【正文】 10 20 100 p4 n4 總產(chǎn)量（噸） 1 1 1 18 p5 n5 如果將利潤(rùn)、耗用原料等五個(gè)因素作為目標(biāo)，確定各目標(biāo)的理想值以及偏差變量如下： 如果目標(biāo)大于理想值，正偏差變量大于 0，小于理想值，負(fù)偏差變量大于 0。這個(gè)指標(biāo)是隨機(jī)產(chǎn)生的不同維數(shù)的判斷矩陣的特征根的平均值 計(jì)算一致性指標(biāo) .（ Consistency Index） 計(jì)算一致性比例 .（ Consistency Ratio） .. ?當(dāng) . ，認(rèn)為判斷矩陣的一致性是可以接受的。 Wnwwwnwnwnwnwwww/ww/ww/ww/ww/ww/ww/ww/ww/wWAnnnnnnnnn??????????????????????????????????????????????????????????????????????212121212221212111因此，只要給出判斷矩陣，就可以求出 n個(gè)物體的歸一化重量。 ?????????3254A的特征根。最理想的值為 1，最不理想的值為 0，將各決策方案的實(shí)際目標(biāo)值轉(zhuǎn)化為 0～ 1之間的值。 x1進(jìn)基， x3離基， z1會(huì)改善， z2會(huì)變差，回到 Pareto解 C。 x3進(jìn)基， x2離基，兩個(gè)目標(biāo)同時(shí)會(huì)變差，回到劣解 A。 x1進(jìn)基， x4離基， z1會(huì)改善， z2將會(huì)變差，進(jìn)到劣解 A。這樣的可行解是多目標(biāo)規(guī)劃的 Pareto解。 設(shè)多目標(biāo)規(guī)劃的可行域?yàn)??，設(shè)其中的一個(gè)可行解 X*∈ ?，它的 K個(gè)目標(biāo)值分別 f1(X*) ， f2(X*)， …… ， fk(X*) 如果對(duì)于任意的可行解 X ∈ ?，都至少有一個(gè)目標(biāo) i，使得 fi(X)fi(X*) 則稱 X*為這個(gè)多目標(biāo)規(guī)劃的一個(gè) Pareto解（也稱為非劣解、有效解）。變化情況如下表：： 多目標(biāo)規(guī)劃的例子 (2) 允許排放的 污染 (m3) 產(chǎn)品 A產(chǎn)量 （噸） 產(chǎn)品 B產(chǎn)量 （噸） 產(chǎn)品 C產(chǎn)量 （噸） 最大利潤(rùn) （萬(wàn)元） 25 7 5 0 83 19 7 5 0 83 18 6 6 0 78 17 5 7 0 73 16 4 8 0 68 15 3 9 0 63 14 2 10 0 58 13 1 11 0 53 12 0 12 0 48 11 沒(méi)有可行解 多目標(biāo)規(guī)劃的例子 (3) 25 24 23 22 21 19 18 17 16 15 14 13 12 允許排放的污染（ m3） 83 78 73 68 63 58 53 48 最大利潤(rùn)（萬(wàn)元） 允許排放的污染和最大利潤(rùn)之間的關(guān)系 排放污染最小和利潤(rùn)最大兩個(gè)目標(biāo)可以同時(shí)實(shí)現(xiàn)的區(qū)域 利潤(rùn)最大化和排放污染最小化雙目標(biāo)問(wèn)題的圖示 兩個(gè)目標(biāo)的規(guī)劃問(wèn)題的劣解和非劣解 第一個(gè)目標(biāo) 第一個(gè)目標(biāo) z1A z1B z2A z2B N M P P’ A B 劣解 劣解 非劣解 (Pareto解 ) 非劣解 (Pareto解 ) 非劣解集 (Pareto解集 ) 兩個(gè)目標(biāo)都可能實(shí)現(xiàn)的區(qū)域 第一個(gè)目標(biāo)取定一個(gè)值 z1A，作為約束條件，優(yōu)化第二個(gè)目標(biāo)，得到第二個(gè)目標(biāo)的最優(yōu)值 Z2A，得到 A點(diǎn)?？尚杏騼?nèi)部（不包括邊界）的可行解都是劣解。 多目標(biāo)線性規(guī)劃的 Pareto解集 (2) 用單純形表求解多目標(biāo)線性規(guī)劃 Pareto解集 雙目標(biāo)線性規(guī)劃問(wèn)題為 max z1=3x1+2x2 max z2=x1+2x2 . x1+ x2 ≤6 2x1+ x2 ≤10 x1+2x2 ≤10 x1， x2≥0 標(biāo)準(zhǔn)化問(wèn)題為 min z1=3x12x2 min z2= x12x2 . x1+ x2+x3 =6 2x1+ x2 +x4 =10 x1+2x2 +x5=10 x1, x2, x3, x4, x5≥0 多目標(biāo)線性規(guī)劃問(wèn)題的圖解。