20xx屆江西省奉新縣第一中學(xué)高三上學(xué)期第五次月考數(shù)學(xué)(理)試題(含解析)(編輯修改稿)
2025-04-03 03:05 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 數(shù)，由已知得出所構(gòu)造的函數(shù)的單調(diào)性，再利用其單調(diào)性解抽象不等式，可得選項(xiàng).【詳解】設(shè)，∵，即，即，故是奇函數(shù)，由于函數(shù)在上存在導(dǎo)函數(shù)，所以，函數(shù)在上連續(xù)，則函數(shù)在上連續(xù).∵在上有，∴，故在單調(diào)遞增，又∵是奇函數(shù)，且在上連續(xù)，∴在上單調(diào)遞增，∵，∴，即，∴，故，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查運(yùn)用導(dǎo)函數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，從而求解抽象不等式的問(wèn)題，構(gòu)造合適的函數(shù)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，屬于較難題.二、填空題13．已知離心率為2的雙曲線的焦點(diǎn)與橢圓的焦點(diǎn)重合，則____________ .【答案】【分析】求得橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)題意，得到，得到，進(jìn)而求得，即可求解.【詳解】由題意，橢圓，可得，即，因?yàn)殡p曲線的焦點(diǎn)與橢圓的焦點(diǎn)重合，即，又由雙曲線的離心率為2，即，解得，又由，解得，所以.故答案為：.14．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿(mǎn)足，若，則的最小值為_(kāi)_________【答案】【分析】轉(zhuǎn)化條件為，由等差數(shù)列的定義及通項(xiàng)公式可得，求得滿(mǎn)足的項(xiàng)后即可得解.【詳解】因?yàn)?，所以，又，所以?shù)列是以為首項(xiàng)，公差為2的等差數(shù)列，所以，所以，令，解得，所以，其余各項(xiàng)均大于0，所以.故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題的關(guān)鍵是構(gòu)造新的等差數(shù)列，求出，解不等式，屬于中檔題.15．已知滿(mǎn)足約束條件且的最大值為1，則的最小值為_(kāi)_____.【答案】【分析】先畫(huà)出不等式組所表示的平面區(qū)域，根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，結(jié)合圖形，求出，再由展開(kāi)后，利用基本不等式，即可求出最值.【詳解】作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖中陰影部分所示， 把變形為，由圖可知，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)過(guò)點(diǎn)時(shí)，取最大值1，即，則2，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，故所求的最小值為.故答案為：.【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：利用基本不等式求最值時(shí)，要注意其必須滿(mǎn)足的三個(gè)條件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項(xiàng)必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項(xiàng)之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時(shí)，必須驗(yàn)證等號(hào)成立的條件，若不能取等號(hào)則這個(gè)定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯(cuò)誤的地方.16．已知在直三棱柱中，，且此三棱柱有內(nèi)切球，則此三棱柱的內(nèi)切球與外接球的表面積的比為_(kāi)_____．【答案】【分析】根據(jù)已知條件設(shè)，，求出此三棱柱的內(nèi)切球與外接球的半徑，再根據(jù)面積公式可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以可設(shè)，，設(shè)的內(nèi)切圓的半徑為，則，即，解得，所以要使此三棱柱有內(nèi)切球，則此三棱柱的高，所以?xún)?nèi)切球的半徑；因?yàn)?，所以此直三棱柱的外接球的直徑就是以為棱的長(zhǎng)方體的對(duì)角線，其長(zhǎng)為，所以此直三棱柱的外接球的半徑為，因此此三棱柱的內(nèi)切球與外接球的表面積的比為.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：將直三棱柱的外接球的直徑化為長(zhǎng)方體的對(duì)角線求解是解題關(guān)鍵.三、解答題17．已知中心在原點(diǎn)的雙曲線的漸近線方程是，且雙曲線過(guò)點(diǎn).（1）求雙曲線的方程； （2）過(guò)雙曲線
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