????? nnnn XXX XEXXX XEXXX XE ???? 2121 221 1 )( . 而 12121 ????????? ??? ???nnXXX XXXE ?? ， 故 ninXXX XEni ,2,1,121?? ?????????? ??? . 因此， 由 數(shù)學(xué)期望的可加性知 聊城大學(xué)本科畢業(yè)論文 9 nkXXX XXXE nk ????????? ??? ??? ??21 21. 利用 遞推法 對(duì)于某些隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望 ,可以容易求得其鄰近數(shù)值的關(guān)系 ,進(jìn)而得出其遞推公式 . 例 11 設(shè)試驗(yàn)有 m 個(gè)等可能的結(jié)果 . 求至少一個(gè)結(jié)果連續(xù)發(fā)生 k 次的獨(dú)立試驗(yàn)的期望次數(shù) . 解 設(shè) 1?kA ? “至少一個(gè)結(jié)果連續(xù)發(fā)生 1?k 次” , kA ? “至少一個(gè)結(jié)果連續(xù)發(fā)生 k 次” . 在 1?kA 發(fā)生的條件下 ,或者繼續(xù)試驗(yàn)一次 ,同一結(jié)果又發(fā)生的概率為 m1 ,導(dǎo)致kA 發(fā)生 ?；蛘呃^續(xù)試驗(yàn)一次 ,而發(fā)生其它結(jié)果 ,這樣 ,要使 kA 發(fā)生 ,猶如從頭開(kāi)始 .由此得 kkk EmmEE ?????? ????? ? 11111,即 1 ?? ?kk mEE ,而 11?E ，故 )1/()1(1 12 ???????? ? mmmmmE kkk ?. 以上討論了幾種簡(jiǎn)化計(jì)算數(shù)學(xué)期望的方法和技巧，但不是全部，在此不再列舉 .不過(guò)，我們?cè)谟?jì)算隨機(jī)變量 X 的數(shù)學(xué)期望時(shí)，要注意 :對(duì)于離散型隨機(jī)變量 X的數(shù)學(xué)期望，其數(shù)值是級(jí)數(shù)的和 ,而且數(shù)學(xué)期望完全是由 X 的分布列確定，而不受X 的可能取值的排列次序的影響， 因此，要求級(jí)數(shù) ???1k kkpx絕對(duì)收斂， 若級(jí)數(shù)???1k kkpx 不是絕對(duì)收斂，則其數(shù)學(xué)期望不存在 .對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量 X 的數(shù)學(xué)期望，其數(shù)值是積分 dxxxf )(?????的值，若該積分不是絕對(duì)收斂，則其數(shù)學(xué)期望也不存在 . 總之，只要對(duì) 數(shù)學(xué)期望的基本定義和隨機(jī)變量分布形式的特點(diǎn)有了透徹 的理解，那么 ,對(duì)各種簡(jiǎn)化計(jì)算方法和技巧的應(yīng)用就會(huì)游刃有余 了 . 聊城大學(xué)本科畢業(yè)論文 10 第三章 數(shù)學(xué)期望的應(yīng)用 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)科是一門研究隨機(jī)現(xiàn)象的學(xué)科，它的思想方法與我們以往接觸過(guò)的任何一門學(xué)科有所不同，在概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)中 ,許多概念抽象、難懂，許多學(xué)生一時(shí)無(wú)法接受隨機(jī)的思維方式，若仍采用刻板的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式，得到的學(xué)習(xí)效果恐怕不盡人意，若在學(xué)習(xí)的過(guò)程中能結(jié)合實(shí)際生活中的所見(jiàn)所聞，舉出相應(yīng)的實(shí)例，不僅能啟發(fā)學(xué)習(xí)思維，提高學(xué)習(xí)興趣，也能用所學(xué)知識(shí)去解決實(shí)際生活中的問(wèn)題 .數(shù)學(xué)期望是隨機(jī)變量的一個(gè)很重要的數(shù)字特征，在現(xiàn)實(shí)生活中 ，如生產(chǎn)銷售、風(fēng)險(xiǎn)決策、物流、民事糾紛、醫(yī)療、體育等很多問(wèn)題都可以直接或間接地利用數(shù)學(xué)期望來(lái)解決 . 數(shù)學(xué)期望在生產(chǎn)和銷售利潤(rùn)中的應(yīng)用 在經(jīng)濟(jì)活動(dòng)中，不論是廠家的生產(chǎn)還是商家的銷售，總是追求利潤(rùn)的最大化，供大于求或供不應(yīng)求都不利于獲得最大利潤(rùn)，但供應(yīng)量和需求量又不是預(yù)先知道的 ,理性的廠家或商家往往根據(jù)過(guò)去的生產(chǎn)或銷售數(shù)據(jù)（概率）制定生產(chǎn)或銷售量 . 