【正文】 5050除以9余1。例5 檢驗(yàn)下面的乘法算式是否正確：468769537＝447156412。第6講 數(shù)的整除性（二）這一講主要講能被11整除的數(shù)的特征。需要說明的是，當(dāng)奇數(shù)位數(shù)字之和遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于偶數(shù)位數(shù)字之和時(shí)，為了計(jì)算方便，也可以用偶數(shù)位數(shù)字之和減去奇數(shù)位數(shù)字之和，再除以11，所得余數(shù)與11的差即為所求。此時(shí)，4，3在奇數(shù)位，2，1在偶數(shù)位，后四位最大是2413。第7講 找規(guī)律（一）我們?cè)谌昙?jí)已經(jīng)見過“找規(guī)律”這個(gè)題目，學(xué)習(xí)了如何發(fā)現(xiàn)圖形、數(shù)表和數(shù)列的變化規(guī)律。進(jìn)一步可推知，第1，5，9，13，?個(gè)數(shù)都相同。那么在這串?dāng)?shù)中，能否出現(xiàn)相鄰的四個(gè)數(shù)是“2000”？***7134?分析與解：無休止地將這串?dāng)?shù)寫下去，顯然不是聰明的做法。因?yàn)榉e的個(gè)位數(shù)只與被乘數(shù)的個(gè)位數(shù)和乘數(shù)的個(gè)位數(shù)有關(guān)，所以an的個(gè)位數(shù)只與a的個(gè)位數(shù)有關(guān)，而a的個(gè)位數(shù)只有0，1，2，?，9共十種情況，故我們只需討論這十種情況。最后得到291+3291的個(gè)位數(shù)字與8+7的個(gè)位數(shù)字相同，等于5。3的余數(shù)的規(guī)律，先將5的各次方除以3的余數(shù)列表如下：注意：表中除以3的余數(shù)并不需要計(jì)算出5n，然后再除以3去求，而是用上次的余數(shù)乘以5后，再除以3去求。7的余數(shù)相同，等于2。42=20。對(duì)于（1），還剩3，6，7，8，9五個(gè)數(shù)字未填，減式只能是93，此時(shí)除式無法滿足；對(duì)于（2），還剩3，5，6，7，9五個(gè)數(shù)字未填，減式只能是93，此時(shí)除式可填56247。65=15；（2）46+24247。由于被減數(shù)是四位數(shù)，減數(shù)是三位數(shù)，差是兩位數(shù)，所以減數(shù)的百位應(yīng)填9，被減數(shù)的千位應(yīng)填1，百位應(yīng)填0，且十位相減時(shí)必須向百位借1。由千、百、十、個(gè)位上都有“努”，54324444=988，可將豎式簡(jiǎn)化為左下式。7＝142857，符合題意。根據(jù)除法豎式的特點(diǎn)知，B=0，D=G=1，E=F=H=9，因此除數(shù)應(yīng)是99的兩位數(shù)的約數(shù)，可能取值有11，33和99，再由商的個(gè)位數(shù)是5以及5與除數(shù)的積是兩位數(shù)得到除數(shù)是11，進(jìn)而知A＝C9。例1 一種鋼軌，4根共重1900千克，現(xiàn)在有95000千克鋼，可以制造這種鋼軌多少根？（損耗忽略不計(jì)）分析：以一根鋼軌的重量為單一量。7）815=2160（千克）。問：需要增加同樣的卡車多少輛？ 分析與解：以1輛卡車1趟運(yùn)的沙土為單一量。（2）12個(gè)人完成這項(xiàng)工程需要多少小時(shí)？120247。（2）60人工作20天后，還剩下多少勞動(dòng)日？48006020=3600（勞動(dòng)日）。例1 兒子今年10歲，5年前母親的年齡是他的6倍，母親今年多少歲？ 分析與解：兒子今年10歲，5年前的年齡為5歲，那么5年前母親的年齡為56＝30（歲），因此母親今年是30＋5=35（歲）。2＝48（歲），妹[（97——2——8）（4＋5）]247。例8 今年?duì)敔?8歲，長(zhǎng)孫27歲，次孫23歲，三孫16歲。如果我們以同樣數(shù)量的兔去換同樣數(shù)量的雞，那么每換一只，頭的數(shù)目不變，腳數(shù)增加了2只?，F(xiàn)在以小和尚去換大和尚，每換一個(gè)總?cè)藬?shù)不變，而饃就要減少3——1＝2（個(gè)），因?yàn)?60247。答：有雞70只，兔30只。綠藤星教育（***）小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程例7 樂樂百貨商店委托搬運(yùn)站運(yùn)送500只花瓶，但如果發(fā)生損壞，那么每打破一只不僅不給運(yùn)費(fèi)。（2＋3＋3）＝90（下），小樂一共跳了903=270（下），因此小喜比小樂共多跳780——2702＝240（下）。由此可求出這批鋼材有多少噸。