【正文】 n 2 ( n ∈ N * ) ． 所以 a n ＋ 1 ＝ S n ＋ 1 － S n ＝ 3( n ＋ 1) 2 － 3 n 2 ＝ 6 n ＋ 3. ( 2) 因為 b n 是1a n ＋ 1 與1a n 的等比中項， 所以 ( b n ) 2 ＝1a n ＋ 1 Sn ＝ 1 安徽 ) 設數(shù)列 { a n } 滿足 a 1 ＝ 2 ， a 2 ＋ a 4 ＝ 8 ，且對任意 n ∈ N*，函數(shù) f ( x ) ＝ ( a n － a n ＋ 1 ＋ a n ＋ 2 ) x ＋ a n ＋ 1 c os x － a n ＋ 2 si n x滿足 f ′??????π2＝ 0. ( 1) 求數(shù)列 { a n } 的通項公式； ( 2) 若 b n ＝ 2??????a n ＋12 a n，求數(shù)列 { b n } 的前 n 項和 S n . 解 ( 1) 由題設可得 f ′ ( x ) ＝ ( a n － a n ＋ 1 ＋ a n ＋ 2 ) － a n ＋ 1 sin x － a n ＋ 2 c os x ， 又 f ′??????π2 ＝ 0 ，則 a n ＋ a n ＋ 2 － 2 a n ＋ 1 ＝ 0 ， 即 2 a n ＋ 1 ＝ a n ＋ a n ＋ 2 ， 因此數(shù)列 { a n } 為等差數(shù)列，設等差數(shù)列 { a n } 的公差為 d ， 本講欄目開關 主干知識梳理 熱點分類突破 押 題 精 練 專題三 第 2講 熱點分類突破 由已知條件????? a 1 ＝ 22 a 1 ＋ 4 d ＝ 8，解得????? a 1 ＝ 2 ，d ＝ 1 ， a n ＝ a 1 ＋ ( n － 1) d ＝ n ＋ 1. ( 2) b n ＝ 2????????n ＋ 1 ＋12 n ＋ 1 ＝ 2( n ＋ 1) ＋12 n ， S n ＝ b 1 ＋ b 2 ＋ ? ＋ b n ＝ ( n ＋ 3) n ＋ 1 －12 n ＝ n 2 ＋ 3 n ＋ 1 －12 n . 本講欄目開關 主干知識梳理 熱點分類突破 押 題 精 練 專題三 第 2講 熱點分類突破 考點二 錯位相減求和法 例 2 ( 2022專題三 第 2講 第 2 講 數(shù)列求和及數(shù)列的綜合應用 【高考考情解讀】 高考對本節(jié)知識主要以解答題的形式考查以下兩個問題： 1 ． 以遞推公式或圖、表形式給出條件，求通項公式，考查學生用等差、等比數(shù)列知識分析問題和探究創(chuàng)新的能力，屬中檔題 . 2 ． 通過分組、錯位相減等轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列的求和問題，考查等差、等比數(shù)列求和公式及轉(zhuǎn)化與化歸思想的應用，屬中檔題． 本講欄目開關 主干知識梳理 熱點分類突破 押 題 精 練 專題三 第 2講 主干知識梳理 1 ．數(shù)列求和的方法技巧 (1) 分組轉(zhuǎn)化法 有些數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將數(shù)列通項拆開或變形， 可轉(zhuǎn)化為幾個等差、等比數(shù)列或常見的數(shù)列，即先分別求和，然后再合并． (2) 錯位相減法 這是在推導等比數(shù)列的前 n 項和公式時所用的方法，這種方法主要用于求數(shù)列 { an ( ln 2 －ln 3) ＋ [ － 1 ＋ 2 － 3 ＋ … ＋ ( － 1) n n ] ln 3. 當 n 為偶數(shù)時， S n ＝ 2 1 － 3 n1 － 3 ＋n2 ln 3 ＝ 3 n ＋n2 ln 3 － 1 ； 當 n 為奇數(shù)時， S n ＝ 2 1 － 3 n1 － 3 － ( ln 2 － ln 3) ＋ ????????n － 12 － n ln 3 ＝ 3 n －n － 12 ln 3 － ln 2 － 1. 綜上所述， S n ＝????? 3 n ＋n2ln 3 － 1 ， n 為偶數(shù)，3 n －n － 12ln 3 － ln 2 － 1 ， n 為奇數(shù) . 本講欄目開關 主干知識梳理 熱點分類突破 押 題 精 練 專題三 第 2講 熱點分類突破 在處理一般數(shù)列求和時，一定要注意使用轉(zhuǎn)化思想．把一般的數(shù)列求和轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列進行求和，在求和時要分析清楚哪些項構(gòu)成等差數(shù)列，哪些項構(gòu)成等比數(shù)列，清晰正確地求解．在利用分組求和法求和時，由于數(shù)列的各項是正負交替的，所以一般需要對項數(shù) n 進行討論，最后再驗證是否可以合并為一個公式． 本講欄目開關 主干知識梳理 熱點分類突破 押 題 精 練 專題三 第 2講 熱點分類突破 ( 20222 2 n － 1 . ① 從而 22 a 14 ，即 ( a 2 ＋ 6) 2 ＝ a 2 81 ＝ (4 i － 3) 2 ，解得 i ＝ 3. ( 2) 由 ( 1) 知， S n ＝ n 湖南 ) 某公司一下屬企業(yè)從事某種高科技產(chǎn)品的生產(chǎn)．該企業(yè)第一年年初有資金 2 000 萬元，將其投入生產(chǎn)，到當年年底資金增長了 50% ，預計以后每年資金年增長率與第一年的相同．公司要求企業(yè)從第一年開始，每年年底上繳資金 d 萬元，并將剩余資金全部投入下一年生產(chǎn)．設第 n年年底企業(yè)上繳資金后的剩余資金為 an萬元． ( 1) 用 d 表示 a1， a2，并寫出 an ＋ 1與 an的關系式； ( 2) 若 公司希望經(jīng)過 m ( m ≥ 3) 年使企業(yè)的剩余資金為 4 000 萬元，試確定企業(yè)每年上繳資金 d 的值 ( 用 m 表示 ) ． 本講欄目開關 主干知識梳理 熱點分類突破 押 題 精 練 專題三 第 2講 熱點分類突破 ( 1) 由第 n 年和第 ( n ＋ 1) 年的資金變化情況得出 a n 與a n ＋ 1 的遞推關系； ( 2) 由 a n ＋ 1 與 a n 之間的關系，可求通項公式，問題便可求解． 解 ( 1) 由題意得 a 1 ＝ 2 000( 1 ＋ 50% ) － d ＝ 3 00 0 － d ， a 2 ＝ a 1 (1 ＋ 50% ) － d ＝ 32 a 1 － d ＝ 4 50 0 － 52 d . a n ＋ 1 ＝ a n (1 ＋ 50% ) － d ＝ 32 a n － d . ( 2) 由 ( 1) 得 a n ＝ 32 a n － 1 － d ＝ 32??????32 a n － 2 － d － d ＝??????322 an － 2 －32 d － d ＝ ? 本講欄目開關 主干知識梳