20xx屆北京市延慶區(qū)高三模擬考試數(shù)學(xué)試題(含解析)(編輯修改稿)
2025-04-03 03:09 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 這些曲線在數(shù)學(xué)上常常被稱為懸鏈線．懸鏈線的相關(guān)理論在工程、航海、光學(xué)等方面有廣泛的應(yīng)用．在恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系中，這類函數(shù)的表達(dá)式可以為（其中，是非零常數(shù)，無理數(shù)…），對于函數(shù)以下結(jié)論正確的是______．①如果，那么函數(shù)為奇函數(shù)；②如果，那么為單調(diào)函數(shù)；③如果，那么函數(shù)沒有零點；④如果那么函數(shù)的最小值為2．【答案】②③【分析】利用函數(shù)的奇偶性，單調(diào)性，零點和基本不等式等性質(zhì)對①②③④逐一分析即可得到結(jié)論.【詳解】對①：當(dāng)時，函數(shù)，此時為偶函數(shù)，故①錯誤.對②：當(dāng)時，令，函數(shù)在其定義域上為單調(diào)遞增函數(shù)，函數(shù)在其定義域上也為單調(diào)遞增函數(shù)，故函數(shù)在其定義域上為單調(diào)遞增函數(shù)；當(dāng)，函數(shù)在其定義域上為單調(diào)遞減函數(shù)，函數(shù)在其定義域上也為單調(diào)遞減函數(shù)，故函數(shù)在其定義域上為單調(diào)遞減函數(shù)；綜上：如果，那么為單調(diào)函數(shù)；故②正確.對③：當(dāng)時，函數(shù)，當(dāng)時，函數(shù)；綜上：如果，那么函數(shù)沒有零點；故③正確.對④：由，則，當(dāng)時，函數(shù)；當(dāng)時，函數(shù)；故時，函數(shù)沒有最小值；故④錯誤.故答案為：②③【點睛】本題考查了函數(shù)的奇偶性和最值的應(yīng)用，考查基本不等式，考查指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題.三、解答題16．已知函數(shù)()，再從條件①，條件②中選擇一個作為已知，求：（1）的值；（2）將的圖象向右平移個單位得到的圖象，求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間．條件①：的最大值為2；條件②：．注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答計分．【答案】選擇見解析；（1）；（2）單調(diào)增區(qū)間為．【分析】（1）選擇①：利用三角恒等變換化簡函數(shù)解析式，進(jìn)而根據(jù)最值求得的值；選擇②：代入直接求解即可；（2）根據(jù)三角函數(shù)伸縮平移變換可得函數(shù)解析式，進(jìn)而求得其單調(diào)遞增區(qū)間.【詳解】解：（1）選擇①：因為所以，其中，所以，又因為，所以．選擇②：，所以．（①不寫不扣分，②每個值計算正確各給一分）（2）因為所以則，所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為(一個都沒寫的扣一分)17．如圖，四棱柱的底面是邊長為的正方形，側(cè)面為矩形，且側(cè)面底面，分別是的中點.（Ⅰ）求證平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值【答案】（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）.【分析】（Ⅰ）連結(jié)，利用線線平行證明線面平行；（Ⅱ）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求平面法向量。進(jìn)而求得二面角余弦值.【詳解】（Ⅰ）證明：連結(jié).因為分別為的中點，所以，且.又因為為的中點，所以. 由題設(shè)知且，可得且，故且因此四邊形為平行四邊形，.又平面，所以平面. （Ⅱ）因為底面是正方形，所以，又因為側(cè)面底面，且側(cè)面底面，所以平面，所以，又因為側(cè)面為矩形，所以，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，其中，，且，因為平面，所以平面，故為平面的一個法向量， 設(shè)為平面的法向量，則即 ，不妨設(shè)，可得． 所以， 因為二面角的平面角是鈍角， 所以二面角的余弦值.【點睛】本題的核心在考查空間向量的應(yīng)用，需要注意以下問題：(1)求解本題要注意兩點：一是兩平面的法向量的夾角不
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