對(duì)應(yīng)于 A點(diǎn)。對(duì)應(yīng)于 C點(diǎn)。 多目標(biāo)線性規(guī)劃單純形表 (6) max z1=3x1+2x2 max z2=x1+2x2 . x1+ x2 ≤6 2x1+ x2 ≤10 x1+2x2 ≤10 x1， x2≥0 目標(biāo)函數(shù)線性加權(quán)： z=?1z1+ ?2z2 0≤?1 ,?2≤1 ?1+ ?2＝ 1 由圖解可以看出，加權(quán)以后的單目標(biāo)問(wèn)題的最優(yōu)解必定是多目標(biāo)規(guī)劃的一個(gè) Pareto解。線性加權(quán)法的缺點(diǎn)是各目標(biāo)的權(quán)重完全由主觀確定，而權(quán)重的選取對(duì)決策結(jié)果起著十分關(guān)鍵的作用。 例如 展開(kāi)行列式 (4 ?)(3 ?)+10=0， ?2＋ ?－ 2＝ 0 求解二次方程，得到矩陣的特征根 ?1＝ 1， ?2＝－ 2 對(duì)于高階矩陣，用行列式計(jì)算特征根需要求解高次方程，計(jì)算比較復(fù)雜，可以采用疊代法。這些數(shù)字的含義為： 數(shù)值 8的意義介于以上表格相鄰兩行的含義之間 與物體的重量之比不同，目標(biāo)的重要性判斷矩陣可能是不一致（ Inconsistency）的。在一些實(shí)際問(wèn)題中，約束條件是可以突破的，約束條件的右邊常數(shù)并不是變量上限或下限，而是一個(gè)希望能夠最接近的目標(biāo)。 0pnpnpnpnpnxxx18pnxxx100pnx20x10x3026pnx3xx238pnx5x2x4)pn()pn()pn()pn()pn(min554433221132155321443213332122321113214422335511???????????????????????????????????產(chǎn)品 A 產(chǎn)品 B 產(chǎn)品 C 目標(biāo)的 理想值 正偏差 變量 負(fù)偏差 變量 產(chǎn)量（噸） 0 10 0 RHS pi ni 達(dá) 到 的 目 標(biāo) 值 利潤(rùn)（萬(wàn)元） 40 77 0 37 耗用原料（噸） 30 38 0 18 排放污染（ m3） 10 26 0 16 銷售價(jià)格（萬(wàn)元） 100 100 0 0 總產(chǎn)量（噸） 10 18 0 8 用單純形法，得到目標(biāo)規(guī)劃的最優(yōu)解、各目標(biāo)的值以及偏差變量的值 最優(yōu)解 目標(biāo)值 偏差變量 目標(biāo)規(guī)劃的特點(diǎn) ?可以求解多目標(biāo)問(wèn)題。 產(chǎn)品 A 產(chǎn)品 B 產(chǎn)品 C 目標(biāo)的 理想值 正偏差 變量 負(fù)偏差 變量 產(chǎn)量（噸） 0 10 0 RHS pi ni 達(dá) 到 的 目 標(biāo) 值 利潤(rùn)（萬(wàn)元） 40 77 0 37 耗用原料（噸） 30 38 0 18 排放污染（ m3） 10 26 0 16 銷售價(jià)格（萬(wàn)元） 100 100 0 0 總產(chǎn)量（噸） 10 18 0 8 確定五個(gè)目標(biāo)的優(yōu)先級(jí) Pi（ Pi=1， 2， 3， 4， 5），數(shù)字越小優(yōu)先級(jí)越高 目 標(biāo) 產(chǎn)品 A 產(chǎn)品 B 產(chǎn)品 C 優(yōu)先級(jí) Pi 目標(biāo)的 理想值 正偏差 變量 負(fù)偏差 變量 利潤(rùn)（萬(wàn)元 /噸） 9 4 1 1 77 p1 n1 耗用原料（噸 /噸） 4 2 5 5 38 p2 n2 排放污染（ m3/噸） 2 1 3 3 26 p3 n3 銷售價(jià)格（萬(wàn)元 /噸） 30 10 20 2 100 p4 n4 總產(chǎn)量（噸） 1 1 1 4 18 p5 n5 目標(biāo)有優(yōu)先級(jí)的目標(biāo)規(guī)劃解法有： ?加權(quán)法 ?