【正文】 ）小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程因為100能被4（或25）整除，所以由整除的性質(zhì)1知，整百的數(shù)都能被4（或25）整除。（4）一個數(shù)的末兩位數(shù)如果能被4（或25）整除，那么這個數(shù)就能被4（或25）整除。利用上面關(guān)于整除的性質(zhì)，我們可以解決許多與整除有關(guān)的問題。性質(zhì)2 如果兩個數(shù)都能被一個自然數(shù)整除，那么這兩個數(shù)的和與差也一定能被這個自然數(shù)整除。問：時鐘一晝夜敲打多少次？。練習(xí)3：（1）2＋4＋6＋?＋200；（2）17＋19＋21＋?＋39；（3）5＋8＋11＋14＋?＋50；（4）3＋10＋17＋24＋?＋101。因此拿了十次后，多了21＋22＋?＋210 ＝2（1＋2＋?＋10）＝255＝110（只）。答：最大三角形的面積是768厘米2，整個圖形由108根火柴擺成。解：（1）最大三角形面積為（1＋3＋5＋?＋15）12 ＝［（1＋15）8247。2＝3340。4＋1＝25，原式=（3＋99）25247。在利用等差數(shù)列求和公式時，有時項數(shù)并不是一目了然的，這時就需要先求出項數(shù)。注意：利用等差數(shù)列求和公式之前，一定要判斷題目中的各個加數(shù)是否構(gòu)成等差數(shù)列。2。后項與前項之差都相等的數(shù)列稱為等差數(shù)列，后項與前項之差稱為公差。于是，小高斯把這道題巧算為（1+100）100247。例4 28657265＝？解：練習(xí)2計算下列各題：62； 97；87； 39；62； 607；607； 6085。在計算多位數(shù)的“同補”型乘法時，例1的方法仍然適用。例如，因為被乘數(shù)與乘數(shù)的綠藤星教育（***）小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程前兩位數(shù)相同，都是70，后兩位數(shù)互補，77＋23＝100，所以是“同補”型。當(dāng)被乘數(shù)和乘數(shù)多于兩位時，情況會發(fā)生什么變化呢？我們先將互補的概念推廣一下。（1）由乘法分配律和結(jié)合律，得到7838 ＝（70＋8）（30＋8）＝（70＋8）30＋（70＋8）8 ＝7030+830＋708＋88 ＝7030＋8（30＋70）＋88 ＝73100＋8100＋88 ＝（73＋8）100＋88。于是，我們得到下面的速算式：（2）與（1）類似可得到下面的速算式：由例1看出，在“頭相同、尾互補”的兩個兩位數(shù)乘法中，積的末兩位數(shù)是兩個因數(shù)的個位數(shù)之積（不夠兩位時前面補0，如19＝09），積中從百位起前面的數(shù)是被乘數(shù)（或乘數(shù)）的十位數(shù)與十位數(shù)加1的乘積。7278的被乘數(shù)與乘數(shù)的十位數(shù)字相同、個位數(shù)字互補，這類式子我們稱為“頭相同、尾互補”型；2686的被乘數(shù)與乘數(shù)的十位數(shù)字互補、個位數(shù)字相同，這類式子我們稱為“頭互補、尾相同”型。6.（1）2156；（2）3630；（3）627；（4）3608；（5）1221；（6）4554。：（1）7728；（2）6655；（3）3319；（4）8244；（5）3733；（6）4699。求這批麥苗的平均高度。例6 7791＝？解：由例3的解法得到 綠藤星教育（***）小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程由上式看出，當(dāng)兩個因數(shù)的個位數(shù)之積是一位數(shù)時，應(yīng)在十位上補一個0，本例為71＝07。這幾道算式具有一個共同特點，兩個因數(shù)都是兩位數(shù)，一個因數(shù)的十位數(shù)與個位數(shù)相同，另一因數(shù)的十位數(shù)與個位數(shù)之和為10。解：9932=993993＝（993＋7）（9937）+72＝1000986＋49＝986000＋49＝986049。由湊整補零法計算352，得3535＝4030＋52=1225。由上例看出，因為29比30少1，所以給29“補”1，這叫“補少”；因為82比80多2，所以從82中“移走”2，這叫“移多”。