【正文】 已知小喜比小樂每分鐘多跳12下，那么小喜比小樂共多跳了多少下？分析與解：利用假設(shè)法，假設(shè)小喜的跳繩速度減少到與小樂一樣，那么兩人跳的總數(shù)減少了12（2＋3）＝60（下）。=（元）。這樣每輛小卡車能裝144247。問：大、小瓶各有多少個(gè)？分析：本題與例4非常類似，仿照例4的解法即可。問：雞、兔各多少只？分析：假設(shè)100只都是雞，沒有兔，那么就有雞腳200只，而兔的腳數(shù)為零。同樣，也可以假設(shè)100人都是小和尚，同學(xué)們不妨自己試試。由例1看出，解答雞兔同籠問題通常采用假設(shè)法，可以先假設(shè)都是雞，然后以兔換雞；也可以先假設(shè)都是兔，然后以雞換兔。解：有兔（44216）247。問：三人各是多少歲？6．今年老師46歲，學(xué)生16歲，幾年后老師年齡的2倍與學(xué)生年齡的5倍相等？7．已知祖孫三人，祖父和父親年齡的差與父親和孫子年齡的差相同，祖父和孫子年齡之和為82歲，明年祖父的年齡恰好等于孫子年齡的5倍。每過一年，爺爺增加一歲，而三個(gè)綠藤星教育（***）小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程孫子的年齡和卻要增加1＋1＋1＝3（歲），比爺爺多增加3－1＝2（歲）。這樣，20年后兒子增加20歲，父親就要增加80歲，比兒子多增加了80－20＝60（歲）。例6 1994年父親的年齡是哥哥和弟弟年齡之和的4倍。又因?yàn)槟且荒旮绺鐨q數(shù)與今年弟弟歲數(shù)相等，所以今年弟弟歲數(shù)為2份，今年哥哥歲數(shù)為2＋1=3（份）（見下頁圖）。當(dāng)爸爸的年齡是兒子年齡的5倍時(shí)，兒子的年齡是（48——20）247。結(jié)果雞蛋價(jià)格下調(diào)了。（60＋30）=40（天）。（3）每小時(shí)多行多少千米？ 綠藤星教育（***）小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程75－60＝15（千米）。解：158247。4247。4247。（2400247。例3 ，8臺(tái)這樣的磨面機(jī)磨25600千克面粉需要多少時(shí)間？分析與解：以1臺(tái)磨面機(jī)1時(shí)磨的面粉為單一量。（1）1頭奶牛1天產(chǎn)奶多少千克？630247。4＝475（千克）。練習(xí)101．在下面各豎式的□內(nèi)填入合適的數(shù)字，使豎式成立：2．右面的加法算式中，相同的漢字代表相同的數(shù)字，不同的漢字代表不同的數(shù)字。此類除法豎式應(yīng)根據(jù)除法豎式的特點(diǎn)，如商的空位補(bǔ)0、余數(shù)必須小于除數(shù)，以及空格間的相互關(guān)系等求解，只要求出除數(shù)和商，問題就迎刃而解了。此時(shí)已求出被乘數(shù)是645，經(jīng)試驗(yàn)只有6457滿足□5□5，所以C=7；最后由B=5，G=0知D為偶數(shù)，經(jīng)試驗(yàn)知D=2。所以，被乘數(shù)是142857。綠藤星教育（***）小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程（2）若“賽”＝3，則“數(shù)”=9，仿（1）討論，也不行。滿足條件的算式如右下式。此時(shí)，百位上的和為“學(xué)”＋“學(xué)”＋1＝2＋2＋1＝5≠4。由于被減數(shù)個(gè)位數(shù)字是0，差的個(gè)位數(shù)字是1，所以減數(shù)的個(gè)位數(shù)字是9。6．將1～9分別填入下式的九個(gè)□內(nèi)，使算式取得最大值：□□□□□□□□□。65=48；（4）46+24247。B（C＋D）][EF＋G－H]。答案如下：2＋4＝6，18＝8，9－3＝6，56247。64=53=97，或 164247。如果從乘法算式入手，那么只有下面兩種可能：23＝6或24＝8，所以應(yīng)當(dāng)從乘法算式入手。例1 在下面算式等號(hào)左邊合適的地方添上括號(hào)，使等式成立：5+78+12247。最后再說明一點(diǎn)，an247。7的余數(shù)”。這是因?yàn)?2＝38+1，其中38能被3整除，而53=（38+1）5=（38）5+15，（38）5能被3整除，所以53除以3的余數(shù)與15除以3的余數(shù)相同。分析與解：（1）由55247。解：由128247。4＝249??3，所以67999的個(gè)位數(shù)字與73的個(gè)位數(shù)字相同，即67999的個(gè)位數(shù)字是3。從表看出，an的個(gè)位數(shù)字的變化規(guī)律可分為三類：（1）當(dāng)a的個(gè)位數(shù)是0，1，5，6時(shí)，an的個(gè)位數(shù)仍然是0，1，5，6。3．有一串?dāng)?shù)，前兩個(gè)數(shù)是9和7，從第三個(gè)數(shù)起，每個(gè)數(shù)是它前面兩個(gè)數(shù)乘積的個(gè)位數(shù)。