專題07-不等式-【知識手冊】高考數(shù)學復習之考點卡片(編輯修改稿)
2025-04-05 05:34 本頁面
【文章內容簡介】 4，3），A（2，3），C（4，2），則可行域的面積S＝＝． （2）由z＝x+y，得y＝﹣x+z，則平移直線y＝﹣x+z，則由圖象可知當直線經過點A（2，3）時，直線y＝﹣x+z得截距最小，此時z最小為z＝2+3＝5，當直線經過點B（4，3）時，直線y＝﹣x+z得截距最大，此時z最大為z＝4+3＝7，故該線性規(guī)劃問題中所有的最優(yōu)解為（4，3），（2，3） 這是高中階段接觸最多的關于線性規(guī)劃的題型，解這種題一律先畫圖，把每條直線在同一個坐標系中表示出來，然后確定所表示的可行域，也即范圍；最后通過目標函數(shù)的平移去找到它的最值．【典型例題分析】題型一：二元一次不等式（組）表示的平面區(qū)域典例1：若不等式組所表示的平面區(qū)域被直線y＝kx+分為面積相等的兩部分，則k的值是 （ ）A． B． C． D．分析：畫出平面區(qū)域，顯然點（0，）在已知的平面區(qū)域內，直線系過定點（0，），結合圖形尋找直線平分平面區(qū)域面積的條件即可．解答：不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示．由于直線y＝kx+過定點（0，）．因此只有直線過AB中點時，直線y＝kx+能平分平面區(qū)域．因為A（1，1），B（0，4），所以AB中點D（，）．當y＝kx+過點（，）時，＝+，所以k＝．答案：A．點評：二元一次不等式（組）表示平面區(qū)域的判斷方法：直線定界，測試點定域．注意不等式中不等號有無等號，無等號時直線畫成虛線，有等號時直線畫成實線．測試點可以選一個，也可以選多個，若直線不過原點，則測試點常選取原點．題型二：求線性目標函數(shù)的最值典例2：設x，y滿足約束條件：，求z＝x+y的最大值與最小值．分析：作可行域后，通過平移直線l0：x+y＝0來尋找最優(yōu)解，求出目標函數(shù)的最值．解答：先作可行域，如圖所示中△ABC的區(qū)域，且求得A（5，2）、B（1，1）、C（1，），作出直線l0：x+y＝0，再將直線l0平移，當l0的平行線l1過點B時，可使z＝x+y達到最小值；當l0的平行線l2過點A時，可使z＝x+y達到最大值．故zmin＝2，zmax＝7．點評：（1）線性目標函數(shù)的最大（?。┲狄话阍诳尚杏虻捻旤c處取得，也可能在邊界處取得．（2）求線性目標函數(shù)的最優(yōu)解，要注意分析線性目標函數(shù)所表示的幾何意義，明確和直線的縱截距的關系．題型三：實際生活中的線性規(guī)劃問題典例3：某農戶計劃種植黃瓜和韭菜，種植面積不超過50畝，投入資金不超過54萬元，假設種植黃瓜和韭菜的產量、成本和售價如下表： 年產量/畝年種植成本/畝每噸售價黃瓜4噸韭菜6噸為使一年的種植總利潤（總利潤＝總銷售收入﹣總種植成本）最大，那么黃瓜和韭菜的種植面積（單位：畝）分別為（ ）A．50，0 B．30，20 C．20，30 D．0，50分析：根據(jù)線性規(guī)劃解決實際問題，要先用字母表示變量，找出各量的關系列出約束條件，設出目標函數(shù)，轉化為線性規(guī)劃問題．解析 設種植黃瓜x畝，韭菜y畝，則由題意可知求目標函數(shù)z＝x+，根據(jù)題意畫可行域如圖陰影所示．當目標函數(shù)線l向右平移，移至點A（30，20）處時，目標函數(shù)取得最大值，即當黃瓜種植30畝，韭菜種植20畝時，種植總利潤最大．故答案為：B點評：線性規(guī)劃的實際應用問題，需要通過審題理解題意，找出各量之間的關系，最好是列成表格，找出線性約束條件，寫出所研究的目標函數(shù)，轉化為簡單的線性規(guī)劃問題，再按如下步驟完成：（1）作圖﹣﹣畫出約束條件所確定的平面區(qū)域和目標函數(shù)所表示的平行直線系中過原點的那一條l；（2）平移﹣﹣將l平行移動，以確定最優(yōu)解的對應點A的位置；（3）求值﹣﹣解方程組求出A點坐標（即最優(yōu)解），代入目標函數(shù)，即可求出最值．題型四：求非線性目標函數(shù)的最值典例4：（1）設實數(shù)x，y滿足，則的最大值為 ?。?）已知O是坐標原點，點A（1，0），若點M（x，y）為平面區(qū)域上的一個動點，則|+|的最小值是 ?。治觯号c二元一次不等式（組）表示的平面區(qū)域有關的非線性目標函數(shù)的最值問題的求解一般要結合給定代數(shù)式的幾何意義來完成．解答：（1）表示點（x，y）與原點（0，0）連線的斜率，在點（1，）處取到最大值．（2）依題意得，+＝（x+1，y），|+|＝可視為點（x，y）與點（﹣1，0）間的距離，在坐標平面內畫出題中的不等式組表示的平面區(qū)域，結合圖形可知，在該平面區(qū)域內的點中，由點（﹣1，0）向直線x+y＝2引垂線的垂足位于該平面區(qū)域內，且與點（﹣1，0）的距離最小，因此|+|的最小值是＝．故答案為：（1）（2）．點評：常見代數(shù)式的幾何意義有（1）表示點（x，y）與原點（0，0）的距離；（2）表示點（x，y）與點（a，b）之間的距離；（3）表示點（x，y）與原點（0，0）連線的斜率；（4）表示點（x，y）與點（a，b）連線的斜率．【解題方法點撥】1．畫出平面區(qū)域．避免失誤的重要方法就是首先使二元一次不等式標準化．2．在通過求直線的截距的最值間接求出z的最值時，要注意：當b＞0時，截距取最大值時，z也取最大值；截距取最小值時，z也取最小值；當b＜0時，截距取最大值時，z取最小值；截距取最小值時，z取最大
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