20xx版高考人教版數(shù)學(xué)一輪學(xué)案：第五章第二講-等差數(shù)列及其前n項和-(含解析)(編輯修改稿)
2025-04-03 03:14 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 ∴解得選項A，a1＝21－5＝－3；選項B；a1＝31－10＝－7，排除B；選項C，S1＝2－8＝－6，排除C；選項D，S1＝－2＝－，排除D，選A．名師點撥等差數(shù)列基本量的求法(1)等差數(shù)列的通項公式及前n項和公式，共涉及五個量a1，an，d，n，Sn，知其中三個就能求另外兩個，體現(xiàn)了方程思想．(2)數(shù)列的通項公式和前n項和公式在解題中起到變量代換作用，而a1和d是等差數(shù)列的兩個基本量，用它們表示已知和未知是常用方法．考點二 等差數(shù)列的判定與證明——師生共研例2 (2021日照模擬)已知數(shù)列{an}，{bn}滿足a1＝1，an＋1＝1－，bn＝，其中n∈N*.求證：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，并求出數(shù)列{an}的通項公式．[解析] ∵bn＋1－bn＝－＝－＝－＝2，∴數(shù)列{bn}是公差為2的等差數(shù)列，又b1＝＝2，∴bn＝2＋(n－1)2＝2n ，∴2n＝，解得an＝.名師點撥等差數(shù)列的判定方法(1)定義法：對于n≥2的任意自然數(shù)，驗證an－an－1為同一常數(shù)．(2)等差中項法：驗證2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N*)成立．(3)通項公式法：驗證an＝pn＋q.(4)前n項和公式法：驗證Sn＝An2＋Bn.提醒：在解答題中常應(yīng)用定義法和等差中項法證明，而通項公式法和前n項和公式法主要適用于選擇題、填空題中的簡單判斷．若判斷一個數(shù)列不是等差數(shù)列，只需找出三項an，an＋1，an＋2使得這三項不滿足2an＋1＝an＋an＋2即可．各項不同號的等差數(shù)列各項的絕對值不構(gòu)成等差數(shù)列，但其前n項和可用等差數(shù)列前n項和公式分段求解，分段的關(guān)鍵是找出原等差數(shù)列中變號的項．〔變式訓(xùn)練1〕(2021南京模擬)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn且滿足an＋2SnSn－1＝0(n≥2)，a1＝.(1)求證：是等差數(shù)列；(2)求an的表達式．[解析] (1)因為an＝Sn－Sn－1(n≥2)，又an＝－2SnSn－1，所以Sn－1－Sn＝2SnSn－1，Sn≠0.因此－＝2(n≥2)．故由等差數(shù)列的定義知{}是以＝＝2為首項，2為公差的等差數(shù)列．(2)由(1)知＝＋(n－1)d＝2＋(n－1)2＝2n，即Sn＝.由于當(dāng)n≥2時，有an＝－2SnSn－1＝－，又因為a1＝，不適合上式．所以an＝考點三 等差數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用——多維探究角度1 等差數(shù)列項的性質(zhì)例3 (1)(2021江西聯(lián)考)在等差數(shù)列{an}中，已知a3＋a8＝6，則3a2＋a16的值為( D )A．24 B．18C．16 D．12(2)(2020吉林百校聯(lián)盟聯(lián)考)已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若2a11＝a9＋7，則S25＝( D )A． B．145C． D．175(3)(2021江西九江一中月考)設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項和，若＝，則＝( A )A．1 B．－1C．2 D．[分析] 由于確定等差數(shù)列需兩個條件，而這三個小題都只有一個條件，故可確定a1與d的關(guān)系式，將其整體代入即可解決問題，但更簡捷的方法是直接利用等差數(shù)列性質(zhì)am＋an＝ap＋aq?m＋n＝p＋q求解(注意項數(shù)不變，腳標(biāo)和不變)．[解析] (1)由題意知3a2＋
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