數(shù)學(xué)期望在生產(chǎn)利潤(rùn)中的應(yīng)用 例 12 假設(shè)一部機(jī)器在一天內(nèi)發(fā)生故障的概率 ，機(jī)器發(fā)生故障則全天停止工作 ， 若一周 5個(gè)工作日里無(wú)故障，可獲利潤(rùn) 10萬(wàn)元；發(fā)生 1次故障仍可獲利潤(rùn)5萬(wàn)元發(fā)生； 次故障所獲利潤(rùn) 0 元；發(fā)生 3次或 3 次以上故障就要虧損 2 萬(wàn)元，求一周內(nèi)期望利潤(rùn)是多少元？ 解 設(shè)一周 5天內(nèi)機(jī)器發(fā)生故障的天數(shù)為 ? 則服從參數(shù) ),5( 的二項(xiàng)分布： .)2()1()0(1)3(,)2(,)1(,)0(),5,4,3,2,1,0()(32254115500555????????????????????? ?????????PPPPPPPkkPCCCC kkk 聊城大學(xué)本科畢業(yè)論文 11 以 ? 表示所獲利潤(rùn)，則 ??????????????.3,2。2,0。1,5。0,10)(?????? f ? 的概率分布為 ? 10 5 0 2 P )(2 1 5 )2(2 0 1 3 萬(wàn)元???????????E . 故工廠一周內(nèi)期望利潤(rùn)是 萬(wàn)元 . 數(shù)學(xué)期望在銷售利潤(rùn)中的應(yīng)用 例 13 某商場(chǎng)某品牌的空調(diào)器每周的銷售量 ? 是一個(gè)隨機(jī)變量 ,分布列為)30,13,12,11(201)( ???? kkP ? 而商場(chǎng)每周的進(jìn)貨量為區(qū)間 ? ?30,11 中的某一整數(shù) ,商場(chǎng)每銷售一臺(tái)空調(diào)可獲利 500 元 ,若供大于求則每臺(tái)多余的空調(diào)器需交保管費(fèi)用 100 元 ,若供不應(yīng)求 ,則可從其它商店調(diào)劑供應(yīng) ,此時(shí)每一臺(tái)空調(diào)器僅獲利 200 元 ,問(wèn)此商場(chǎng)周初進(jìn)貨量 (含上周余量 )應(yīng)為多少才可獲最大利潤(rùn) ? 解 設(shè)商場(chǎng)周初進(jìn)貨量 (含上周余量 )為 x 臺(tái) ,周利潤(rùn)為隨機(jī)變量 ? 則 ????????????????????.30,2,1,202100)(202100。,500。1,12,11,100600)(100500??xxxxxxxx?????????? 又 )30,13,12,11(201)( ???? kkP ? ， 所以 .300051010)1015(25)530()202100(201500201)100600(2012301111301111???????????????????????????xxxxxxxxExxxx????????? 為求 ?E 的最大值令 0)( ???E 即 ,051020 ???? xx . 由于 x 是正整數(shù) ,所以 25?x 或 26 即商場(chǎng)周初進(jìn)貨量 (含上周余量 )為 25 或 26聊城大學(xué)本科畢業(yè)論文 12 臺(tái)時(shí) ,可獲最大利潤(rùn) . 數(shù)學(xué)期望在風(fēng)險(xiǎn)與決策中的應(yīng)用 在日常生活中，人們經(jīng)常要面臨“風(fēng)險(xiǎn) ” .在充滿生存競(jìng)爭(zhēng)的世界里，商人若進(jìn)行一次投資，他需要精確算出是否贏利，贏利多少需要算出投資的風(fēng)險(xiǎn)，我們理解與掌握風(fēng)險(xiǎn)的目的就是要采取科學(xué)的方法對(duì)其進(jìn)行評(píng)價(jià)，從而制定出有效的“決策” .決策方案即將數(shù)學(xué)期望最大的方案 作為 最佳方案加以決策 .它幫助人們?cè)趶?fù)雜的情況下從可能采取的方案中做出選擇和決定 .具體的做法為：如果知道任一 方案 ),2,1( miAi ?? 在每個(gè)影響因素 ),2,1( njS j ?? 發(fā)生的情況下，實(shí)施某種方案所產(chǎn)生的盈利值及各影響因素發(fā)生的概率，則可以比較各個(gè)方案 的期望盈利，從而選擇其中期望盈利最高的為最佳方案 . 風(fēng)險(xiǎn)方案 例 14 假設(shè)某公司預(yù)計(jì)市場(chǎng)的需求將會(huì)增長(zhǎng)，目前公司員工都在滿負(fù)荷的工作著，