【正文】 時代聰明過人，上學(xué)時，有一天老師出了一道題讓同學(xué)們計算：1＋2＋3＋4＋?＋99＋100＝？老師出完題后，全班同學(xué)都在埋頭計算，小高斯卻很快算出答案等于5050。在計算多位數(shù)的“補同”型乘法時，如果“補”與“同”，即“頭”與“尾”的位數(shù)相同，那么例2的方法仍然適用（見例4）；如果“補”與“同”的位數(shù)不相同，那么例2的方法不再適用，因為沒有簡捷實用的方法，所以就不再討論了。例3（1）702708=？（2）17081792＝？ 解：（1）（2）計算多位數(shù)的“同補”型乘法時，將“頭（頭+1）”作為乘積的前幾位，將兩個互補數(shù)之積作為乘積的后幾位。例如，等都是“補同”型。又如，等都是“同補”型。在一個乘法算式中，當(dāng)被乘數(shù)與乘數(shù)前面的幾位數(shù)相同，后面的幾位數(shù)互補時，這個算式就是“同補”型，即“頭相同，尾互補”型。當(dāng)兩個數(shù)的和是10，100，1000，?時，這兩個數(shù)互為補數(shù)，簡稱互補。例1和例2介紹了兩位數(shù)乘以兩位數(shù)的“同補”或“補同”形式的速算法。于是，我們得到下面的速算式：（2）與（1）類似可得到下面的速算式：由例2看出，在“頭互補、尾相同”的兩個兩位數(shù)乘法中，積的末兩位數(shù)是兩個因數(shù)的個位數(shù)之積（不夠兩位時前面補0，如33＝09），積中從百位起前面的數(shù)是兩個因數(shù)的十位數(shù)之積加上被乘數(shù)（或乘數(shù)）的個位數(shù)。例2（1）7838＝？（2）4363＝？分析與解：本例兩題都是“頭互補、尾相同”類型?！巴a”速算法簡單地說就是： 積的末兩位是“尾尾”，前面是“頭（頭+1）”。（1）由乘法分配律和結(jié)合律，得到 7674 ＝（70＋6）（70+4）＝（70＋6）70＋（70＋6）4＝7070＋670＋704＋64 ＝70（70＋6＋4）＋64 ＝70（70＋10）＋64 綠藤星教育（***）小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程＝7（7+1）100＋64。計算這兩類題目，有非常簡捷的速算方法，分別稱為“同補”速算法和“補同”速算法。在整數(shù)乘法運算中，常會遇到像7278，2686等被乘數(shù)與乘數(shù)的十位數(shù)字相同或互補，或被乘數(shù)與乘數(shù)的個位數(shù)字相同或互補的情況。第2講 速算與巧算（二）上一講我們介紹了一類兩位數(shù)乘法的速算方法，這一講討論乘法的“同補”與“補同”速算法。5.（1）1369；（2）2809；（3）8281；（4）4624；（5）11664；（6）157609。練習(xí)1 答案。：（1）372；（2）532；（3）912；（4）682：（5）1082；（6）3972。，他們加工零件的個數(shù)分別為：68，91，84，75，78，81，83，72，79。，量出12株麥苗的高度分別為（單位：厘米）：26，25，25，23，27，28，26，24，29，27，27，25。用這種速算法只需口算就可以方便地解答出這類兩位數(shù)的乘法計算。于是，我們得到下面的速算式：由上式看出，積的末兩位數(shù)是兩個因數(shù)的個位數(shù)之積，本例為84；積中從百位起前面的數(shù)是“個位與十位相同的因數(shù)”的十位數(shù)與“個位與十位之和為10的因數(shù)”的十位數(shù)加1的乘積，本例為8（6＋1）。這類算式有非常簡便的速算方法。請看下面的算式：6646，7388，1944。20042=20042004＝（20044）（2004+4）＋42＝20002008＋16＝4016000＋16＝4016016。例4 求9932和20042的值。這與三年級學(xué)的個位數(shù)是5的數(shù)的平方的速算方法結(jié)果相同。最后，還要加上“移多補少”的數(shù)的平方。因為是兩個相同數(shù)相乘，所以對其中一個數(shù)“移多補少”后，還需要在另一個數(shù)上“找齊”。