經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)微積分偏導(dǎo)數(shù)及其在經(jīng)濟(jì)分析中的應(yīng)用-全文預(yù)覽
【正文】 ??yz___ _____ _. 2. 設(shè)?????xzyxezxy則),(_ _____ _。s i n bybeyu ax????,c os222byeaxu ax??? ,c o s222byeby u ax????,s i n2bya b eyx u ax????? .s i n2bya b exy u ax?????定理 如果函數(shù) ),( yxfz ? 的兩個二階混合偏導(dǎo)數(shù)xyz???2及yxz???2在區(qū)域 D 內(nèi)連續(xù)，那 么 在該區(qū)域內(nèi)這兩個二階混合偏導(dǎo)數(shù)必相等． 問題： 混合偏導(dǎo)數(shù)都相等嗎？具備怎樣的條件才相等？ 例 7 驗(yàn)證函數(shù) 22ln),( yxyxu ?? 滿足拉普拉斯方程 .02222?????? yuxu解 ),l n(21ln 2222 yxyx ????,22 yx xxu ????? ,22 yx yyu ????,)()( 2)( 222222222222yxxyyxxxyxxu???????????.)()( 2)( 222222222222yxyxyxyyyxyu??????????22222222222222)()( yxyxyxxyyuxu???????????? .0?四、偏導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)分析中的應(yīng)用 —— 交叉彈性 (cross elastic) 在一元函數(shù)微分學(xué)中 ,我們引出了邊際和彈性的概念 ,來分別表示經(jīng)濟(jì)函數(shù)在一點(diǎn)的變化率和相對變化率 ,這些概念也可以推廣到多元函數(shù)微分學(xué)中去 ,并被賦予了豐富的經(jīng)濟(jì)含義 . 實(shí)例 某種品牌的電視機(jī)營銷人員在開拓市場時(shí) ,除關(guān)心本品牌電視機(jī)的價(jià)格取向外 ,更關(guān)心其他品牌同類型電視機(jī)的價(jià)格情況 ,以決定自己的營銷策略 .即該品牌電視機(jī)的銷量 是它的價(jià)格 和其他品牌電視機(jī)價(jià)格 的函數(shù) . AQAP BP? ?BAA PPfQ ,?AP BP通過分析其邊際 及 可知道 , 隨著 及 變化的規(guī)律 . AQAAPQ??BBPQ??AAAAPQPQ??進(jìn)一步分析其彈性 ,可知這種變化的靈敏度 . BABAPQPQ??及 的彈性對 AA PQ 的彈性對 BA PQ性彈叉交的對BAPQ亦稱為 解 : 15???XYPQ2401015152120 ??????YQ6 2 4 01015 ???????YXXYXY QPPQE則時(shí)商品的交叉彈性．，求當(dāng)，某商品的需求函數(shù)為例15101521208?????YXXYYPPPPQ例 9 隨著我國養(yǎng)雞工廠化的迅速發(fā)展，肉雞價(jià)格會不斷下降。pRTV ??? ?? RpVT 。一、偏導(dǎo)數(shù)的定義及其計(jì)算方法 二、偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義及函數(shù)偏 導(dǎo)數(shù)存在與函數(shù)連續(xù)的關(guān)系 三、高階偏導(dǎo)數(shù) 第二節(jié) 偏導(dǎo)數(shù)及其 在經(jīng)濟(jì)分析中的應(yīng)用 五、小結(jié) 思考題 四、偏導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)分析中的應(yīng)用 交叉彈性 定義 設(shè)函數(shù) ),( yxfz ? 在點(diǎn) ),(00yx 的某一鄰域內(nèi)有定義，當(dāng) y 固定在0y 而 x 在0x 處有增量x? 時(shí)，相應(yīng)地函數(shù)有增量 ),(),(0000yxfyxxf ???， 如果xyxfyxxfx ??????),(),(lim00000存在，則稱此極限為函數(shù) ),( yxfz ? 在點(diǎn) ),(00yx 處對 x 的偏導(dǎo)數(shù) ( p a rt i a l d e ri v a ti v e ) ，記為 一、偏導(dǎo)數(shù)的定義及其計(jì)算法 同理可定義 函數(shù) ),( yxfz ? 在點(diǎn) ),(00 yx處對 y的偏導(dǎo)數(shù)， 為 yyxfyyxfy ??????),(),(lim00000 記為00yyxxyz????，00yyxxyf????，00yyxxyz??或 ),(00 yxf y. 00yyxxxz????，00yyxxxf????，00yyxxxz?? 或 ),( 00 yxf x .如果函數(shù) ),( yxfz ? 在區(qū)域 D 內(nèi)任一點(diǎn)),( yx 處對 x 的偏導(dǎo)數(shù)都存在，那么這個偏導(dǎo)數(shù)就是 x 、 y 的函數(shù)，它就稱為函數(shù) ),( yxfz ? 對自變量 x 的偏導(dǎo)數(shù)， 記作xz??，xf??，xz 或 ),( yxfx.同理可以定義函數(shù) ),( yxfz ? 對自變量 y 的偏導(dǎo)數(shù)，記作yz??，yf??， yz 或 ),( yxf y .偏導(dǎo)數(shù)的概念可以推廣到二元以上函數(shù) 如 在 處 ),( zyxfu ? ),( zx,),(),(lim),(0 xzyxfzyxxfzyxfxx ???????,),(),(lim),(0 yzyxfzyyxfzyxfyy ???????.),(),(lim),(0 zzyxfzzyxfzyxfzz ???????注意： 實(shí)際求 的偏導(dǎo)數(shù)時(shí)，因?yàn)槭冀K只有一個自變量在變動，另一個自變量可看作常量，所以仍舊用一元函數(shù)的微分方法求解 . ),( yxfz ?求解 xf?? 求導(dǎo)數(shù)暫時(shí)看作常量而對把 xyyf?? 求導(dǎo)數(shù)暫時(shí)看作常量而對把 yx例 1 求 22 3 yxyxz ??? 在點(diǎn) )2,1( 處的偏導(dǎo)數(shù)．解 ???xz 。2VRTVp ?????? pRTV 。182 3 xyx ??33xz?? ,62y?xyz???2.196 22 ??? yyxyxz
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