字典序法 目 標(biāo) 產(chǎn)品 A 產(chǎn)品 B 產(chǎn)品 C 優(yōu)先級(jí) 權(quán)重 理想值 正偏差 負(fù)偏差 利潤(rùn)（萬(wàn)元 /噸） 9 4 1 1 10000 77 p1 n1 耗用原料（噸 /噸） 4 2 5 5 1 38 p2 n2 排放污染（ m3/噸） 2 1 3 3 100 26 p3 n3 銷售價(jià)格（萬(wàn)元 /噸） 30 10 20 2 1000 100 p4 n4 總產(chǎn)量（噸） 1 1 1 4 10 18 p5 n5 目標(biāo)具有優(yōu)先級(jí)的目標(biāo)規(guī)劃解法 — 加權(quán)法 0pnpnpnpnpnxxx18pnxxx100pnx20x10x3026pnx3xx238pnx5x2x4)pn()pn(10)pn(10)pn(10)pn(10min554433221132155321443213332122321113214422332553114?????????????????????????????????????????????產(chǎn)品 A 產(chǎn)品 B 產(chǎn)品 C 理想值 正偏差 負(fù)偏差 產(chǎn)量（噸） 0 10 0 RHS pi ni 無(wú) 優(yōu) 先 級(jí) 利潤(rùn)（萬(wàn)元） 40 77 0 37 耗用原料（噸） 30 38 0 18 排放污染（ m3） 10 26 0 16 銷售價(jià)格（萬(wàn)元） 100 100 0 0 總產(chǎn)量（噸） 10 18 0 8 產(chǎn)品 A 產(chǎn)品 B 產(chǎn)品 C 理想值 正偏差 負(fù)偏差 產(chǎn)量（噸） 1 0 RHS pi ni 有 優(yōu) 先 級(jí) 1 利潤(rùn)（萬(wàn)元） 77 77 0 0 5 耗用原料（噸） 38 38 0 0 3 排放污染（ m3） 26 0 2 銷售價(jià)格（萬(wàn)元） 100 0 4 總產(chǎn)量（噸） 18 0 字典序優(yōu)化（ Lexicooptimization） 字典序法的原則是： ?首先不顧其它目標(biāo)，對(duì)優(yōu)先級(jí)最高的目標(biāo)進(jìn)行優(yōu)化，得到使第一級(jí)目標(biāo)最優(yōu)的決策變量的值以及第一級(jí)目標(biāo)函數(shù)的值； ?然后在不使第一級(jí)目標(biāo)變差的前提下，優(yōu)化第二級(jí)目標(biāo)； ?用同樣的原則，按優(yōu)先級(jí)從高到低，依次優(yōu)化各級(jí)目標(biāo)，直至所有目標(biāo)都優(yōu)化完畢。 p3進(jìn)基， n1離基， 2為主元。 對(duì)第四級(jí)目標(biāo)優(yōu)化， n1進(jìn)基可以減小 P4的值，但會(huì)使 P1增加。為了簡(jiǎn)化問(wèn)題，假設(shè)矩陣 A和 B都是行滿秩的，即秩 (A)=秩 (B)=m。 稱這兩個(gè)決策是容許的。反饋函數(shù)的分段表達(dá)式為 ????????????????????111923442423443162123160412xxxxxx)x(y ?由例 1可以看出，二層規(guī)劃的可行解集 S*不是一個(gè)凸集。 12:20:2312:20:2312:20Monday, February 27, 2023 1乍見(jiàn)翻疑夢(mèng)，相悲各問(wèn)年。 12:20:2312:20:2312:202/27/2023 12:20:23 PM 1成功就是日復(fù)一日那一點(diǎn)點(diǎn)小小努力的積累。 下午 12時(shí) 20分 23秒 下午 12時(shí) 20分 12:20: 楊柳散和風(fēng)，青山澹吾慮。 2023年 2月 下午 12時(shí) 20分 :20February 27, 2023 1業(yè)余生活要有意義，不要越軌。 12:20:2312:20:2312:20Monday, February 27, 2023 1知人者智，自知者明。 2023年 2月 27日星期一 下午 12時(shí) 20分 23秒 12:20: 1楚塞三湘接，荊門九派通。 2023年 2月 下午 12時(shí) 20分 :20February 27, 2023 1行動(dòng)出成果，工作出財(cái)富。 都有 是二層規(guī)劃（ 1）的一個(gè)可行解，并且對(duì)于任何可行解 靜夜四無(wú)鄰，荒居舊業(yè)貧。如果上層決策者完全知道下層決策者對(duì)他的決策 的反饋函數(shù) ，上層決策者的決策 x的優(yōu)化問(wèn)題等價(jià)于以下規(guī)劃問(wèn)題 x )(x?)}x(y,0x,rByAx|)y,x{(S * ??????稱為二層規(guī)劃的可行解集。上層決策者的決策會(huì)影響下層決策者的決策可行域。 目標(biāo) P P3達(dá)到理想值， P2正偏離理想值 4， P4正偏離理想值 3。第二級(jí)優(yōu)化終止。 x2進(jìn)基， n2離基， 1為主元。