【正文】 c s c c o t | 。s in tax ?22)2( xa ?可令 。1d d ( ) d d ( )lnc os d d ( si n ) si n d d ( c os )se c d d ( t an ) c sc d d ( c ot )1d d ( ar c si n ) d ( ar c c os )11d d ( ar c t an ) d ( c ot )1nnx x x xx ax bax x x x xnxe x e a x aax x x x x xx x x x x xx x xxx x arc xx???????? ? ?? ? ?? ? ??? ? ??例 5 求 t a n d c o t d .x x x x?? 和s i nt a n d dc o s1d ( c o s ) l n c o s .c o sxx x xxx x Cx?? ? ? ? ????解 c o sc o t d ds i n1d ( s i n ) l n s i n .s i nxx x xxx x Cx?? ? ????t an d l n c osc ot d l n si nx x x Cx x x C? ? ?????例 6 求 221 ??解 221 d xax??222111d xa xa???2111dxaaxa??? ??????? ?????.arc t an1 Caxa ??2211 d a r c t a n xaxCaax ????例 7 求 221 ax??解 221 d a r c s i n xaxCax ????2 2 221 1 1dd11d ar c si n .1xxaaxxaxxCaaxa?? ??? ??????? ? ???????? ???????例 8 求 221 ??解 2211 d l n2axxCa a xax??????? ? ? ?? ?1 1 1 1dd21 1 1dd211l n l n l n .22xxa a x a xaxa x a xa a x a xaxa x a x c Ca a a x???? ????? ????? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?????? ? ? ????? ? ? ? ? ? ? ??????例 9 求 解 （一） 1 ds i n xx? ?c s c d .xx?csc dxx?1222dsi n c osxxx? ?21222dt a n c o sxxx?????????????? 122d t a nt a nxx????????Cx ?? 2t anln .c o tc s cln Cxx ???? ?c s c d l n c s c c o tx x x x C? ? ??解 （二） 1 ds i n xx? ?c s c dxx? 2si n dsi nx xx? ?211 d ( c os )c os xx?? ?? xu c o s?211 d uu?? ??1 1 12 1 1 d uuu??? ? ????????Cuu ???? 11ln21 .c os1c os1ln21 Cxx ????類似地可推出 s e c d l n s e c t a nx x x x C? ? ??例 10 求 2 18 25 ???解 2 18 25 d xxx??? 2149 d() xx? ???22113 413d xx?????????? 21 1 433413dxx???? ?????????????.3 4ar ct an31 Cx ???2211d ar c t an xaxcaax ????例 11 求 1211( ) d .x xexx???解 ,1112xxx ????????? ??1211( ) dx xexx????1 1d ( )x xex x???? .1 Ce xx ?? ?例 12 求 12 3 2 1 ? ? ??原式 ? ? ? ?2 3 2 12 3 2 1 2 3 2 1dxx xx x x x? ? ??? ? ? ? ? ??112 3 2 144 ddx x x x? ? ? ???2 3 2 3 2 1 2 188 d( ) d( )x x x x? ? ? ? ? ?? ? ? ?33112 3 2 1 .1 2 1 2x x C? ? ? ? ?例 13 求 解 2 5 4 2s in c o s d s in c o s d .x x x x x x???? 和.c o ss i n個的提出來湊微分有一個為奇數(shù)時，將單，的解題思路：形如nmx d xx mn?24s in c o s d ( s in )x x x???2 2 2sin ( 1 sin ) d ( sin )x x x? ? ??2 4 6( sin 2 sin sin ) d ( sin )x x x x? ? ??3 5 71 2 1s in s in s in .3 5 7x x x C? ? ? ?25sin c o s dx x x??.22c o s1s i n22c o s1c o sc o ss i n22降冪，用均為偶數(shù)時，的解題思路：形如xxxxnmx d xxmn?????242231 c os 2 1 c os 2si n c os d d221( 1 c os 2 c os 2 c os 2 ) d8xxx x x xx x x x??? ? ? ??? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ????降冪 拆項 xx c osc os 2例 14 求 解 c o s 3 c o s 2 d .x x x?),5c os( c os212c os3c os xxxx ??1c os 3 c os 2 d ( c os c os 5 ) d2x x x x x x????11si n si n 5 .2 10x x C? ? ?.1514 相乘形式都可求，所有三角正弦、余弦，結(jié)合例例 15 求 ? ?? ?? ?sin c os c os sinsin 1ddsin c os 2 sin c osc os sin1dd2 sin c os1ln sin c os .2x x x xxxxx x x xxxxxxxx x x C? ? ?????? ??? ?????? ? ? ?????si n dsi n c osx xxx??? ? ? ? .c o ss i nc o ss i nc o ss i nc o ss i nc o ss i n拆項令的解題思路：形如?????????xBxAnxBxAmxbxadxxBxAxbxa解 例 16求 解 3533tan dtan s e c dds i n c o sd1 c o sxxx x xxxxxx?????2 2 2 2t a n 1 s e c , c o t 1 c s cx x x x? ? ? ?2t an ( se c 1 ) d 。d 。一、第一類換元法 二、第二類換元法 三、小結(jié) 思考題 第二節(jié) 換元積分法 問題 2c o s dxx? ,2s i n)( Cx ??解決方法 利用復(fù)合函數(shù)，設(shè)置中間變量 . 過程 令 xt 2? 12d d ,xt??2c o s dxx? 12 c os dtt? ? Ct ?? s i n21 .2s i n21 Cx ??一、第一類換元法 在一般情況下： 設(shè) ),()( ufuF ?? 則 ( ) d ( ) .f u u F u C???如果 )( xu ?? （可微） d [ ( ) ] [ ( ) ] ( ) dF x f x x x? ? ? ??[ ( ) ] ( ) d [ ( ) ]f x x x F x C? ? ??? ? ??()[ ( ) d ] uxf u u ??? ? 由此可得換元法定理 設(shè) )( uf 具有原函數(shù)，[ ( ) ] ( ) df x x x?? ? ?? ()[ ( ) d ] uxf u u ???第一類換元公式 （ 湊微分法 ） 說明 使用此公式的關(guān)鍵在于將 ( )dg x x? 化為 [ ( ) ] ( ) d .f x x x?? ??注意：觀察點不同，所得結(jié)論不同 . )( xu ?? 可導(dǎo)，則有換元公式定理 1 定理 如何求解？考慮 ? xdx2s i n解 法 1 2s in dxx?1122si n d c ost t t C? ? ? ?? 。 c os d 。.xxxxxxe x x x xxexxeeexdx dxxe???????????湊微分?? ?? )()]([)()]([ xdxfdxxxf ????利用基本積分表的公式把被積函數(shù)中的一部分湊成 中間變量的微分，常見的有： ? ?? ?122221dd11d d d d ( l n | |) 。t anx xxx分 子 分 母 同 除? ? 22d1se c d .222