【正文】 10 20 100 p4 n4 總產(chǎn)量（噸） 1 1 1 18 p5 n5 如果將利潤、耗用原料等五個因素作為目標，確定各目標的理想值以及偏差變量如下： 如果目標大于理想值，正偏差變量大于 0，小于理想值，負偏差變量大于 0。這個指標是隨機產(chǎn)生的不同維數(shù)的判斷矩陣的特征根的平均值 計算一致性指標 .（ Consistency Index） 計算一致性比例 .（ Consistency Ratio） .. ?當 . ，認為判斷矩陣的一致性是可以接受的。 Wnwwwnwnwnwnwwww/ww/ww/ww/ww/ww/ww/ww/ww/wWAnnnnnnnnn??????????????????????????????????????????????????????????????????????212121212221212111因此，只要給出判斷矩陣，就可以求出 n個物體的歸一化重量。 ?????????3254A的特征根。最理想的值為 1，最不理想的值為 0，將各決策方案的實際目標值轉化為 0～ 1之間的值。 x1進基， x3離基， z1會改善， z2會變差，回到 Pareto解 C。 x3進基， x2離基，兩個目標同時會變差，回到劣解 A。 x1進基， x4離基， z1會改善， z2將會變差，進到劣解 A。這樣的可行解是多目標規(guī)劃的 Pareto解。 設多目標規(guī)劃的可行域為 ?，設其中的一個可行解 X*∈ ?，它的 K個目標值分別 f1(X*) ， f2(X*)， …… ， fk(X*) 如果對于任意的可行解 X ∈ ?，都至少有一個目標 i，使得 fi(X)fi(X*) 則稱 X*為這個多目標規(guī)劃的一個 Pareto解（也稱為非劣解、有效解）。變化情況如下表：： 多目標規(guī)劃的例子 (2) 允許排放的 污染 (m3) 產(chǎn)品 A產(chǎn)量 （噸） 產(chǎn)品 B產(chǎn)量 （噸） 產(chǎn)品 C產(chǎn)量 （噸） 最大利潤 （萬元） 25 7 5 0 83 19 7 5 0 83 18 6 6 0 78 17 5 7 0 73 16 4 8 0 68 15 3 9 0 63 14 2 10 0 58 13 1 11 0 53 12 0 12 0 48 11 沒有可行解 多目標規(guī)劃的例子 (3) 25 24 23 22 21 19 18 17 16 15 14 13 12 允許排放的污染（ m3） 83 78 73 68 63 58 53 48 最大利潤（萬元） 允許排放的污染和最大利潤之間的關系 排放污染最小和利潤最大兩個目標可以同時實現(xiàn)的區(qū)域 利潤最大化和排放污染最小化雙目標問題的圖示 兩個目標的規(guī)劃問題的劣解和非劣解 第一個目標 第一個目標 z1A z1B z2A z2B N M P P’ A B 劣解 劣解 非劣解 (Pareto解 ) 非劣解 (Pareto解 ) 非劣解集 (Pareto解集 ) 兩個目標都可能實現(xiàn)的區(qū)域 第一個目標取定一個值 z1A，作為約束條件，優(yōu)化第二個目標，得到第二個目標的最優(yōu)值 Z2A，得到 A點?？尚杏騼炔浚ú话ㄟ吔纾┑目尚薪舛际橇咏?。 多目標線性規(guī)劃的 Pareto解集 (2) 用單純形表求解多目標線性規(guī)劃 Pareto解集 雙目標線性規(guī)劃問題為 max z1=3x1+2x2 max z2=x1+2x2 . x1+ x2 ≤6 2x1+ x2 ≤10 x1+2x2 ≤10 x1， x2≥0 標準化問題為 min z1=3x12x2 min z2= x12x2 . x1+ x2+x3 =6 2x1+ x2 +x4 =10 x1+2x2 +x5=10 x1, x2, x3, x4, x5≥0 多目標線性規(guī)劃問題的圖解。