[教案]-新課標人教a版-高三數(shù)學(xué)-二輪復(fù)習-二輪精品推薦-立體幾何新題型的解題技巧1(編輯修改稿)
2025-04-05 05:53 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 （3）用表示截面和側(cè)面所成的銳二面角的大小，求．命題意圖：本小題主要考查平面的基本性質(zhì)、線線平行、線面垂直、二面角等基礎(chǔ)知識和基本運算，考查空間想象能力、邏輯推理能力和運算能力． 過程指引：解法一：（1）如圖，在上取點，使，連結(jié)，則，．因為，所以四邊形，都為平行四邊形．從而，．又因為，所以，故四邊形是平行四邊形，由此推知，從而．因此，四點共面．（2）如圖，又，所以，．因為，所以為平行四邊形，從而．又平面，所以平面．（3）如圖，連結(jié)．因為，所以平面，得．于是是所求的二面角的平面角，即．因為，所以， ．解法二：（1）建立如圖所示的坐標系，則，，所以，故，共面．又它們有公共點，所以四點共面．（2）如圖，設(shè)，則，而，由題設(shè)得，得．因為，有，又，所以，從而，．故平面．（3）設(shè)向量截面，于是，．而，得，解得，所以．又平面，所以和的夾角等于或（為銳角）．于是．故．小結(jié)：向量法求二面角的大小關(guān)鍵是確定兩個平面的法向量的坐標，再用公式求夾角；點面距離一般轉(zhuǎn)化為在面BDF的法向量上的投影的絕對值.例11． 如圖,ll2是互相垂直的兩條異面直線，MN是它們的公垂線段，點A、B在l1上，C在l2上，AM=MB=MN（I）證明ACNB；（II）若，求NB與平面ABC所成角的余弦值.命題目的：本題主要考查異面直線垂直、直線與平面所成角的有關(guān)知識，考查空間想象能力、邏輯思維能力和運算能力.過程指引：方法一關(guān)鍵是用恰當?shù)姆椒ㄕ业剿蟮目臻g角；方法二關(guān)鍵是掌握利用空間向量求空間角的一般方法.解答過程：解法一： (Ⅰ)由已知l2⊥MN, l2⊥l1 , MN∩l1 =M, 可得l2⊥平面ABN. 由已知MN⊥l1 , AM=MB=MN,可知AN=NB且AN⊥NB. 又AN為AC在平面ABN內(nèi)的射影. ∴AC⊥NB （Ⅱ）∵Rt△CAN≌Rt△CNB, ∴AC=BC,又已知∠ACB=60176。,因此△ABC為正三角形. ∵Rt△ANB≌Rt△CNB, ∴NC=NA=NB,因此N在平面ABC內(nèi)的射影H是正三角形ABC的中心,連結(jié)BH,∠NBH為NB與平面ABC所成的角.在Rt△NHB中,cos∠NBH= = = . 解法二： 如圖,建立空間直角坐標系M－xyz. 令MN=1, 則有A(－1,0,0),B(1,0,0),N(0,1,0),(Ⅰ)∵MN是 ll2的公垂線, l1⊥l2, ∴l(xiāng)2⊥平面ABN.l2平行于z軸. 故可設(shè)C(0,1,m). 于是 =(1,1,m), =(1,－1,0). ∴=1+(－1)+0=0 ∴AC⊥NB. (Ⅱ)∵ =(1,1,m), =(－1,1,m), ∴||=||, 又已知∠ACB=60176。,∴△ABC為正三角形,AC=BC=AB=2. 在Rt△CNB中,NB=, 可得NC=,故C(0,1, ). 連結(jié)MC,作NH⊥MC于H,設(shè)H(0,λ, λ) (λ0). ∴=(0,1－λ,－λ), =(0,1, ) ∵ = 1－λ－2λ=0, ∴λ= ,∴H(0, , ), 可得=(0, － ), 連結(jié)BH, 則=(－1, ),∵=0+ － =0, ∴⊥, 又MC∩BH=H, ∴HN⊥平面ABC, ∠NBH為NB與平面ABC所成的角. 又=(－1,1,0),∴cos∠NBH= = = .考點8 簡單多面體的有關(guān)概念及應(yīng)用，主要考查多面體的概念、性質(zhì)，主要以填空、選擇題為主，通常結(jié)合多面體的定義、性質(zhì)進行判斷.典型例題例12 . 