【正文】 ． 本講欄目開關(guān) 主干知識梳理 熱點(diǎn)分類突破 押 題 精 練 專題三 第 2講 熱點(diǎn)分類突破 3 ．?dāng)?shù)列應(yīng)用題主要考查應(yīng)用所學(xué)知識分析和解析問題的能力．其中，建立數(shù)列模型是解決這類問題的核心，在試題中主要有：一是，構(gòu)造等差數(shù)列或等比數(shù)列模型，然后用相應(yīng)的通項(xiàng)公式與求和公式求解；二是，通過歸納得到結(jié)論，再用數(shù)列知識求解 . 本講欄目開關(guān) 主干知識梳理 熱點(diǎn)分類突破 押 題 精 練 專題三 第 2講 押題精練 1 ．在一個數(shù)列中，如果 ? n ∈ N*，都有 a n a n ＋ 1 a n ＋ 2 ＝ k ( k 為常數(shù) ) ，那么稱這個數(shù)列為等積數(shù)列，稱 k 為這個數(shù)列的公積．已知數(shù)列 { a n } 是等積數(shù)列，且 a 1 ＝ 1 ， a 2 ＝ 2 ，公積為 8 ，則 a 1 ＋ a 2 ＋ a 3 ＋ ? ＋ a 12 ＝ ________. 解析 依題意得數(shù)列 { a n } 是周期為 3 的數(shù)列，且 a 1 ＝ 1 ，a 2 ＝ 2 ， a 3 ＝ 4 ， 因此 a1 ＋ a 2 ＋ a 3 ＋ ? ＋ a 12 ＝ 4( a 1 ＋ a 2 ＋ a 3 ) ＝ 4 (1 ＋ 2 ＋ 4)＝ 28. 28 本講欄目開關(guān) 主干知識梳理 熱點(diǎn)分類突破 押 題 精 練 專題三 第 2講 押題精練 2 ．秋末冬初，流感盛行，特別是甲型 H1N1 流感．某醫(yī)院近30 天每天入院治療甲流的人數(shù)依次構(gòu)成數(shù)列 { a n } ，已知 a 1＝ 1 ， a 2 ＝ 2 ，且 a n ＋ 2 － a n ＝ 1 ＋ ( － 1)n( n ∈ N*) ，則該醫(yī)院 30天入院治療甲流的人數(shù)共有 ________ ． 解析 由于 a n ＋ 2 － a n ＝ 1 ＋ ( － 1) n ， 所以 a 1 ＝ a 3 ＝ ? ＝ a 29 ＝ 1 ， a 2 ， a 4 ， ? ， a 30 構(gòu)成公差為 2 的等差數(shù)列， 所以 a 1 ＋ a 2 ＋ ? ＋ a 29 ＋ a 30 ＝ 15 ＋ 15 2 ＋15 142 2 ＝ 255. 255 本講欄目開關(guān) 主干知識梳理 熱點(diǎn)分類突破 押 題 精 練 專題三 第 2講 押題精練 3 ．已知公差大于零的等差數(shù)列 { an} 的前 n 項(xiàng)和 Sn，且滿足：a2 2 7 ＋ ? ＋ n 2 2 n － 1 知 S n ＝ 1 3 n － 1 ＋ ( － 1) n ln( 2 3 n － 1 ) ＝ 2 2 ＋ 22 2 n ＋ 1 . ② ① － ② 得 (1 － 2 2 ) S n ＝ 2 ＋ 2 3 ＋ 2 5 ＋ ? ＋ 2 2 n－ 1－ n a4＝ 65 ， a1＋ a5＝ 18. ( 1) 若 1 i 21 ， a1， ai， a21是某等比數(shù)列的連續(xù)三項(xiàng)，求 i的值； ( 2) 設(shè) bn＝n? 2 n ＋ 1 ? Sn，是否存在一個最小的常數(shù) m 使得 b1＋ b2＋ ? ＋ bn m 對于任意的正整數(shù) n 均成立，若存在，求出常數(shù) m ；若不存在，請說明理由． 