對應于 A點。對應于 C點。 多目標線性規(guī)劃單純形表 (6) max z1=3x1+2x2 max z2=x1+2x2 . x1+ x2 ≤6 2x1+ x2 ≤10 x1+2x2 ≤10 x1， x2≥0 目標函數(shù)線性加權： z=?1z1+ ?2z2 0≤?1 ,?2≤1 ?1+ ?2＝ 1 由圖解可以看出，加權以后的單目標問題的最優(yōu)解必定是多目標規(guī)劃的一個 Pareto解。線性加權法的缺點是各目標的權重完全由主觀確定，而權重的選取對決策結果起著十分關鍵的作用。 例如 展開行列式 (4 ?)(3 ?)+10=0， ?2＋ ?－ 2＝ 0 求解二次方程，得到矩陣的特征根 ?1＝ 1， ?2＝－ 2 對于高階矩陣，用行列式計算特征根需要求解高次方程，計算比較復雜，可以采用疊代法。這些數(shù)字的含義為： 數(shù)值 8的意義介于以上表格相鄰兩行的含義之間 與物體的重量之比不同，目標的重要性判斷矩陣可能是不一致（ Inconsistency）的。在一些實際問題中，約束條件是可以突破的，約束條件的右邊常數(shù)并不是變量上限或下限，而是一個希望能夠最接近的目標。 0pnpnpnpnpnxxx18pnxxx100pnx20x10x3026pnx3xx238pnx5x2x4)pn()pn()pn()pn()pn(min554433221132155321443213332122321113214422335511???????????????????????????????????產(chǎn)品 A 產(chǎn)品 B 產(chǎn)品 C 目標的 理想值 正偏差 變量 負偏差 變量 產(chǎn)量（噸） 0 10 0 RHS pi ni 達 到 的 目 標 值 利潤（萬元） 40 77 0 37 耗用原料（噸） 30 38 0 18 排放污染（ m3） 10 26 0 16 銷售價格（萬元） 100 100 0 0 總產(chǎn)量（噸） 10 18 0 8 用單純形法，得到目標規(guī)劃的最優(yōu)解、各目標的值以及偏差變量的值 最優(yōu)解 目標值 偏差變量 目標規(guī)劃的特點 ?可以求解多目標問題。 產(chǎn)品 A 產(chǎn)品 B 產(chǎn)品 C 目標的 理想值 正偏差 變量 負偏差 變量 產(chǎn)量（噸） 0 10 0 RHS pi ni 達 到 的 目 標 值 利潤（萬元） 40 77 0 37 耗用原料（噸） 30 38 0 18 排放污染（ m3） 10 26 0 16 銷售價格（萬元） 100 100 0 0 總產(chǎn)量（噸） 10 18 0 8 確定五個目標的優(yōu)先級 Pi（ Pi=1， 2， 3， 4， 5），數(shù)字越小優(yōu)先級越高 目 標 產(chǎn)品 A 產(chǎn)品 B 產(chǎn)品 C 優(yōu)先級 Pi 目標的 理想值 正偏差 變量 負偏差 變量 利潤（萬元 /噸） 9 4 1 1 77 p1 n1 耗用原料（噸 /噸） 4 2 5 5 38 p2 n2 排放污染（ m3/噸） 2 1 3 3 26 p3 n3 銷售價格（萬元 /噸） 30 10 20 2 100 p4 n4 總產(chǎn)量（噸） 1 1 1 4 18 p5 n5 目標有優(yōu)先級的目標規(guī)劃解法有： ?加權法 ?