福建省20xx屆高中畢業(yè)班數(shù)學(xué)學(xué)科二輪備考關(guān)鍵問題指導(dǎo)系列六(解析幾何典例剖析及資源推送)(編輯修改稿)
2025-04-05 06:07 本頁面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 的半徑為.由于，故可得，化簡(jiǎn)得M的軌跡方程為.因?yàn)榍€是以點(diǎn)為焦點(diǎn)，以直線為準(zhǔn)線的拋物線，所以.因?yàn)?，所以存在滿足條件的定點(diǎn)P.【評(píng)析】本題考查了直線與圓的關(guān)系和拋物線的定義，考查了待定系數(shù)法和曲線軌跡方程的求法。解題關(guān)鍵是第（1）問，曲線與方程互化，由條件知點(diǎn)在線段的中垂線上，設(shè)⊙的方程為，然后根據(jù)圓與直線相切和圓心到直線的距離，半弦長(zhǎng)和半徑的關(guān)系建立方程組即可。第（2）問，運(yùn)用分析法，假設(shè)，則，可化為拋物線的定義的定義分析。【例5】（2021年全國(guó)八省聯(lián)考）雙曲線的左頂點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，動(dòng)點(diǎn)在上．當(dāng)時(shí)，．（1）求的離心率；（2）若在第一象限，證明：．解析（1）設(shè)雙曲線的半焦距為，則，因?yàn)?，故，故，即，?（2）設(shè)，其中.因?yàn)椋?，故漸近線方程為：，所以，當(dāng)時(shí)，又，所以，因?yàn)?，?當(dāng)，由（1）可得，故.綜上，.【評(píng)析】本題以雙曲線方程與性質(zhì)和雙曲線與直線的位置關(guān)系為載體，證明角度倍關(guān)系問題，考查運(yùn)算求解能力、推理論證能力，考查理性思維和數(shù)學(xué)探索，對(duì)學(xué)生分析問題和解決問題提出了較高的要求，解題關(guān)鍵（1）圓錐曲線中離心率的計(jì)算，關(guān)鍵是找到一組等量關(guān)系（齊次式）.（2）圓錐曲線中與有角有關(guān)的計(jì)算，注意通過動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)來刻畫角的大小，則，再計(jì)算，利用點(diǎn)在雙曲線上化簡(jiǎn)后可得，從而可得結(jié)論成立. 在解答題注意嚴(yán)謹(jǐn)性不丟分，如垂直于軸的討論，角度范圍的限制等。【例6】如圖，點(diǎn)，分別為橢圓的左右頂點(diǎn)，為橢圓上非頂點(diǎn)的三點(diǎn)，直線的斜率分別為，且，．（Ⅰ）求的方程；（Ⅱ）判斷的面積是否為定值？若為定值，求出該定值；若不為定值，請(qǐng)說明理由．解析:（Ⅰ）由，得解得，橢圓．（Ⅱ）設(shè)直線的方程為，，，，，，．所以的面積為定值1．【評(píng)析】圓錐曲線中的定值問題的常見類型及解題策略求代數(shù)式為定值。依題意設(shè)條件，得出與代數(shù)式參數(shù)有關(guān)的等式，代入代數(shù)式、化簡(jiǎn)即可得出定值；求點(diǎn)到直線的距離為定值。利用點(diǎn)到直線的距離公式得出距離的解析式，再利用題設(shè)條件化簡(jiǎn)、變形求得；求某線段長(zhǎng)度為定值。利用長(zhǎng)度公式求得解析式，再依據(jù)條件對(duì)解析式進(jìn)行化簡(jiǎn)、變形即可求得。二、資源推送（一）選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．以橢圓的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)，同時(shí)以該橢圓的頂點(diǎn)為焦點(diǎn)的雙曲線方程是A． B． C． D．2．已知拋物線的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線交于，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若的面積為，則=A． B． C． D．3．已知橢圓的左頂點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，若，則的離心率為A． B． C． D．4．已知?jiǎng)狱c(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程，則的軌跡方程是A． B． C． D．5．已知雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為,一條漸近線的斜率為,則該雙曲線的方程為A． B． C． D．6．為坐標(biāo)原點(diǎn)，為拋物線的焦點(diǎn)，為上一點(diǎn)，若，則的面積為A． B． C． D．7．設(shè)橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，是上的點(diǎn)，=，則的離心率為A． B． C． D．8．已知雙曲線的離心率，則該雙曲線的一條漸近線與軸所成角的取值范圍是A． B． C． D．（二）選擇題：本題共4小題，每小題5分，，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得3分.9. 與直線僅有一個(gè)公共點(diǎn)的曲線是A． B． C． D．，如圖所示，已知它的近地點(diǎn)（離地面最近的點(diǎn)）距地面千米，遠(yuǎn)地點(diǎn)（離地面最遠(yuǎn)的點(diǎn)）距地面千米，并且三點(diǎn)在同一直線上，地球半徑約為千米，設(shè)該橢圈的長(zhǎng)軸長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)、焦距分別為，則（ ）A． B． C． D． 11. 設(shè)為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過且斜率為的直線與在第一象限相交于一點(diǎn)，則下列說法正確的是（ ）A．傾斜角的余弦值為 B．若，則的離心率C．若，則的離心率 D．不可能是等邊三角形、阿基米德齊名．他發(fā)現(xiàn)：“平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)，的距離之比為定值的點(diǎn)的軌跡是圓”．后來，人們將這個(gè)圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯國(guó)，簡(jiǎn)稱阿氏圓在平面直角坐標(biāo)系中，，點(diǎn)滿足．設(shè)點(diǎn)的軌跡為，下列結(jié)論正確的是A．的方程為 B．在軸上存在異于，的兩定點(diǎn)，使得 C．當(dāng)，三點(diǎn)不共線時(shí)，射線是的平分線 D．在上存在點(diǎn)，使得（二）填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在題中橫線上．13．設(shè)已知拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)為F(1，0)，直線與相交于A，（2，2），則的方程為_____________.14．已知直線與圓相交于兩點(diǎn)，若，則_____．15．已知拋物線，焦
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