下面通過例題來說明這一方法。求一位數(shù)的平方，在乘法口訣的九九表中已經(jīng)被同學(xué)們熟知，如77＝49（七七四十九）。求平均每塊麥田的產(chǎn)量。加數(shù)的個數(shù)。例1所用的方法叫做加法的基準數(shù)法。我們可以選擇一個適當(dāng)?shù)臄?shù)作“基準”，比如以“80”作基準，這10個數(shù)與80的差如下：6，2，3，3，11，6，12，11，4，5，其中“”號表示這個數(shù)比80小。例1 四年級一班第一小組有10名同學(xué)，某次數(shù)學(xué)測驗的成績（分數(shù)）如下：86，78，77，83，91，74，92，69，84，75。第一篇：小學(xué)數(shù)學(xué)奧數(shù)教案綠藤星教育（***）小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程第1講 速算與巧算（一）第2講 速算與巧算（二）第3講 高斯求和第4講 4，8，9整除的數(shù)的特征 第5講 棄九法第6講 數(shù)的整除性（二）第7講 找規(guī)律（一）第8講 找規(guī)律（二）第9講 數(shù)字謎（一）第10講 數(shù)字謎（二）第11講 歸一問題與歸總問題 第12講 年齡問題第13講 雞兔同籠問題與假設(shè)法 第14講 盈虧問題與比較法（一）第15講 盈虧問題與比較法（二）第16講 數(shù)陣圖（一）第17講 數(shù)陣圖（二）第18講 數(shù)陣圖（三）第19將 乘法原理 第20講 加法原理（一）第21講 加法原理（二）第22講 還原問題（一）第23講 還原問題（二）第24講 頁碼問題 第25講 智取火柴 第26講 邏輯問題（一）第27講 邏輯問題（二）第28講 最不利原則 第29講 抽屜原理（一）第30講 抽屜原理（二）綠藤星教育（***）小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程第1講 速算與巧算（一）計算是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，小學(xué)生要學(xué)好數(shù)學(xué)，必須具有過硬的計算本領(lǐng)。求這10名同學(xué)的總分。于是得到總和=8010＋（623＋3＋116+1211+45）＝800＋9＝809。這種方法適用于加數(shù)較多，而且所有的加數(shù)相差不大的情況。在使用基準數(shù)法時，應(yīng)選取與各數(shù)的差較小的數(shù)作為基準數(shù)，這樣才容易計算累計差。解：選基準數(shù)為450，則累計差=12＋30－7－30＋23－21＋18－11＋25＋11＝50，平均每塊產(chǎn)量=450＋50247。對于兩位數(shù)的平方，大多數(shù)同學(xué)只是背熟了10～20的平方，而21～99的平方就不大熟悉了。例3 求292和822的值。因為是兩個相同數(shù)相乘，所以對其中一個數(shù)“移多補少”后，還需要在另一個數(shù)上“找齊”。這與三年級學(xué)的個位數(shù)是5的數(shù)的平方的速算方法結(jié)果相同。20042=20042004＝（20044）（2004+4）＋42＝20002008＋16＝4016000＋16＝4016016。這類算式有非常簡便的速算方法。用這種速算法只需口算就可以方便地解答出這類兩位數(shù)的乘法計算。，他們加工零件的個數(shù)分別為：68，91，84，75，78，81，83，72，79。練習(xí)1 答案。第2講 速算與巧算（二）上一講我們介紹了一類兩位數(shù)乘法的速算方法，這一講討論乘法的“同補”與“補同”速算法。計算這兩類題目，有非常簡捷的速算方法，分別稱為“同補”速算法和“補同”速算法?！巴a”速算法簡單地說就是： 積的末兩位是“尾尾”，前面是“頭（頭+1）”。于是，我們得到下面的速算式：（2）與（1）類似可得到下面的速算式：由例2看出，在“頭互補、尾相同”的兩個兩位數(shù)乘法中，積的末兩位數(shù)是兩個因數(shù)的個位數(shù)之積（不夠兩位時前面補0，如33＝09），積中從百位起前面的數(shù)是兩個因數(shù)的十位數(shù)之積加上被乘數(shù)（或乘數(shù)）的個位數(shù)。