綠藤星教育（***）小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程822＝8282＝（82－2）（82＋2）＋2＝8084＋4＝6720+4＝6724。例3 求292和822的值。所謂湊整補零法，就是用所求數(shù)與最接近的整十?dāng)?shù)的差，通過移多補少，將所求數(shù)轉(zhuǎn)化成一個整十?dāng)?shù)乘以另一數(shù)，再加上零頭的平方數(shù)。對于兩位數(shù)的平方，大多數(shù)同學(xué)只是背熟了10～20的平方，而21～99的平方就不大熟悉了。答：平均每塊麥田的產(chǎn)量為455千克。解：選基準(zhǔn)數(shù)為450，則累計差=12＋30－7－30＋23－21＋18－11＋25＋11＝50，平均每塊產(chǎn)量=450＋50247。例2 某農(nóng)場有10塊麥田，每塊的產(chǎn)量如下（單位：千克）：462，480，443，420，473，429，468，439，475，461。在使用基準(zhǔn)數(shù)法時，應(yīng)選取與各數(shù)的差較小的數(shù)作為基準(zhǔn)數(shù)，這樣才容易計算累計差。由例1得到：總和數(shù)=基準(zhǔn)數(shù)加數(shù)的個數(shù)+累計差，平均數(shù)=基準(zhǔn)數(shù)+累計差247。這種方法適用于加數(shù)較多，而且所有的加數(shù)相差不大的情況。為了清楚起見，將這一過程表示如下：通過口算，得到差數(shù)累加為9，再加上8010，就可口算出結(jié)果為809。于是得到總和=8010＋（623＋3＋116+1211+45）＝800＋9＝809。觀察這些數(shù)不難發(fā)現(xiàn)，這些數(shù)雖然大小不等，但相差不大。求這10名同學(xué)的總分。我們在三年級已經(jīng)講過一些四則運算的速算與巧算的方法，本講和下一講主要介紹加法的基準(zhǔn)數(shù)法和乘法的補同與同補速算法。第一篇：小學(xué)數(shù)學(xué)奧數(shù)教案綠藤星教育（***）小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程第1講 速算與巧算（一）第2講 速算與巧算（二）第3講 高斯求和第4講 4，8，9整除的數(shù)的特征 第5講 棄九法第6講 數(shù)的整除性（二）第7講 找規(guī)律（一）第8講 找規(guī)律（二）第9講 數(shù)字謎（一）第10講 數(shù)字謎（二）第11講 歸一問題與歸總問題 第12講 年齡問題第13講 雞兔同籠問題與假設(shè)法 第14講 盈虧問題與比較法（一）第15講 盈虧問題與比較法（二）第16講 數(shù)陣圖（一）第17講 數(shù)陣圖（二）第18講 數(shù)陣圖（三）第19將 乘法原理 第20講 加法原理（一）第21講 加法原理（二）第22講 還原問題（一）第23講 還原問題（二）第24講 頁碼問題 第25講 智取火柴 第26講 邏輯問題（一）第27講 邏輯問題（二）第28講 最不利原則 第29講 抽屜原理（一）第30講 抽屜原理（二）綠藤星教育（***）小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程第1講 速算與巧算（一）計算是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，小學(xué)生要學(xué)好數(shù)學(xué)，必須具有過硬的計算本領(lǐng)。準(zhǔn)確、快速的計算能力既是一種技巧，也是一種思維訓(xùn)練，既能提高計算效率、節(jié)省計算時間，更可以鍛煉記憶力，提高分析、判斷能力，促進(jìn)思維和智力的發(fā)展。例1 四年級一班第一小組有10名同學(xué)，某次數(shù)學(xué)測驗的成績（分?jǐn)?shù)）如下：86，78，77，83，91，74，92，69，84，75。分析與解：通常的做法是將這10個數(shù)直接相加，但這些數(shù)雜亂無章，直接相加既繁且易錯。我們可以選擇一個適當(dāng)?shù)臄?shù)作“基準(zhǔn)”，比如以“80”作基準(zhǔn)，這10個數(shù)與80的差如下：6，2，3，3，11，6，12，11，4，5，其中“”號表示這個數(shù)比80小。