字典序法 目 標 產(chǎn)品 A 產(chǎn)品 B 產(chǎn)品 C 優(yōu)先級 權重 理想值 正偏差 負偏差 利潤（萬元 /噸） 9 4 1 1 10000 77 p1 n1 耗用原料（噸 /噸） 4 2 5 5 1 38 p2 n2 排放污染（ m3/噸） 2 1 3 3 100 26 p3 n3 銷售價格（萬元 /噸） 30 10 20 2 1000 100 p4 n4 總產(chǎn)量（噸） 1 1 1 4 10 18 p5 n5 目標具有優(yōu)先級的目標規(guī)劃解法 — 加權法 0pnpnpnpnpnxxx18pnxxx100pnx20x10x3026pnx3xx238pnx5x2x4)pn()pn(10)pn(10)pn(10)pn(10min554433221132155321443213332122321113214422332553114?????????????????????????????????????????????產(chǎn)品 A 產(chǎn)品 B 產(chǎn)品 C 理想值 正偏差 負偏差 產(chǎn)量（噸） 0 10 0 RHS pi ni 無 優(yōu) 先 級 利潤（萬元） 40 77 0 37 耗用原料（噸） 30 38 0 18 排放污染（ m3） 10 26 0 16 銷售價格（萬元） 100 100 0 0 總產(chǎn)量（噸） 10 18 0 8 產(chǎn)品 A 產(chǎn)品 B 產(chǎn)品 C 理想值 正偏差 負偏差 產(chǎn)量（噸） 1 0 RHS pi ni 有 優(yōu) 先 級 1 利潤（萬元） 77 77 0 0 5 耗用原料（噸） 38 38 0 0 3 排放污染（ m3） 26 0 2 銷售價格（萬元） 100 0 4 總產(chǎn)量（噸） 18 0 字典序優(yōu)化（ Lexicooptimization） 字典序法的原則是： ?首先不顧其它目標，對優(yōu)先級最高的目標進行優(yōu)化，得到使第一級目標最優(yōu)的決策變量的值以及第一級目標函數(shù)的值； ?然后在不使第一級目標變差的前提下，優(yōu)化第二級目標； ?用同樣的原則，按優(yōu)先級從高到低，依次優(yōu)化各級目標，直至所有目標都優(yōu)化完畢。 p3進基， n1離基， 2為主元。 對第四級目標優(yōu)化， n1進基可以減小 P4的值，但會使 P1增加。為了簡化問題，假設矩陣 A和 B都是行滿秩的，即秩 (A)=秩 (B)=m。 稱這兩個決策是容許的。反饋函數(shù)的分段表達式為 ????????????????????111923442423443162123160412xxxxxx)x(y ?由例 1可以看出，二層規(guī)劃的可行解集 S*不是一個凸集。 12:20:2312:20:2312:20Monday, February 27, 2023 1乍見翻疑夢，相悲各問年。 12:20:2312:20:2312:202/27/2023 12:20:23 PM 1成功就是日復一日那一點點小小努力的積累。 下午 12時 20分 23秒 下午 12時 20分 12:20: 楊柳散和風，青山澹吾慮。 2023年 2月 下午 12時 20分 :20February 27, 2023 1業(yè)余生活要有意義，不要越軌。 12:20:2312:20:2312:20Monday, February 27, 2023 1知人者智，自知者明。 2023年 2月 27日星期一 下午 12時 20分 23秒 12:20: 1楚塞三湘接，荊門九派通。 2023年 2月 下午 12時 20分 :20February 27, 2023 1行動出成果，工作出財富。 都有 是二層規(guī)劃（ 1）的一個可行解，并且對于任何可行解 靜夜四無鄰，荒居舊業(yè)貧。如果上層決策者完全知道下層決策者對他的決策 的反饋函數(shù) ，上層決策者的決策 x的優(yōu)化問題等價于以下規(guī)劃問題 x )(x?)}x(y,0x,rByAx|)y,x{(S * ??????稱為二層規(guī)劃的可行解集。上層決策者的決策會影響下層決策者的決策可行域。 目標 P P3達到理想值， P2正偏離理想值 4， P4正偏離理想值 3。第二級優(yōu)化終止。 x2進基， n2離基， 1為主元。