20xx北師大版選修2-1高中數(shù)學(xué)322拋物線的簡單性質(zhì)-文庫吧在線文庫
【正文】 , 則 Δ =4 ( k 1 )2 4k2=0 , ∴ k=12,即所求直線的方程為 y=12x+1. 探究一 探究二 探究三 探究四 錯因分析 :錯誤之一是遺漏直線斜 率不存在的情況 ,僅考慮斜率存在的直線 .錯誤之二是方程組消元后的方程 k2x2+2 ( k 1 ) x + 1 = 0 被認(rèn)定為二次方程 ,因而由直線與拋物線只有一個公共點 ,得出 Δ = 0 .事實上方程的二次項系數(shù)為含字母的 k2,方程不一定是二次方程 .當(dāng) k=0 時 ,方程是一次方程 2 x + 1 = 0 ,此時方程組只有一解 . 探究一 探究二 探究三 探究四 正解 : ( 1 ) 若直線斜率不存在 ,則過點 P ( 0 , 1 ) 的直線方程為 x = 0 . 由 x = 0 ,y2= 2x ,得 x = 0 ,y = 0 . ∴ 直線 x = 0 與拋物線只有一個公共點 . ( 2 ) 若直線斜率存在 ,設(shè)為 k ,則過點 P 的直線方程為 y = k x + 1 . 由方程組 y = kx + 1 ,y2= 2x ,得 k2x2+2 ( k 1 ) x + 1 = 0 . 當(dāng) k = 0 時 ,解得 x =12,y = 1 ,即直線 y = 1 與拋物線只有一個公共點 。 當(dāng) 1 k 12,且 k ≠ 0 時 ,直線 l 與拋物線有兩個公共點 。 ( xA+ xB)2 4 xAxB = 2 ( 2 ) 頂點在原點 ,對稱軸為 y 軸時的拋物線方程可設(shè)為 x2= ay ( a ≠ 0 ), 當(dāng)a0 時 ,拋物線開口向上 ,當(dāng) a 0 時 ,拋物線開口向下 . 探究一 探究二 探究三 探究四 【典型例題 1 】 已知 拋物線的頂點在坐標(biāo)原點 , 對稱軸為 x 軸 , 且與圓x2+y2=4 相交的公共弦長等于 2 3 , 求這條拋物線的方程 . 思路分析 :因為圓和拋物線都關(guān)于 x 軸對稱 ,所以它們的交點也關(guān)于 x軸對稱 ,即公共弦被 x 軸垂直平分 ,于是由弦長等于 2 3 ,可知交點縱坐標(biāo)為177。 8 OB =y1y2+ y12y22=y1y2( 1 + y1y2) =0 , ∴ OA ⊥ OB . 探究一 探究二 探究三 探究四 ( 2 ) 解 : S △OAB=12 4 x D .y2= 177。 ( y1+ y2)2 4 y1y2=2p 1 +1k2 =52p. 解得 k = 177。 y0x0 = 1 ,即 y02=x0 x0p2 .又因為 y02=2px0( x00 , p0 ), 所以 2 p x0=x0 x0p2 ,所以 x0=52p ,所以 A , B 兩點所在的直線方程為 x=52p. 答案 : D 1 2 3 4 5 3 . 已知拋物線 y2=2px ( p0 ), 過其焦點且斜率為 1 的直線交拋物線于 A , B 兩點 , 若線段 AB 的中點的縱坐標(biāo)為 2 , 則該拋物線的準(zhǔn)線方程為 . 解析 :設(shè)點 A ( x1, y1), 點 B ( x2, y2) .過焦點 F p2, 0 且斜率為 1 的直線方程為 y = x p2,與拋物線方程聯(lián)立可得 y2 2 p y p2=0. 由線段 AB 的中點的縱坐標(biāo)為 2 ,得 y1+y2=2p=4. 所以 p = 2 ,故準(zhǔn)線方程為 x= 1. 答案 : x= 1 1 2 3 4 5 4 . 如圖所示 , 過拋物線 y2=4x 的焦點 F , 作傾斜角為 60 176。 |y2 y1|=12 1k2+ 4 = 10 , ∴ k = 177。 沒有公共點 . 思路分析 :用解析法解決這個問題 ,只要討論直線 l 的方程與拋物線的方程組成的方程組的解的情況 ,由方程組解的情況判斷直線 l 與拋物線的位置關(guān)系 . 解 :由題意 ,設(shè)直線 l 的方程為 y 1=k ( x + 2 ) . 由方程組 y 1 = k ( x + 2 ),y2= 4x ,( * ) 得 ky2 4 y + 4 ( 2 k + 1
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