圓錐曲線解答題中的定點(diǎn)和定值問題的解題策略(解析版)(編輯修改稿)
2025-04-03 03:30 本頁面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 。江西吉安市高三其他模擬（理））已知橢圓經(jīng)過點(diǎn)，且離心率.（1）求橢圓的方程；（2）已知斜率存在的直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)總滿足，證明：直線過定點(diǎn).【答案】（1）；（2）證明見解析.【詳解】（1）因?yàn)闄E圓的離心率.所以，即，又橢圓經(jīng)過點(diǎn)，代入橢圓方程可得，聯(lián)立方程組可得，解得，.所以橢圓的方程為.（2）設(shè)直線的方程為，，聯(lián)立方程組消去得，即，，因?yàn)?，所以，即得，化?jiǎn)得，直線的方程為，所以，直線恒過定點(diǎn).解題思路： 設(shè)直線的方程為，，將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，寫出韋達(dá)定理，又因?yàn)?，所以，將韋達(dá)定理代入得出答案.例1（2021湖北襄陽市高三期末）已知，分別為橢圓的左?右頂點(diǎn)，為的上頂點(diǎn)，.（1）求橢圓的方程；（2）過點(diǎn)作關(guān)于軸對(duì)稱的兩條不同直線，分別交橢圓于與，且，證明：直線過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)坐標(biāo).【答案】（1）；（2）證明見解析，定點(diǎn).【詳解】解：（1）由題意得，，則，.由，得，即所以橢圓的方程為（2）由題易知：直線的斜率存在，且斜率不為零，設(shè)直線方程為，聯(lián)立，得，由得，∴，因?yàn)殛P(guān)于軸對(duì)稱的兩條不同直線，的斜率之和為0，∴，整理得，即，解得：直線方程為：，所以直線過定點(diǎn).解題思路：設(shè)直線方程并聯(lián)立橢圓方程，結(jié)合韋達(dá)定理求得，又因?yàn)殛P(guān)于軸對(duì)稱的兩條不同直線，的斜率之和為0，所以，通過計(jì)算化簡(jiǎn)即可求得定點(diǎn).例1（2021山東德州市高三期末）已知點(diǎn)、分別是橢圓C的左、右焦點(diǎn)，離心率為，點(diǎn)P是以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心的單位圓上的一點(diǎn)，且．（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)斜率為k的直線l（不過焦點(diǎn)）交橢圓于M，N兩點(diǎn)，若x軸上任意一點(diǎn)到直線與的距離均相等，求證：直線l恒過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】（1）；（2）證明見解析，（2,0）.【詳解】(1)設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為由題意可得解得：即橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程：.(2)設(shè)直線l：則有，消去 y得：，所以因?yàn)閤軸上任意一點(diǎn)到直線與的距離均相等，所以x軸為直線與的角平分線，所以，即 所以整理化簡(jiǎn)得：即直線l：故直線恒過定點(diǎn)（2,0）.解題思路：先用設(shè)而不求法表示出，然后分析得到，代入，求出，即可證明直線過定點(diǎn)（2，0）.設(shè)而不求是一種在解析幾何中常見的解題方法，可以解決直線與二次曲線相交的問題. 動(dòng)點(diǎn)在定直線上的問題例1（2021山東威海市高三期末）已知橢圓的離心率為分別是它的左、右頂點(diǎn)，是它的右焦點(diǎn)，過點(diǎn)作直線與交于(異于)兩點(diǎn)，當(dāng)軸時(shí)，的面積為.（1）求的標(biāo)準(zhǔn)方程。（2）設(shè)直線與直線交于點(diǎn)，求證:點(diǎn)在定直線上.【答案】（1）；（2）證明見解析.【詳解】解:（1）由題意知，所以，又，所以當(dāng)軸時(shí)，的面積為，所以解得所以，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）由（1）知，設(shè)直線的方程為，與橢圓聯(lián)立，得.顯然恒成立.設(shè)，所以有 直線的方程為，直線的方程為，聯(lián)立兩方程可得，所以由式可得，代入上式可得，解得故點(diǎn)在定直線上.解題思路：設(shè)直線的方程為，聯(lián)立橢圓方程，設(shè)，由韋達(dá)定理，可知，將直線的方程與直線的方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理，化簡(jiǎn)計(jì)算，即可證明結(jié)果.例1（2021福建高三模擬）橢圓的離心率，在上.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)為短軸端點(diǎn)，過作直線交橢圓于兩點(diǎn)(異于)，：點(diǎn)恒在一定直線上.【答案】（1）；（2）證明見解析.【詳解】（1）因?yàn)辄c(diǎn)在C上，所以，又，所以，故所求橢圓C的方程為.（2）由題意知直線l的斜率存在，設(shè)其方程為.設(shè)，(，).，，且有.(，)，故故點(diǎn)T恒在一定直線上.解題思路：設(shè)出直線，聯(lián)立直線與橢圓的方程結(jié)合韋達(dá)定理求出的直線方程，聯(lián)立求出交點(diǎn)縱坐標(biāo)為3，進(jìn)而可得結(jié)果. 圓過定點(diǎn)問題例1（2021湖北武漢市高三月考）設(shè)P是橢圓C：上異于長軸頂點(diǎn)A1，A2的任意一點(diǎn)，過P作C的切線與分別過A1，A2的切線交于B1，B2兩點(diǎn)，已知|A1A2|=4，橢圓C的離心率為.（1）求橢圓C的方程；（2）以B1B2為直徑的圓是否過x軸上的定點(diǎn)？如果過定點(diǎn)，請(qǐng)予以證明，并求出定點(diǎn)；如果不過定點(diǎn)，說明理由.【
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