當(dāng)兩個數(shù)的和是10，100，1000，?時，這兩個數(shù)互為補數(shù)，簡稱互補。又如，等都是“同補”型。例3（1）702708=？（2）17081792＝？ 解：（1）（2）計算多位數(shù)的“同補”型乘法時，將“頭（頭+1）”作為乘積的前幾位，將兩個互補數(shù)之積作為乘積的后幾位。第3講 高斯求和德國著名數(shù)學(xué)家高斯幼年時代聰明過人，上學(xué)時，有一天老師出了一道題讓同學(xué)們計算：1＋2＋3＋4＋?＋99＋100＝？老師出完題后，全班同學(xué)都在埋頭計算，小高斯卻很快算出答案等于5050。2＝5050。例如：（1）1，2，3，4，5，?，100；（2）1，3，5，7，9，?，99；（3）8，15，22，29，36，?，71。例1 1＋2＋3＋?＋1999＝？分析與解：這串加數(shù)1，2，3，?，1999是等差數(shù)列，首項是1，末項是1999，共有1999個數(shù)。例2 11＋12＋13＋?＋31＝？分析與解：這串加數(shù)11，12，13，?，31是等差數(shù)列，首項是11，末項是31，共有3111＋1＝21（項）。根據(jù)首項、末項、公差的關(guān)系，可以得到 項數(shù)=（末項首項）247。2＝1275。利用等差數(shù)列求和公式及求項數(shù)和末項的公式，可以解決各種與等差數(shù)列求和有關(guān)的問題。2］12 ＝768（厘米2）。例6 盒子里放有三只乒乓球，一位魔術(shù)師第一次從盒子里拿出一只球，將它變成3只球后放回盒子里；第二次又從盒子里拿出二只球，將每只球各變成3只球后放回盒子里??第十次從盒子里拿出十只球，將每只球各變成3只球后放回到盒子里。加上原有的3只球，盒子里共有球110＋3＝113（只）。，末項是93，公差是4的等差數(shù)列的和。，十位數(shù)比個位數(shù)大的數(shù)共有多少個？第四講我們在三年級已經(jīng)學(xué)習(xí)了能被2，3，5整除的數(shù)的特征，這一講我們將討論整除的性質(zhì)，并講解能被4，8，9整除的數(shù)的特征。例如，21與15都能被3整除，那么21＋15及2115都能被3整除。為了進一步學(xué)習(xí)數(shù)的整除性，我們把學(xué)過的和將要學(xué)習(xí)的一些整除的數(shù)字特征列出來：（1）一個數(shù)的個位數(shù)字如果是0，2，4，6，8中的一個，那么這個數(shù)就能被2整除。（5）一個數(shù)的末三位數(shù)如果能被8（或125）整除，那么這個數(shù)就能被8（或125）整除。因為任何自然數(shù)都能分成一個整百的數(shù)與這個數(shù)的后兩位數(shù)之和，所以由整除的性質(zhì)2知，只要這個數(shù)的后兩位數(shù)能被4（或25）整除，這個數(shù)就能被4（或25）整除。837＝800＋30＋7 ＝8100＋310＋7 ＝8（99＋1）＋3（9＋1）＋7 ＝899＋8＋39＋3＋7 ＝（899＋39）＋（8＋3＋7）。（5＇）一個數(shù)除以8的余數(shù)，與它的末三位除以8的余數(shù)相同。綠藤星教育（***）小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程例2 在四位數(shù)56□2中，被蓋住的十位數(shù)分別等于幾時，這個四位數(shù)分別能被9，8，4整除？解：如果56□2能被9整除，那么5＋6＋□＋2＝13＋□應(yīng)能被9整除，所以當(dāng)十位數(shù)是5，即四位數(shù)是5652時能被9整除；如果56□2能被8整除，那么6□2應(yīng)能被8整除，所以當(dāng)十位數(shù)是3或7，即四位數(shù)是5632或5672時能被8整除；如果56□2能被4整除，那么□2應(yīng)能被4整除，所以當(dāng)十位數(shù)是1，3，5，7，9，即四位數(shù)是5612，5632，5652，5672，5692時能被4整除。同理，判斷一個數(shù)能否被12整除，只需判斷這個數(shù)能否同時被3和4整除；判斷一個數(shù)能否被72整除，只需判斷這個數(shù)能否同時被8和9整除；如此等等。例4 五位數(shù)分析與解：已知以能被72整除，問：A與B各代表什么數(shù)字？能被72整除。