實際計算時只需口算，將這些數(shù)與80的差逐一累加。例1所用的方法叫做加法的基準(zhǔn)數(shù)法。作為“基準(zhǔn)”的數(shù)（如例1的80）叫做基準(zhǔn)數(shù)，各數(shù)與基準(zhǔn)數(shù)的差的和叫做累計差。加數(shù)的個數(shù)。同時考慮到基準(zhǔn)數(shù)與加數(shù)個數(shù)的乘法能夠方便地計算出來，所以基準(zhǔn)數(shù)應(yīng)盡量選取整十、整百的數(shù)。求平均每塊麥田的產(chǎn)量。10＝455（千克）。求一位數(shù)的平方，在乘法口訣的九九表中已經(jīng)被同學(xué)們熟知，如77＝49（七七四十九）。有沒有什么竅門，能夠迅速算出兩位數(shù)的平方呢？這里向同學(xué)們介紹一種方法——湊整補零法。下面通過例題來說明這一方法。解：292=2929＝（29＋1）（291）＋12＝3028＋1＝840+1＝841。由上例看出，因為29比30少1，所以給29“補”1，這叫“補少”；因為82比80多2，所以從82中“移走”2，這叫“移多”。本例中，給一個29補1，就要給另一個29減1；給一個82減了2，就要給另一個82加上2。由湊整補零法計算352，得3535＝4030＋52=1225。這種方法不僅適用于求兩位數(shù)的平方值，也適用于求三位數(shù)或更多位數(shù)的平方值。解：9932=993993＝（993＋7）（9937）+72＝1000986＋49＝986000＋49＝986049。下面，我們介紹一類特殊情況的乘法的速算方法。這幾道算式具有一個共同特點，兩個因數(shù)都是兩位數(shù)，一個因數(shù)的十位數(shù)與個位數(shù)相同，另一因數(shù)的十位數(shù)與個位數(shù)之和為10。例5 8864＝？分析與解：由乘法分配律和結(jié)合律，得到8864＝（80＋8）（60＋4）＝（80＋8）60＋（80＋8）4＝8060＋860＋804＋84＝8060＋806＋804＋84＝80（60＋6＋4）＋84＝80（60＋10）＋84＝8（6＋1）100+84。例6 7791＝？解：由例3的解法得到 綠藤星教育（***）小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程由上式看出，當(dāng)兩個因數(shù)的個位數(shù)之積是一位數(shù)時，應(yīng)在十位上補一個0，本例為71＝07。練習(xí)1：165，152，168，171，148，156，169，161，157，149。求這批麥苗的平均高度。他們共加工了多少個零件？：13＋16＋10+11＋17＋12＋15＋12＋16＋13＋12。：（1）7728；（2）6655；（3）3319；（4）8244；（5）3733；（6）4699。6.（1）2156；（2）3630；（3）627；（4）3608；（5）1221；（6）4554。兩個數(shù)之和等于10，則稱這兩個數(shù)互補。7278的被乘數(shù)與乘數(shù)的十位數(shù)字相同、個位數(shù)字互補，這類式子我們稱為“頭相同、尾互補”型；2686的被乘數(shù)與乘數(shù)的十位數(shù)字互補、個位數(shù)字相同，這類式子我們稱為“頭互補、尾相同”型。例1（1）7674＝？（2）3139＝？分析與解：本例兩題都是“頭相同、尾互補”類型。于是，我們得到下面的速算式：（2）與（1）類似可得到下面的速算式：由例1看出，在“頭相同、尾互補”的兩個兩位數(shù)乘法中，積的末兩位數(shù)是兩個因數(shù)的個位數(shù)之積（不夠兩位時前面補0，如19＝09），積中從百位起前面的數(shù)是被乘數(shù)（或乘數(shù)）的十位數(shù)與十位數(shù)加1的乘積。我們在三年級時學(xué)到的1515，2525，?，9595的速算，實際上就是“同補”速算法。（1）由乘法分配律和結(jié)合律，得到7838 ＝（70＋8）（30＋8）＝（70＋8）30＋（70＋8）8 ＝7030+830＋708＋88 ＝7030＋8（30＋70）＋88 ＝73100＋8100＋88 ＝（73＋8）100＋88?！