初中函數(shù)知識點(diǎn)總結(jié)(編輯修改稿)
2025-04-13 21:04 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 域是不可分割的整體，沒有定義域的函數(shù)是不存在的，因此，要正確地寫出函數(shù)的解析式，必須是在求出變量間的對應(yīng)法則的同時，求出函數(shù)的定義域。求函數(shù)的定義域一般有三種類型： ?。?）有時一個函數(shù)來自于一個實(shí)際問題，這時自變量x有實(shí)際意義，求定義域要結(jié)合實(shí)際意義考慮； ?。?）已知一個函數(shù)的解析式求其定義域，只要使解析式有意義即可。如： ①分式的分母不得為零； ?、谂即畏礁谋婚_方數(shù)不小于零； ?、蹖?shù)函數(shù)的真數(shù)必須大于零； ?、苤笖?shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的底數(shù)必須大于零且不等于1； ?、萑呛瘮?shù)中的正切函數(shù)y=tanx（x∈R，且k∈Z），余切函數(shù)y=cotx（x∈R，x≠kπ，k∈Z）等?！ ?yīng)注意，一個函數(shù)的解析式由幾部分組成時，定義域?yàn)楦鞑糠钟幸饬x的自變量取值的公共部分（即交集）。 ?。?）已知一個函數(shù)的定義域，求另一個函數(shù)的定義域，主要考慮定義域的深刻含義即可?！ ∫阎猣（x）的定義域是[a，b]，求f[g（x）]的定義域是指滿足a≤g（x）≤b的x的取值范圍，而已知f[g（x）]的定義域[a，b]指的是x∈[a，b]，此時f（x）的定義域，即g（x）的值域?！ ∏蠛瘮?shù)的解析式一般有四種情況 ?。?）根據(jù)某實(shí)際問題需建立一種函數(shù)關(guān)系時，必須引入合適的變量，根據(jù)數(shù)學(xué)的有關(guān)知識尋求函數(shù)的解析式。 ?。?）有時題設(shè)給出函數(shù)特征，求函數(shù)的解析式，可采用待定系數(shù)法。比如函數(shù)是一次函數(shù)，可設(shè)f（x）=ax+b（a≠0），其中a，b為待定系數(shù)，根據(jù)題設(shè)條件，列出方程組，求出a，b即可?！ 。?）若題設(shè)給出復(fù)合函數(shù)f[g（x）]的表達(dá)式時，可用換元法求函數(shù)f（x）的表達(dá)式，這時必須求出g（x）的值域，這相當(dāng)于求函數(shù)的定義域?！ 。?）若已知f（x）滿足某個等式，這個等式除f（x）是未知量外，還出現(xiàn)其他未知量（如f（—x），等），必須根據(jù)已知等式，再構(gòu)造其他等式組成方程組，利用解方程組法求出f（x）的表達(dá)式?！ 。ㄈ?、函數(shù)的值域與最值 函數(shù)的值域取決于定義域和對應(yīng)法則，不論采用何種方法求函數(shù)值域都應(yīng)先考慮其定義域，求函數(shù)值域常用方法如下： （1）直接法：亦稱觀察法，對于結(jié)構(gòu)較為簡單的函數(shù)，可由函數(shù)的解析式應(yīng)用不等式的性質(zhì)，直接觀察得出函數(shù)的值域?！ 。?）換元法：運(yùn)用代數(shù)式或三角換元將所給的復(fù)雜函數(shù)轉(zhuǎn)化成另一種簡單函數(shù)再求值域，若函數(shù)解析式中含有根式，當(dāng)根式里一次式時用代數(shù)換元，當(dāng)根式里是二次式時，用三角換元?！ 。?）反函數(shù)法：利用函數(shù)f（x）與其反函數(shù)f—1（x）的定義域和值域間的關(guān)系，通過求反函數(shù)的定義域而得到原函數(shù)的值域，形如（a≠0）的函數(shù)值域可采用此法求得?！ 。?）配方法：對于二次函數(shù)或二次函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的值域問題可考慮用配方法?！ 。?）不等式法求值域：利用基本不等式a+b≥[a，b∈（0，+∞）]可以求某些函數(shù)的值域，不過應(yīng)注意條件“一正二定三相等”有時需用到平方等技巧。 ?。?）判別式法：把y=f（x）變形為關(guān)于x的一元二次方程，利用“△≥0”求值域。其題型特征是解析式中含有根式或分式?！ 。?）利用函數(shù)的單調(diào)性求值域：當(dāng)能確定函數(shù)在其定義域上（或某個定義域的子集上）的單調(diào)性，可采用單調(diào)性法求出函數(shù)的值域。 ?。?）數(shù)形結(jié)合法求函數(shù)的值域：利用函數(shù)所表示的39。幾何意義，借助于幾何方法或圖象，求出函數(shù)的值域，即以數(shù)形結(jié)合求函數(shù)的值域。 求函數(shù)的最值與值域的區(qū)別和聯(lián)系 求函數(shù)最值的常用方法和求函數(shù)值域的方法基本上是相同的，事實(shí)上，如果在函數(shù)的值域中存在一個最?。ù螅?shù)，這個數(shù)就是函數(shù)的最小（大）值。因此求函數(shù)的最值與值域，其實(shí)質(zhì)是相同的，只是提問的角度不同，因而答題的方式就有所相異?！ ∪绾瘮?shù)的值域是（0，16]，最大值是16，無最小值。再如函數(shù)的值域是（—∞，—2]∪[2，+∞），但此函數(shù)無最大值和最小值，只有在改變函數(shù)定義域后，如x0時，函數(shù)的最小值為2?？梢姸x域?qū)瘮?shù)的值域或最值的影響?！ 『瘮?shù)的最值在實(shí)際問題中的應(yīng)用 函數(shù)的最值的應(yīng)用主要體現(xiàn)在用函數(shù)知識求解實(shí)際問題上，從文字表述上常常表現(xiàn)為“工程造價最低”，“利潤最大”或“面積（體積）最大（最?。钡戎T多現(xiàn)實(shí)問題上，求解時要特別關(guān)注實(shí)際意義對自變量的制約，以便能正確求得最值?！ 。ㄋ模?、函數(shù)的奇偶性 函數(shù)的奇偶性的定義：對于函數(shù)f（x），如果對于函數(shù)定義域內(nèi)的任意一個x，都有f（—x）=—f（x）（或f（—x）=f（x）），那么函數(shù)f（x）就叫做奇函數(shù)（或偶函數(shù)）?！ ≌_理解奇函數(shù)和偶函數(shù)的定義，要注意兩點(diǎn)： ?。?）定義域在數(shù)軸上關(guān)于原點(diǎn)對稱是函數(shù)f（x）為奇函數(shù)或偶函數(shù)的必要不充分條件； ?。?）f（x）=—f（x）或f（—x）=f（x）是定義域上的恒等式。（奇偶性是函數(shù)定義域上的整體性質(zhì)）?！ ∑媾己瘮?shù)的定義是判斷函數(shù)奇偶性的主要依據(jù)。為了便于判斷函數(shù)的奇偶性，有時需要將函數(shù)化簡或應(yīng)用定義的等價形式?！ 〕踔泻瘮?shù)知識點(diǎn)總結(jié)6
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