20xx-20xx上海備戰(zhàn)中考數(shù)學(xué)—二次函數(shù)的綜合壓軸題專題復(fù)習(編輯修改稿)
2025-03-30 22:18 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 6．如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過A（﹣1，0），B（3，0）兩點，且與y軸交于點C，點D是拋物線的頂點，拋物線對稱軸DE交x軸于點E，連接BD．（1）求經(jīng)過A，B，C三點的拋物線的函數(shù)表達式；（2）點P是線段BD上一點，當PE＝PC時，求點P的坐標．【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）點P的坐標為（2，2）．【解析】【分析】（1）利用待定系數(shù)法求出過A，B，C三點的拋物線的函數(shù)表達式；（2）連接PC、PE，利用公式求出頂點D的坐標，利用待定系數(shù)法求出直線BD的解析式，設(shè)出點P的坐標為（x，﹣2x+6），利用勾股定理表示出PC2和PE2，根據(jù)題意列出方程，解方程求出x的值，計算求出點P的坐標．【詳解】解：（1）∵拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過A（﹣1，0），B（3，0）兩點，∴，解得，∴所求的拋物線的函數(shù)表達式為y＝﹣x2+2x+3；（2）如圖，連接PC，PE．拋物線的對稱軸為x＝＝1．當x＝1時，y＝4，∴點D的坐標為（1，4）．設(shè)直線BD的解析式為y＝kx+b，則， 解得．∴直線BD的解析式為：y＝2x+6，設(shè)點P的坐標為（x，﹣2x+6），又C（0，3），E（1，0），則PC2＝x2+（3+2x﹣6）2，PE2＝（x﹣1）2+（﹣2x+6）2，∵PC＝PE，∴x2+（3+2x﹣6）2＝（x﹣1）2+（﹣2x+6）2，解得，x＝2，則y＝﹣22+6＝2，∴點P的坐標為（2，2）．【點睛】本題考查的是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、靈活運用待定系數(shù)法是解題的關(guān)鍵．7．我們知道，經(jīng)過原點的拋物線解析式可以是。（1）對于這樣的拋物線：當頂點坐標為（1，1）時，a= ；當頂點坐標為（m，m），m≠0時，a 與m之間的關(guān)系式是 ；（2）繼續(xù)探究，如果b≠0，且過原點的拋物線頂點在直線上，請用含k的代數(shù)式表示b；（3）現(xiàn)有一組過原點的拋物線，頂點A1，A2，…，An在直線上，橫坐標依次為1，2，…，n（n為正整數(shù)，且n≤12），分別過每個頂點作x軸的垂線，垂足記為B1，B2，B3，…，Bn，以線段AnBn為邊向右作正方形AnBnCnDn，若這組拋物線中有一條經(jīng)過點Dn，求所有滿足條件的正方形邊長。【答案】（1）－1；（2）（3）3，6，9【解析】解：（1）－1；。（2）∵過原點的拋物線頂點在直線上，∴?！遙≠0，∴。（3）由（2）知，頂點在直線上，橫坐標依次為1，2，…，n（n為正整數(shù)，且n≤12）的拋物線為：，即。對于頂點在在直線上的一點Am（m，m）（m為正整數(shù)，且m≤n），依題意，作的正方形AmBmCmDm邊長為m，點Dm坐標為（2 m，m），若點Dm在某一拋物線上，則，化簡，得?！適，n為正整數(shù)，且m≤n≤12，∴n=4，8，12，m=3，6，9?！嗨袧M足條件的正方形邊長為3，6，9。（1）當頂點坐標為（1，1）時，由拋物線頂點坐標公式，有，即。當頂點坐標為（m，m），m≠0時。（2）根據(jù)點在直線上，點的坐標滿足方程的關(guān)系，將拋物線頂點坐標代入，化簡即可用含k的代數(shù)式表示b。由于拋物線與直線只有一個公共點，意味著聯(lián)立解析式后得到的一元二次方程，其根的判別式等于0，由此可求出m的值和D點坐標。