綠藤星教育（***）小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程現(xiàn)在以兔換雞，每換一只，雞腳減少2只，兔腳增加4只，即雞腳比兔腳多的腳數(shù)中就會(huì)減少4＋2＝6（只），而180247。例2 100個(gè)和尚140個(gè)饃，大和尚1人分3個(gè)饃，小和尚1人分1個(gè)饃?！蹦隳芩愠鰟⒗蠋熡卸嗌贇q嗎？第13講 雞兔同籠問題與假設(shè)法 綠藤星教育（***）小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程雞兔同籠問題是按照題目的內(nèi)容涉及到雞與兔而命名的，它是一類有名的中國(guó)古算題。（4－2）－20＝10（歲），父親今年的年齡為104＝40（歲）。(3+2)3=33(歲)。供暖40天后，由于進(jìn)行了技術(shù)改造。4——60＝15（千米）。54＝3（輛）。）247。7＝18（千克）。求出下列各式： 綠藤星教育（***）小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程4．在下列各算式中，相同的字母代表相同的數(shù)字，不同的字母代表不同的數(shù)字。綠藤星教育（***）小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程此類乘法豎式題應(yīng)根據(jù)已給出的數(shù)字、乘法及加法的進(jìn)位情況，先填比較容易的未知數(shù)，再依次填其余未知數(shù)。666666247。綠藤星教育（***）小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程如果“學(xué)”＝7，那么要使三個(gè)“數(shù)”所代表的數(shù)字相加再加上個(gè)位進(jìn)位的2，和的個(gè)位數(shù)字為8，“數(shù)”只能代表數(shù)字2。第10講 數(shù)字謎（二）例1 把下面算式中缺少的數(shù)字補(bǔ)上：分析與解：一個(gè)四位數(shù)減去一個(gè)三位數(shù)，差是一個(gè)兩位數(shù)，也就是說被減數(shù)與減數(shù)相差不到100。于是得到A=9，C=8，D=7，H=6，B=1，E=2，F(xiàn)=3，G=4，其中C與D，E與F的值可互換。例4 將1～9九個(gè)數(shù)字分別填入下面四個(gè)算式的九個(gè)□中，使得四個(gè)等式都成立：□+□=6，□□=8，□□=6，□□247。分析：等式右邊是20，而等式左邊算式中的78所得的積比20大得多。7的余數(shù)以六個(gè)數(shù)為周期循環(huán)出現(xiàn)。因?yàn)?0a能被5整除，所以7855除以5的余數(shù)是2。分析與解：因?yàn)?n的個(gè)位數(shù)字按2，4，8，6四個(gè)數(shù)的順序循環(huán)出現(xiàn)，91247。這列數(shù)中第88個(gè)數(shù)是幾？5．小明按1～3報(bào)數(shù)，小紅按1～4報(bào)數(shù)。由88247。12=12??6，前150盞燈共有12個(gè)周期零6盞燈，12個(gè)周期中有藍(lán)燈412＝48（盞），最后的6盞燈中有1盞藍(lán)燈，所以共有藍(lán)燈48＋1=49（盞）。4．求下列各數(shù)除以11的余數(shù)：（1）2485；（2）63582；（3）987654321。例5 用1～9九個(gè)數(shù)碼組成能被11整除的沒有重復(fù)數(shù)字的最大九位數(shù)。11＝0??7，所以41873除以11的余數(shù)是7。6236＝3748；（4）12345247。因?yàn)?＝6，所以這個(gè)減法運(yùn)算可能正確。在上面的解法中，并沒有計(jì)算出這個(gè)數(shù)各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字和，而是利用棄九法分析求解。綠藤星教育（***）小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程例如，3645732這個(gè)數(shù)，各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和為3＋6＋4＋5＋7＋3＋2＝30，30被9除余3，所以3645732這個(gè)數(shù)不能被9整除，且被9除后余數(shù)為3。由于B可以取4個(gè)值，A可以取5個(gè)值，題目沒有要求A≠B，所以符合條件的六位數(shù)共有54＝20（個(gè)）。例如，判斷一個(gè)數(shù)能否被6整除，因?yàn)?