20xx北師大版選修2-1高中數(shù)學(xué)322拋物線的簡單性質(zhì)(參考版)
2024-11-20 23:22本頁面
【正文】 2 . ∴ AB 所在的直線方程為 y = 2 x p2 或 y= 2 x p2 . 1 2 3 4 5 解法二 :如圖所示 ,拋物線 y2=2px ( p0 ) 的準(zhǔn)線為 x= p2,設(shè)點(diǎn)A ( x1, y1), B ( x2, y2), A , B 到準(zhǔn)線的距離分別為 dA, dB,由拋物線的定義知 , | A F| = dA=x1+p2, | B F | = dB=x2+p2. 于是 | AB | = x1+x2+p=52p , ∴ x1+x2=32p. 當(dāng) x1=x2時 , | AB | = 2 p 52p , ∴ 直線 AB 與 x 軸不垂直 . 設(shè)直線 AB 的斜率為 k , k ≠ 0. 又點(diǎn) F 的坐標(biāo)為 p2, 0 , ∴ 直線 AB 的方程為 y = k x p2 ( k ≠ 0 ) . 1 2 3 4 5 由 y = k x p2 ,y2= 2px , 得 k2x2 p ( k2+2 ) x+14k2p2=0. ∴ x1+x2=p ( k2+ 2 )k2,即p ( k2+ 2 )k2=32p , 解得 k = 177。 ( y1 y2)2 = 1 +1k2 的 直線與拋物線交于A , B 兩點(diǎn) , 設(shè) AB 的中點(diǎn)為 M , 則 | F M | = . 1 2 3 4 5 解析 : ( 方法 1 ) 在拋物線中 ,焦點(diǎn) F ( 1 , 0 ), 直線的斜率為 k= 3 , ∴ 直線 AB 的方程為 y= 3 ( x 1 ), ∴ y = 3 ( x 1 ),y2= 4x ,消去 y 得 3x2 1 0 x + 3 = 0 , ∴ x1+x2=103. 設(shè)中點(diǎn) M ( x0, y0), 則 x0=53.又點(diǎn) M 在直線 y= 3 ( x 1 ) 上 , ∴ y0= 3 53 1 =2 33, ∴ |F M | = 53 1 2+ 2 33 0 2=43. ( 方法 2 ) 同方法 1 ,得到 x1+x2=103, ∴ M 點(diǎn)的橫坐標(biāo)為 x0=x1+ x22=53, ∴ | F M | =|x0 1 |?? ?? ?? 60 176。 kOB= 1 , 即y0x0p2 8 2 x 解析 :設(shè)拋物線方程為 y2= ax ( a ≠ 0 ), 則焦點(diǎn)為 F a4, 0 ,則通徑的長d=2 a a4= | a | ,則 4=12 | a | a4 , ∴ a= 177。 4 2 x C .y2= 177。16. 點(diǎn)評 解決直線與拋物線位置關(guān)系問題 ,常常需要根據(jù)題目條件選擇恰當(dāng)?shù)姆椒?,以便解題過程簡便易行 . 探究一 探究二 探究三 探究四 易錯辨析 易錯點(diǎn) 因忽視斜率不存在及二次項(xiàng)系數(shù)而漏解 【典型例題 5 】 求過點(diǎn) P ( 0 , 1 ) 且與拋物線 y2=2x 只有一個公共點(diǎn)的直線方程 . 錯解 :設(shè)所求直線方程為 y = k x + 1 . 由方程組 y = kx + 1 ,y2= 2x , 得 k2x2+2 ( k 1 ) x + 1 = 0 . 若直線與拋物線只有一個公共點(diǎn) , 則 Δ =4 ( k 1 )2 4k2=0 , ∴ k=12,即所求直線的方程為 y=12x+1. 探究一 探究二 探究三 探究四 錯因分析 :錯誤之一是遺漏直線斜 率不存在的情況 ,僅考慮斜率存在的直線 .錯誤之二是方程組消元后的方程 k2x2+2 ( k 1 ) x + 1 = 0 被認(rèn)定為二次方程 ,因而由直線與拋物線只有一個公共點(diǎn) ,得出 Δ = 0 .事實(shí)上方程的二次項(xiàng)系數(shù)為含字母的 k2,方程不一定是二次方程 .當(dāng) k=0 時 ,方程是一次方程 2 x + 1 = 0 ,此時方程組
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