20xx-20xx上海備戰(zhàn)中考數(shù)學(xué)—二次函數(shù)的綜合壓軸題專題復(fù)習(xí)-在線瀏覽
2025-03-30 22:18本頁(yè)面
【正文】 ，4），作B點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)B′，連接DB′交y軸于M，如圖1，則B′（﹣3，0），∵M(jìn)B=MB′，∴MB+MD=MB′+MD=DB′，此時(shí)MB+MD的值最小，而BD的值不變，∴此時(shí)△BDM的周長(zhǎng)最小，易得直線DB′的解析式為y=x+3，當(dāng)x=0時(shí)，y=x+3=3，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，3）；（3）存在．過(guò)點(diǎn)C作AC的垂線交拋物線于另一點(diǎn)P，如圖2，∵直線AC的解析式為y=3x+3，∴直線PC的解析式可設(shè)為y=﹣x+b，把C（0，3）代入得b=3，∴直線PC的解析式為y=﹣x+3，解方程組，解得或，則此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（，）；過(guò)點(diǎn)A作AC的垂線交拋物線于另一點(diǎn)P，直線PC的解析式可設(shè)為y=﹣x+b，把A（﹣1，0）代入得+b=0，解得b=﹣，∴直線PC的解析式為y=﹣x﹣，解方程組，解得或，則此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（，﹣）.綜上所述，符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，）或（，﹣）.點(diǎn)睛：本題考查了二次函數(shù)的綜合題：熟練掌握二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征和二次函數(shù)的性質(zhì)；會(huì)利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，理解兩直線垂直時(shí)一次項(xiàng)系數(shù)的關(guān)系，通過(guò)解方程組求把兩函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)；理解坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，會(huì)運(yùn)用兩點(diǎn)之間線段最短解決最短路徑問(wèn)題；會(huì)運(yùn)用分類討論的思想解決數(shù)學(xué)問(wèn)題．6．如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過(guò)A（﹣1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，且與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D是拋物線的頂點(diǎn)，拋物線對(duì)稱軸DE交x軸于點(diǎn)E，連接BD．（1）求經(jīng)過(guò)A，B，C三點(diǎn)的拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）點(diǎn)P是線段BD上一點(diǎn)，當(dāng)PE＝PC時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，2）．【解析】【分析】（1）利用待定系數(shù)法求出過(guò)A，B，C三點(diǎn)的拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）連接PC、PE，利用公式求出頂點(diǎn)D的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出直線BD的解析式，設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，﹣2x+6），利用勾股定理表示出PC2和PE2，根據(jù)題意列出方程，解方程求出x的值，計(jì)算求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．【詳解】解：（1）∵拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過(guò)A（﹣1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，∴，解得，∴所求的拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y＝﹣x2+2x+3；（2）如圖，連接PC，PE．拋物線的對(duì)稱軸為x＝＝1．當(dāng)x＝1時(shí)，y＝4，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，4）．設(shè)直線BD的解析式為y＝kx+b，則， 解得．∴直線BD的解析式為：y＝2x+6，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，﹣2x+6），又C（0，3），E（1，0），則PC2＝x2+（3+2x﹣6）2，PE2＝（x﹣1）2+（﹣2x+6）2，∵PC＝PE，∴x2+（3+2x﹣6）2＝（x﹣1）2+（﹣2x+6）2，解得，x＝2，則y＝﹣22+6＝2，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，2）．【點(diǎn)睛】本題考查的是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、靈活運(yùn)用待定系數(shù)法是解題的關(guān)鍵．7．我們知道，經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的拋物線解析式可以是?！唷螩BD=90176。時(shí)，BM2+ DM2= BD2，即＋=，解得：,(舍去)．