＝23，2與3互質(zhì)，所以如果這個(gè)數(shù)既能被2整除又能被3整除，那么根據(jù)整除的性質(zhì)3，可判定這個(gè)數(shù)能被6整除。綠藤星教育（***）小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程因?yàn)?00能被4（或25）整除，所以由整除的性質(zhì)1知，整百的數(shù)都能被4（或25）整除。問：時(shí)鐘一晝夜敲打多少次？。解：（1）最大三角形面積為（1＋3＋5＋?＋15）12 ＝［（1＋15）8247。注意：利用等差數(shù)列求和公式之前，一定要判斷題目中的各個(gè)加數(shù)是否構(gòu)成等差數(shù)列。例4 28657265＝？解：練習(xí)2計(jì)算下列各題：62； 97；87； 39；62； 607；607； 6085。（1）由乘法分配律和結(jié)合律，得到7838 ＝（70＋8）（30＋8）＝（70＋8）30＋（70＋8）8 ＝7030+830＋708＋88 ＝7030＋8（30＋70）＋88 ＝73100＋8100＋88 ＝（73＋8）100＋88。：（1）7728；（2）6655；（3）3319；（4）8244；（5）3733；（6）4699。解：9932=993993＝（993＋7）（9937）+72＝1000986＋49＝986000＋49＝986049。求一位數(shù)的平方，在乘法口訣的九九表中已經(jīng)被同學(xué)們熟知，如77＝49（七七四十九）。我們可以選擇一個(gè)適當(dāng)?shù)臄?shù)作“基準(zhǔn)”，比如以“80”作基準(zhǔn)，這10個(gè)數(shù)與80的差如下：6，2，3，3，11，6，12，11，4，5，其中“”號(hào)表示這個(gè)數(shù)比80小。于是得到總和=8010＋（623＋3＋116+1211+45）＝800＋9＝809。對(duì)于兩位數(shù)的平方，大多數(shù)同學(xué)只是背熟了10～20的平方，而21～99的平方就不大熟悉了。20042=20042004＝（20044）（2004+4）＋42＝20002008＋16＝4016000＋16＝4016016。練習(xí)1 答案。于是，我們得到下面的速算式：（2）與（1）類似可得到下面的速算式：由例2看出，在“頭互補(bǔ)、尾相同”的兩個(gè)兩位數(shù)乘法中，積的末兩位數(shù)是兩個(gè)因數(shù)的個(gè)位數(shù)之積（不夠兩位時(shí)前面補(bǔ)0，如33＝09），積中從百位起前面的數(shù)是兩個(gè)因數(shù)的十位數(shù)之積加上被乘數(shù)（或乘數(shù)）的個(gè)位數(shù)。第3講 高斯求和德國(guó)著名數(shù)學(xué)家高斯幼年時(shí)代聰明過人，上學(xué)時(shí)，有一天老師出了一道題讓同學(xué)們計(jì)算：1＋2＋3＋4＋?＋99＋100＝？老師出完題后，全班同學(xué)都在埋頭計(jì)算，小高斯卻很快算出答案等于5050。例2 11＋12＋13＋?＋31＝？分析與解：這串加數(shù)11，12，13，?，31是等差數(shù)列，首項(xiàng)是11，末項(xiàng)是31，共有3111＋1＝21（項(xiàng)）。2］12 ＝768（厘米2）。，十位數(shù)比個(gè)位數(shù)大的數(shù)共有多少個(gè)？第四講我們?cè)谌昙?jí)已經(jīng)學(xué)習(xí)了能被2，3，5整除的數(shù)的特征，這一講我們將討論整除的性質(zhì)，并講解能被4，8，9整除的數(shù)的特征。因?yàn)槿魏巫匀粩?shù)都能分成一個(gè)整百的數(shù)與這個(gè)數(shù)的后兩位數(shù)之和，所以由整除的性質(zhì)2知，只要這個(gè)數(shù)的后兩位數(shù)能被4（或25）整除，這個(gè)數(shù)就能被4（或25）整除。同理，判斷一個(gè)數(shù)能否被12整除，只需判斷這個(gè)數(shù)能否同時(shí)被3和4整除；判斷一個(gè)數(shù)能否被72整除，只需判斷這個(gè)數(shù)能否同時(shí)被8和9整除；如此等等。例6 要使六位數(shù)表什么數(shù)字？分析與解：因?yàn)?6＝49，且4與9互質(zhì)，所以這個(gè)六位數(shù)應(yīng)既能被4整除又能被9整除。但是，當(dāng)一個(gè)數(shù)的數(shù)位較多時(shí)，這種計(jì)算麻煩且易錯(cuò)。本題還有其它簡(jiǎn)捷的解法。值得注意的是，這里我們用的是“可能正確”。6789＝83810105。（2）奇數(shù)位之和為2＋6＋3＋1＋5=17，偶數(shù)位之和為9＋7＋8＋8＝32。分析與解：最大的沒有重復(fù)數(shù)字的九位數(shù)是987654321，由（9＋7＋5＋3＋1）（8＋6＋4＋2）＝5知，987654321不能被11整除。