如圖（1），將邊長為1的正六邊形鐵皮的六個角各切去一個全等的四邊形，再沿虛線折起，做成一個無蓋的正六棱柱容器，當這個正六棱柱容器的底面邊長為 時容積最大.[思路啟迪]設(shè)四邊形一邊AD，然后寫出六棱柱體積，利用均值不等式，求出體積取最值時AD長度即可.解答過程：如圖（2）設(shè)AD＝a，易知∠ABC＝60176。，且∠ABD＝30176。AB＝a .BD＝2a正六棱柱體積為V .V＝＝ ＝≤ .當且僅當 1－2a＝4a a＝時，體積最大，此時底面邊長為1－2a＝1－2＝ .∴ 答案為 .BACDEFGHIJ(A、B、C)DEFGHIJ例13 .如圖左，在正三角形ABC中，D、E、F分別為各邊的中點，G、H、I、J分別為AF、AD、BE、DE的中點，將△ABC沿DE、EF、DF折成三棱錐后，GH與IJ所成角的度數(shù)為（ ）A、90176。 B、60176。 C、45176。 D、0176。[思路啟迪] 畫出折疊后的圖形，可看出GH，IJ是一對異面直線，即求異面直線所成角.過點D分別作IJ和GH的平行線，即AD與DF，所以 ∠ADF即為所求.因此GH與IJ所成角為60176。，答案:B －A1B1C1D1中，設(shè)對角線D1B與自D1出發(fā)的三條棱分別成α、β、角求證：cos2α＋cos2β＋cos2＝1ABCADA1B1C1D1設(shè)D1B與自D1出發(fā)的三個面成α、β、角，求證：cos2α＋cos2β＋cos2＝2[思路啟迪] ①因為三個角有一個公共邊即D1B，在構(gòu)造的直角三角形中，角的鄰邊分別是從長方體一個頂點出發(fā)的三條棱，在解題中注意使用對角線長與棱長的關(guān)系利用長方體性質(zhì)，先找出α，β，然后利用各邊所構(gòu)成的直角三角形來解.解答過程：①連接BC1，設(shè)∠BD1C1＝α，長方體三條棱長分別為a，b，c，設(shè)D1B＝則cos2α＝ 同理cos2β＝，cos2＝∴cos2α＋cos2β＋cos2＝＝1②連接D1C，∵ BC⊥平面DCC1D1 ∴ ∠BD1C即是D1B與平面DCC1D1所成的角，不妨設(shè)∠BD1C＝α，則cos2α＝ 同理：cos2β＝，cos2＝.又∵2＝a2＋b2＋c2.∴cos2α＋cos2β＋cos2＝＝2.棱柱側(cè)面積轉(zhuǎn)化成求矩形或平行四邊形面積，棱柱側(cè)面積轉(zhuǎn)化成求三角形的面積.直棱柱體積V等于底面積與高的乘積.棱錐體積V等于Sh其中S是底面積，h是棱錐的高.典型例題例15. 如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝a，BC＝CA＝AA1＝a，A1B1C1ABCDOA1在底面△ABC上的射影O在AC上求AB與側(cè)面AC1所成角；若O恰好是AC的中點，求此三棱柱的側(cè)面積. [思路啟迪] ①找出AB與側(cè)面AC1所成角即是∠CAB；②三棱錐側(cè)面積轉(zhuǎn)化成三個側(cè)面面積之和，側(cè)面BCC1B1是正方形，側(cè)面ACC1A1和側(cè)面ABB1A1是平行四邊形，分別求其面積即可.解答過程：①點A1在底面ABC的射影在AC上，∴ 平面ACC1A1⊥平面ABC.在△ABC中，由BC＝AC＝a，AB＝a.∴ ∠ACB＝90176。，∴ BC⊥AC.∴ BC⊥平面ACC1A1.即 ∠CAB為AB與側(cè)面AC1所成的角在Rt△ABC中，∠CAB＝45176。.∴ AB與側(cè)面AC1所成角是45176。.② ∵ O是AC中點，在Rt△AA1O中，AA1＝a，AO＝a. ∴ AO1＝a. ∴ 側(cè)面ACC1A1面積S1＝. 又BC⊥平面ACC1A1 ， ∴ BC⊥CC1. 又BB1＝BC＝a ，∴ 側(cè)面BCC1B1是正方形，面積S2＝a2.過O作OD⊥AB于D ，∵ A1O⊥平面ABC， ∴A1D⊥AB.在Rt△AOD中，AO＝a ，∠CAD＝45176。∴ OD＝a在Rt△A1OD
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