把a同”速算法簡單地說就是： 積的末兩位數(shù)是“尾尾”，前面是“頭頭+尾”。當(dāng)被乘數(shù)和乘數(shù)多于兩位時，情況會發(fā)生什么變化呢？我們先將互補的概念推廣一下。如43與57互補，99與1互補，555與445互補。例如，因為被乘數(shù)與乘數(shù)的綠藤星教育（***）小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程前兩位數(shù)相同，都是70，后兩位數(shù)互補，77＋23＝100，所以是“同補”型。當(dāng)被乘數(shù)與乘數(shù)前面的幾位數(shù)互補，后面的幾位數(shù)相同時，這個乘法算式就是“補同”型，即“頭互補，尾相同”型。在計算多位數(shù)的“同補”型乘法時，例1的方法仍然適用。注意：互補數(shù)如果是n位數(shù)，則應(yīng)占乘積的后2n位，不足的位補“0”。例4 28657265＝？解：練習(xí)2計算下列各題：62； 97；87； 39；62； 607；607； 6085。高斯為什么算得又快又準(zhǔn)呢？原來小高斯通過細(xì)心觀察發(fā)現(xiàn)：1＋100＝2＋99＝3＋98＝?＝49＋52＝50＋51。于是，小高斯把這道題巧算為（1+100）100247。小高斯使用的這種求和方法，真是聰明極了，簡單快捷，并且廣泛地適用于“等差數(shù)列”的求和問題。后項與前項之差都相等的數(shù)列稱為等差數(shù)列，后項與前項之差稱為公差。其中（1）是首項為1，末項為100，公差為1的等差數(shù)列；（2）是首項為1，末項為99，公差為2的等差數(shù)列；（3）是首項為8，末項為71，公差為7的等差數(shù)列。2。由等差數(shù)列求和公式可得原式=（1＋1999）1999247。注意：利用等差數(shù)列求和公式之前，一定要判斷題目中的各個加數(shù)是否構(gòu)成等差數(shù)列。原式=（11+31）21247。在利用等差數(shù)列求和公式時，有時項數(shù)并不是一目了然的，這時就需要先求出項數(shù)。公差+1，末項=首項+公差（項數(shù)1）。4＋1＝25，原式=（3＋99）25247。例4 求首項是25，公差是3的等差數(shù)列的前40項的和。2＝3340。例5 在下圖中，每個最小的等邊三角形的面積是12厘米2，邊長是1根火柴棍。解：（1）最大三角形面積為（1＋3＋5＋?＋15）12 ＝［（1＋15）8247。2）火柴棍的數(shù)目為3＋6＋9+?+24 ＝（3＋24）8247。答：最大三角形的面積是768厘米2，整個圖形由108根火柴擺成。這時盒子里共有多少只乒乓球？分析與解：一只球變成3只球，實際上多了2只球。因此拿了十次后，多了21＋22＋?＋210 ＝2（1＋2＋?＋10）＝255＝110（只）。綜合列式為：（31）（1＋2＋?＋10）＋3 ＝2［（1＋10）10247。練習(xí)3：（1）2＋4＋6＋?＋200；（2）17＋19＋21＋?＋39；（3）5＋8＋11＋14＋?＋50；（4）3＋10＋17＋24＋?＋101。，公差是5的等差數(shù)列的前30項的和。問：時鐘一晝夜敲打多少次？。數(shù)的整除具有如下性質(zhì)： 綠藤星教育（***）小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程性質(zhì)1 如果甲數(shù)能被乙數(shù)整除，乙數(shù)能被丙數(shù)整除，那么甲數(shù)一定能被丙數(shù)整除。性質(zhì)2 如果兩個數(shù)都能被一個自然數(shù)整除，那么這兩個數(shù)的和與差也一定能被這個自然數(shù)整除。性質(zhì)3 如果一個數(shù)能分別被兩個互質(zhì)的自然數(shù)整除，那么這個數(shù)一定能被這兩個互質(zhì)的自然數(shù)的乘積整除。利用上面關(guān)于整除的性質(zhì)，我們可以解決許多與整除有關(guān)的問題。（2）一個數(shù)的個位數(shù)字如果是0或5，那么這個數(shù)就能被5整除。（4）一個數(shù)的末兩位數(shù)如果能被4（或25）整