解 ( 1) { a n } 為等差數(shù)列， ∵ a 1 ＋ a 5 ＝ a 2 ＋ a 4 ＝ 18 ， 又 a 2 a 21 ＝ a 2i ， 即 1 廣東 ) 設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列 { an} 的前 n 項(xiàng)和為 Sn，滿足 4 Sn＝ a2n ＋ 1－ 4 n － 1 ， n ∈ N* , 且 a2， a5， a14構(gòu)成等比數(shù)列． ( 1) 證明： a2＝ 4 a1＋ 5 ； ( 2) 求數(shù)列 { an} 的通項(xiàng)公式； ( 3) 證明：對一切正整數(shù) n ，有1a1a2＋1a2a3＋ ? ＋1anan ＋ 112. ( 1) 證明 當(dāng) n ＝ 1 時， 4 a 1 ＝ a 22 － 5 ， a 22 ＝ 4 a 1 ＋ 5 ， 又 a n 0 ， ∴ a 2 ＝ 4 a 1 ＋ 5 . 本講欄目開關(guān) 主干知識梳理 熱點(diǎn)分類突破 押 題 精 練 專題三 第 2講 熱點(diǎn)分類突破 ( 2) 解 當(dāng) n ≥ 2 時， 4 S n － 1 ＝ a 2n － 4( n － 1) － 1 ， ∴ 4 a n ＝ 4 S n － 4 S n － 1 ＝ a 2n ＋ 1 － a 2n － 4 ， 即 a 2n ＋ 1 ＝ a 2n ＋ 4 a n ＋ 4 ＝ ( a n ＋ 2) 2 ， 又 a n 0 ， ∴ a n ＋ 1 ＝ a n ＋ 2 ， ∴ 當(dāng) n ≥ 2 時， { a n } 是公差為 2 的等差數(shù)列． 又 a 2 ， a 5 ， a 14 成等比數(shù)列． ∴ a 25 ＝ a 2 2 5 ＋ ? ＋ n 3 n － 1 ＋ ( － 1) n ( ln 2 － l n 3) ＋ ( － 1) n n l n 3 ， 所以 S n ＝ 2( 1 ＋ 3 ＋ ? ＋ 3 n － 1 ) ＋ [ － 1 ＋ 1 － 1 ＋ … ＋ ( － 1) n ] bn} 的前 n 項(xiàng)和，其中 { an} ， { bn} 分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列． 本講欄目開關(guān) 主干知識梳理 熱點(diǎn)分類突破 押 題 精 練 專題三 第 2講 主干知識梳理 (3) 倒序相加法 這是在推導(dǎo)等差數(shù)列前 n 項(xiàng)和公式時所用的方法，也就是將一個數(shù)列倒過來排列 ( 反序 ) ，當(dāng)它與原數(shù)列相加時若有公式可提，并且剩余項(xiàng)的和易于求得，則這樣的數(shù)列可用倒序相加法求和． (4) 裂項(xiàng)相消法 利用通項(xiàng)變形，將通項(xiàng)分裂成兩項(xiàng)或 n 項(xiàng)的差，通過相加過程中的相互抵消，最后只剩 下有限項(xiàng)的和．這種方法，適用于求通項(xiàng)為1anan ＋ 1的數(shù)列的前 n 項(xiàng)和，其中 { an} 若為等差數(shù)列，則1anan ＋ 1＝1d????????1an－1an ＋ 1. 本講欄目開關(guān) 主干知識梳理 熱點(diǎn)分類突破 押 題 精 練 專題三 第 2講 主干知識梳理 常見的拆項(xiàng)公式： ①1n ? n ＋ 1 ?＝1n－1n ＋ 1； ②1n ? n ＋ k ?＝1k(1n－1n ＋ k) ； ③1? 2 n － 1 ?? 2 n ＋ 1 ?＝12(12 n － 1－12 n