5．求6．六位數(shù)除以11的余數(shù)。綠藤星教育（***）小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程例2 有一串?dāng)?shù)，任何相鄰的四個(gè)數(shù)之和都等于25。20=4??8知，第88個(gè)數(shù)與第8個(gè)數(shù)相同，所以第88個(gè)數(shù)是4。兩人以同樣的速度同時(shí)開始報(bào)數(shù)，當(dāng)兩人都報(bào)了100個(gè)數(shù)時(shí)，有多少次兩人報(bào)的數(shù)相同？6．A，B，C，D四個(gè)盒子中依次放有9，6，3，0個(gè)小球。4＝22??3，所以，291的個(gè)位數(shù)字與23的個(gè)位數(shù)字相同，等于8。（2）因?yàn)閍247。由20247。因此必須設(shè)法使這個(gè)積縮小一定的倍數(shù)，化大為小?！?8。將它們代入算式，得到[9247。四位數(shù)與三位數(shù)相差不到100，三位數(shù)必然大于900，四位數(shù)必然小于1100。百位上兩個(gè)7相加要向千位進(jìn)位1，由此可得“我”代表數(shù)字3。4得不到整數(shù)商，不合題意。有時(shí)某未知數(shù)有幾種可能取值，需逐一試驗(yàn)決定取舍。這些算式中各字母分別代表什么數(shù)字？第11講 歸一問題與歸總問題在解答某些應(yīng)用題時(shí)，常常需要先找出“單一量”，然后以這個(gè)“單一量”為標(biāo)準(zhǔn)，根據(jù)其它條件求出結(jié)果。（2）8頭奶牛15天可產(chǎn)牛奶多少千克？18815＝2160（千克）。8=10（時(shí)）。與歸一問題類似的是歸總問題，歸一問題是找出“單一量”，而歸總問題是找出“總量”，再根據(jù)其它條件求出結(jié)果。答：每小時(shí)需要多行15千米。問：這些煤共可以供暖多少天？第12講 年齡問題年齡問題是一類以“年齡為內(nèi)容”的數(shù)學(xué)應(yīng)用題。綠藤星教育（***）小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程例5 哥哥5年前的年齡與妹妹4年后的年齡相等，哥哥2年后的年齡與妹妹8年后的年齡和為97歲，請(qǐng)問二人今年各多少歲？分析與解：由“哥哥5年前的年齡與妹妹4年后的年齡相等”可知兄妹二人的年齡差為“4＋5”歲。解法二：如果用1段線表示兒子今年的年齡，那么父親今年的年齡要用4段線來表示（見下圖）。許多小學(xué)算術(shù)應(yīng)用題，都可以轉(zhuǎn)化為雞兔同籠問題來加以計(jì)算。問：大、小和尚各有多少人？ 綠藤星教育（***）小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程分析與解：本題由中國(guó)古算名題“百僧分饃問題”演變而得。6＝30，因此有兔子30只，雞100——30＝70（只）。解：436247。練習(xí)131．雞、兔共有頭100個(gè)，腳350只，雞、兔各有多少只？2．學(xué)校有象棋、跳棋共26副，2人下一副象棋，6人下一副跳棋，恰好可供120個(gè)學(xué)生進(jìn)行活動(dòng)。答：這批鋼材有720噸。（2＋4）＝30（只），有雞100——30=70（只）。假設(shè)100人全是大和尚，那么共需饃300個(gè)，比實(shí)際多300－140＝160（個(gè)）。問：小梅家的雞與兔各有多少只？分析：假設(shè)16只都是雞，那么就應(yīng)該有216＝32（只）腳，但實(shí)際上有44只腳，比假設(shè)的情況多了4432＝12（只）腳，出現(xiàn)這種情況的原因是把兔當(dāng)作雞了。由1段＋20=2段＋10，求得1段是10歲，即兒子今年10歲，從而父親今年40歲。由“和差問題”解得，兄[（97——2——8）＋（4＋5）]247。根據(jù)題目的條件，我們常將年齡問題化為“差倍問題”、“和差問題”、“和倍問題”進(jìn)行求解。現(xiàn)在工作20天后，又增加了30人，這樣剩下的部分再用多少天可以完成？分析：（1）修這條公路共需要多少個(gè)勞動(dòng)日（總量）？6080＝4800（勞動(dòng)日）。例5 一項(xiàng)工程，8個(gè)人工作15時(shí)可以完成，如果12個(gè)人工作，那么多少小時(shí)可以完成？分析：（1）工程總量相當(dāng)于1個(gè)人工作多少小時(shí)？158＝120（時(shí)）?，F(xiàn)在有沙土420噸，要求5趟運(yùn)完。5247。所謂“單一量”是指單位時(shí)間的工作量、物品的單價(jià)、單位面積的產(chǎn)量、單位時(shí)間所走的路程等。分析與解：把左上式改寫