當(dāng)∠BDM=90176。和∠BDM=90176。時(shí)，討論即可求得m的值．【詳解】解：（1）令y=0，則，∵m＜0，∴，解得：，．∴A（，0）、B（3，0）．（2）存在．理由如下：∵設(shè)拋物線C1的表達(dá)式為（），把C（0，）代入可得，．∴Ｃ1的表達(dá)式為：，即．設(shè)P（p，），∴ S△PBC = S△POC+ S△BOP–S△BOC=．∵0，∴當(dāng)時(shí),S△PBC最大值為．（3）由C2可知： B（3，0），D（0，），M（1，），∴BD2=，BM2=，DM2=．∵∠MBD90176。20202021上海備戰(zhàn)中考數(shù)學(xué)—二次函數(shù)的綜合壓軸題專題復(fù)習(xí)一、二次函數(shù)1．如圖，拋物線y＝x2+bx﹣2與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，且A（﹣1，0）．（1）求拋物線的解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）判斷△ABC的形狀，證明你的結(jié)論；（3）點(diǎn)M是拋物線對(duì)稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)MC+MA的值最小時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．【答案】（1）拋物線的解析式為y＝x﹣2，頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為 （，﹣）；（2）△ABC是直角三角形，證明見(jiàn)解析；（3）點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，﹣）．【解析】【分析】（1）因?yàn)辄c(diǎn)A在拋物線上，所以將點(diǎn)A代入函數(shù)解析式即可求得答案；（2）由函數(shù)解析式可以求得其與x軸、y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，即可求得AB、BC、AC的長(zhǎng)，由勾股定理的逆定理可得三角形的形狀；（3）根據(jù)拋物線的性質(zhì)可得點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于對(duì)稱軸x對(duì)稱，求出點(diǎn)B，C的坐標(biāo)，根據(jù)軸對(duì)稱性，可得MA＝MB，兩點(diǎn)之間線段最短可知，MC+MB的值最?。畡tBC與直線x交點(diǎn)即為M點(diǎn)，利用得到系數(shù)法求出直線BC的解析式，即可得到點(diǎn)M的坐標(biāo)．【詳解】（1）∵點(diǎn)A（﹣1，0）在拋物線ybx﹣2上，∴b（﹣1）﹣2＝0，解得：b，∴拋物線的解析式為yx﹣2．yx﹣2（x2﹣3x﹣4 ），∴頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為 （）．（2）當(dāng)x＝0時(shí)y＝﹣2，∴C（0，﹣2），OC＝2．當(dāng)y＝0時(shí)，x﹣2＝0，∴x1＝﹣1，x2＝4，∴B （4，0），∴OA＝1，OB＝4，AB＝5．∵AB2＝25，AC2＝OA2+OC2＝5，BC2＝OC2+OB2＝20，∴AC2+BC2＝AB2．∴△ABC是直角三角形．（3）∵頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為 （），∴拋物線的對(duì)稱軸為x．∵拋物線yx2+bx﹣2與x軸交于A，B兩點(diǎn)，∴點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于對(duì)稱軸x對(duì)稱．∵A（﹣1，0），∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，0），當(dāng)x＝0時(shí)，yx﹣2＝﹣2，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，﹣2），則BC與直線x交點(diǎn)即為M點(diǎn)，如圖，根據(jù)軸對(duì)稱性，可得：MA＝MB，兩點(diǎn)之間線段最短可知，MC+MB的值最?。O(shè)直線BC的解析式為y＝kx+b，把C（0，﹣2），B（4，0）代入，可得：，解得：，∴yx﹣2．當(dāng)x時(shí)，y，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（）．【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、一次函數(shù)的解析式、直角三角形的性質(zhì)及判定、軸對(duì)稱性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是利用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式．2．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A、B為x軸上兩點(diǎn)，C、D為y軸上的兩點(diǎn)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、C、B的拋物線的一部分C1與經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、D、B的拋物線的一部分C2組合成一條封閉曲線，我們把這條封閉曲線稱為“蛋線”．已知點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，），點(diǎn)M是拋物線C2：（＜0）的頂點(diǎn)．（1）求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）“蛋線”在第四象限上是否存在
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