（3）將依題意，作的正方形AmBmCmDm邊長為m，點Dm坐標為（2 m，m），將（2 m，m）代入拋物線求出m，n的關(guān)系，即可求解。8．如圖，在平面直角坐標系中，已知點的坐標為，且，拋物線圖象經(jīng)過三點．（1）求兩點的坐標；（2）求拋物線的解析式；（3）若點是直線下方的拋物線上的一個動點，作于點，當?shù)闹底畲髸r，求此時點的坐標及的最大值．【答案】解：（1）點A、C的坐標分別為（4，0）、（0，﹣4）；；（2）拋物線的表達式為： ；（3）PD有最大值，當x＝2時，其最大值為，此時點P（2，﹣6）．【解析】【分析】（1）OA＝OC＝4OB＝4，即可求解；（2）拋物線的表達式為： ，即可求解；（3），即可求解．【詳解】解：（1）OA＝OC＝4OB＝4，故點A、C的坐標分別為（4，0）、（0，﹣4）；（2）拋物線的表達式為：，即﹣4a＝﹣4，解得：a＝1，故拋物線的表達式為： ；（3）直線CA過點C，設(shè)其函數(shù)表達式為：，將點A坐標代入上式并解得：k＝1，故直線CA的表達式為：y＝x﹣4，過點P作y軸的平行線交AC于點H，∵OA＝OC＝4， ，∵ ，設(shè)點 ，則點H（x，x﹣4），∵ ＜0，∴PD有最大值，當x＝2時，其最大值為，此時點P（2，﹣6）．【點睛】本題考查的是二次函數(shù)綜合運用，涉及到一次函數(shù)、解直角三角形、圖象的面積計算等，其中（3），用函數(shù)關(guān)系表示PD，是本題解題的關(guān)鍵9．已知：二次函數(shù)(a為常數(shù))．(1)請寫出該二次函數(shù)圖象的三條性質(zhì)；(2)在同一直角坐標系中，若該二次函數(shù)的圖象在的部分與一次函數(shù)的圖象有兩個交點，求的取值范圍．【答案】(1)見解析；(2)．【解析】【分析】(1)可從開口方向、對稱軸、最值等角度來研究即可；(2) 先由二次函數(shù)的圖象與一次函數(shù)的圖象有兩個交點，即關(guān)于x的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，由此可得，再根據(jù)二次函數(shù)的圖象在的部分與一次函數(shù)的圖象有兩個交點，也就是說二次函數(shù)的圖象與軸的部分有兩個交點，畫出函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象，可知當時，將x=4代入求得a的取值范圍，由此即可求得答案.【詳解】(1)①圖象開口向上；②圖象的對稱軸為直線；③當時，隨的增大而增大；④當時，隨的增大而減小；⑤當時，函數(shù)有最小值；(2)∵二次函數(shù)的圖象與一次函數(shù)的圖象有兩個交點，∴，即，解得，∵二次函數(shù)的圖象在的部分與一次函數(shù)的圖象有兩個交點，∴二次函數(shù)的圖象與軸的部分有兩個交點，畫出二次函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象，可知當時，∴當時，得，∴當二次函數(shù)的圖象在的部分與一次函數(shù)的圖象有兩個交點時，的取值范圍為．【點睛】本題考查的是二次函數(shù)綜合題，涉及了二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象與一次函數(shù)圖象的交點問題，二次函數(shù)的圖象與x軸交點問題，正確進行分析并運用數(shù)形結(jié)合思想、靈活運用相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵.10．已知函數(shù)（為常數(shù)）（1）當，①點在此函數(shù)圖象上，求的值；②求此函數(shù)的最大值．（2）已知線段的兩個端點坐標分別為，當此函數(shù)的圖象與線段只有一個交點時，直
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