圓錐曲線解答題中的定點和定值問題的解題策略(解析版)(編輯修改稿)
2025-04-03 03:30 本頁面
【文章內容簡介】 。江西吉安市高三其他模擬（理））已知橢圓經過點，且離心率.（1）求橢圓的方程；（2）已知斜率存在的直線與橢圓相交于，兩點，點總滿足，證明：直線過定點.【答案】（1）；（2）證明見解析.【詳解】（1）因為橢圓的離心率.所以，即，又橢圓經過點，代入橢圓方程可得，聯(lián)立方程組可得，解得，.所以橢圓的方程為.（2）設直線的方程為，，聯(lián)立方程組消去得，即，，因為，所以，即得，化簡得，直線的方程為，所以，直線恒過定點.解題思路： 設直線的方程為，，將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，寫出韋達定理，又因為，所以，將韋達定理代入得出答案.例1（2021湖北襄陽市高三期末）已知，分別為橢圓的左?右頂點，為的上頂點，.（1）求橢圓的方程；（2）過點作關于軸對稱的兩條不同直線，分別交橢圓于與，且，證明：直線過定點，并求出該定點坐標.【答案】（1）；（2）證明見解析，定點.【詳解】解：（1）由題意得，，則，.由，得，即所以橢圓的方程為（2）由題易知：直線的斜率存在，且斜率不為零，設直線方程為，聯(lián)立，得，由得，∴，因為關于軸對稱的兩條不同直線，的斜率之和為0，∴，整理得，即，解得：直線方程為：，所以直線過定點.解題思路：設直線方程并聯(lián)立橢圓方程，結合韋達定理求得，又因為關于軸對稱的兩條不同直線，的斜率之和為0，所以，通過計算化簡即可求得定點.例1（2021山東德州市高三期末）已知點、分別是橢圓C的左、右焦點，離心率為，點P是以坐標原點O為圓心的單位圓上的一點，且．（1）求橢圓C的標準方程；（2）設斜率為k的直線l（不過焦點）交橢圓于M，N兩點，若x軸上任意一點到直線與的距離均相等，求證：直線l恒過定點，并求出該定點的坐標．【答案】（1）；（2）證明見解析，（2,0）.【詳解】(1)設橢圓的標準方程為由題意可得解得：即橢圓C的標準方程：.(2)設直線l：則有，消去 y得：，所以因為x軸上任意一點到直線與的距離均相等，所以x軸為直線與的角平分線，所以，即 所以整理化簡得：即直線l：故直線恒過定點（2,0）.解題思路：先用設而不求法表示出，然后分析得到，代入，求出，即可證明直線過定點（2，0）.設而不求是一種在解析幾何中常見的解題方法，可以解決直線與二次曲線相交的問題. 動點在定直線上的問題例1（2021山東威海市高三期末）已知橢圓的離心率為分別是它的左、右頂點，是它的右焦點，過點作直線與交于(異于)兩點，當軸時，的面積為.（1）求的標準方程。（2）設直線與直線交于點，求證:點在定直線上.【答案】（1）；（2）證明見解析.【詳解】解:（1）由題意知，所以，又，所以當軸時，的面積為，所以解得所以，所以橢圓的標準方程為.（2）由（1）知，設直線的方程為，與橢圓聯(lián)立，得.顯然恒成立.設，所以有 直線的方程為，直線的方程為，聯(lián)立兩方程可得，所以由式可得，代入上式可得，解得故點在定直線上.解題思路：設直線的方程為，聯(lián)立橢圓方程，設，由韋達定理，可知，將直線的方程與直線的方程聯(lián)立，利用韋達定理，化簡計算，即可證明結果.例1（2021福建高三模擬）橢圓的離心率，在上.（1）求橢圓的標準方程；（2）設為短軸端點，過作直線交橢圓于兩點(異于)，：點恒在一定直線上.【答案】（1）；（2）證明見解析.【詳解】（1）因為點在C上，所以，又，所以，故所求橢圓C的方程為.（2）由題意知直線l的斜率存在，設其方程為.設，(，).，，且有.(，)，故故點T恒在一定直線上.解題思路：設出直線，聯(lián)立直線與橢圓的方程結合韋達定理求出的直線方程，聯(lián)立求出交點縱坐標為3，進而可得結果. 圓過定點問題例1（2021湖北武漢市高三月考）設P是橢圓C：上異于長軸頂點A1，A2的任意一點，過P作C的切線與分別過A1，A2的切線交于B1，B2兩點，已知|A1A2|=4，橢圓C的離心率為.（1）求橢圓C的方程；（2）以B1B2為直徑的圓是否過x軸上的定點？如果過定點，請予以證明，并求出定點；如果不過定點，說明理由.【
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