在這個范圍內(nèi)只有27能被9整除，所以A＝7。由六位數(shù)能被2整除，推知A可取0，2，4，6，8這五個值。例6 要使六位數(shù)表什么數(shù)字？分析與解：因為36＝49，且4與9互質(zhì)，所以這個六位數(shù)應(yīng)既能被4整除又能被9整除。先試取A=0。當(dāng)A=0，B=1，C＝5時，六位數(shù)能被36整除，而且所得商最小，為150156247。5．有一個能被24整除的四位數(shù)□23□，這個四位數(shù)最大是幾？最小是幾？6．從0，2，3，6，7這五個數(shù)碼中選出四個，可以組成多少個可以被8整除的沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)？7．在123的左右各添一個數(shù)碼，使得到的五位數(shù)能被72整除。但是，當(dāng)一個數(shù)的數(shù)位較多時，這種計算麻煩且易錯。利用棄九法可以計算一個數(shù)的九余數(shù)，還可以檢驗四則運算的正確性。口算知，7，6，5的和是9的倍數(shù)，又可劃掉，只剩下1。在1～99這九十九個數(shù)中，個位數(shù)有十組1，2，3，?，9，都可劃掉；十位數(shù)也有十組1，2，3，?，9，也都劃掉。本題還有其它簡捷的解法。因此題中的數(shù)除以9余1。上式中，三個加數(shù)的九余數(shù)依次為8，4，6，8+4+6的九余數(shù)為0；和的九余數(shù)為1。如果不等，那么這個減綠藤星教育（***）小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程法計算肯定不正確。值得注意的是，這里我們用的是“可能正確”。分析與解：兩個因數(shù)的九余數(shù)相乘，所得的數(shù)的九余數(shù)應(yīng)當(dāng)?shù)扔趦蓚€因數(shù)的乘積的九余數(shù)。6≠7，所以這個算式不正確。練習(xí)51．求下列各數(shù)除以9的余數(shù)：（1）7468251；（2）36298745；（3）2657348；（4）6678254193。6789＝83810105。一個數(shù)從右邊數(shù)起，第1，3，5，?位稱為奇數(shù)位，第2，4，6，?位稱為偶數(shù)位。分析與解：奇數(shù)位上的數(shù)字之和為1＋3＋6＋3=13，偶數(shù)位上的數(shù)字之和為8＋9＋7=24，因為2413=11能被11整除，所以1839673能被11整除。例2 求下列各數(shù)除以11的余數(shù)：（1）41873；（2）296738185。（2）奇數(shù)位之和為2＋6＋3＋1＋5=17，偶數(shù)位之和為9＋7＋8＋8＝32。如上題（2）中，（3217）247。（91001101）247。所以例3相當(dāng)于求最后三位數(shù)191除以11的余數(shù)。分析與解：最大的沒有重復(fù)數(shù)字的九位數(shù)是987654321，由（9＋7＋5＋3＋1）（8＋6＋4＋2）＝5知，987654321不能被11整除。所求數(shù)為987652413。又因為六位數(shù)能被11整除，所以（A＋8＋5）－（2＋7＋B）綠藤星教育（***）小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程＝AB＋4應(yīng)能被11整除，即AB+4=0或AB+4=11。將B=9代入A＋B=14，得A＝5。5．求6．六位數(shù)除以11的余數(shù)。這一講重點學(xué)習(xí)具有“周期性”變化規(guī)律的問題。下面，我們通過一些例題作進一步講解。（1）100247。綠藤星教育（***）小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程例2 有一串?dāng)?shù)，任何相鄰的四個數(shù)之和都等于25。同理，第2，6，10，14，?個數(shù)都相同，第3，7，11，15，?個數(shù)都相同，第4，8，12，16?個數(shù)都相同。這串?dāng)?shù)按照3，6，7，9的順序循環(huán)出現(xiàn)。例3 下面這串?dāng)?shù)的規(guī)律是：從第3個數(shù)起，每個數(shù)都是它前面兩個數(shù)之和的個位數(shù)。20=4??