那么怎么辦呢？仔細(xì)觀察會(huì)發(fā)現(xiàn)，這串?dāng)?shù)的前四個(gè)數(shù)都是奇數(shù)，按照“每個(gè)數(shù)都是它前面四個(gè)數(shù)之和的個(gè)位數(shù)字”，如果不看具體數(shù)，只看數(shù)的奇偶性，那么將這串?dāng)?shù)依次寫出來，得到奇奇奇奇偶奇奇奇奇偶奇??可以看出，這串?dāng)?shù)是按照四個(gè)奇數(shù)一個(gè)偶數(shù)的規(guī)律循環(huán)出現(xiàn)的，永遠(yuǎn)不會(huì)出現(xiàn)四個(gè)偶數(shù)連在一起的情況，即不會(huì)出現(xiàn)“2000”。問：這串?dāng)?shù)中第88個(gè)數(shù)是幾？628088640448?分析與解：這串?dāng)?shù)看起來沒有什么規(guī)律，但是如果其中有兩個(gè)相鄰數(shù)字與前面的某兩個(gè)相鄰數(shù)字相同，那么根據(jù)這串?dāng)?shù)的構(gòu)成規(guī)律，這兩個(gè)相鄰數(shù)字后面的數(shù)字必然與前面那兩個(gè)相鄰數(shù)字后面的數(shù)字相同，也就是說將出現(xiàn)周期性變化。也就是說，這串?dāng)?shù)是按照每四個(gè)數(shù)為一個(gè)周期循環(huán)出現(xiàn)的。12＝8??4，所以第100盞燈是第9個(gè)周期的第4盞燈，是紅燈。什么是周期性變化規(guī)律呢？比如，一年有春夏秋冬四季，百花盛開的春季過后就是夏天，赤日炎炎的夏季過后就是秋天，果實(shí)累累的秋季過后就是冬天，白雪皚皚的冬季過后又到了春天。所以，A=5，B＝9。例6 六位數(shù)能被99整除，求A和B。例4 用3，3，7，7四個(gè)數(shù)碼能排出哪些能被11整除的四位數(shù)？ 解：只要奇數(shù)位和偶數(shù)位上各有一個(gè)3和一個(gè)7即可。11＝1??4，所求余數(shù)是114=7。分析與解：（1）[（4＋8＋3）－（1＋7）]247。也就是說，個(gè)位、百位、萬位??是奇數(shù)位，十位、千位、十萬位??是偶數(shù)位。2．求下列各式除以9的余數(shù)：（1）67235＋82564；（2）9725647823； 綠藤星教育（***）小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程（3）27836451；（4）3477+265841。如果不等，那么這個(gè)乘法計(jì)算肯定不正確。上式中被減數(shù)的九余數(shù)是3，減數(shù)的九余數(shù)是6，由（9+3）6＝6知，原題等號(hào)左邊的九余數(shù)是6。例3 檢驗(yàn)下面的加法算式是否正確：2638457＋3521983＋6745785＝12907225。這樣在這個(gè)大數(shù)中，除了0以外，只剩下最后的100中的數(shù)字1。例1 求多位數(shù)764582***15除以9的余數(shù)。8．學(xué)校買了72只小足球，發(fā)票上的總價(jià)有兩個(gè)數(shù)字已經(jīng)辨認(rèn)不清，只看到是□□元，你知道每只小足球多少錢嗎？ 第5講 棄九法從第4講知道，如果一個(gè)數(shù)的各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和能被9整除，那么這個(gè)數(shù)能被9整除；如果一個(gè)數(shù)各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和被9除余數(shù)是幾，那么這個(gè)數(shù)被9除的余數(shù)也一定是幾。六位數(shù)綠藤星教育（***）小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程各位數(shù)字之和為12＋B＋C。再由六位數(shù)能被3整除，推知 3＋A＋B＋A＋B＋A＝3＋3A＋2B能被3整除，故2B能被3整除。因?yàn)?2＝89，8和9是互質(zhì)數(shù)，所既能被8整除，又能被9整除。到現(xiàn)在為止，我們已經(jīng)學(xué)過能被2，3，5，4，8，9整除的數(shù)的特征。因?yàn)?9和9都能被9整除，所以根據(jù)整除的性質(zhì)1和性質(zhì)2知，（8x99＋3x9）能被9整除。（6）一個(gè)數(shù)各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和如果能被9整除，那么這個(gè)數(shù)就能被9整除。性質(zhì)3 如果一個(gè)數(shù)能分別被兩個(gè)互質(zhì)的自然數(shù)整除，那么這個(gè)數(shù)一定能被這兩個(gè)互質(zhì)的自然數(shù)的乘積整除。，公差是5的等差數(shù)列的前30項(xiàng)的和。這時(shí)盒子里共有多少只乒乓球？分析與解：一只球變成3只球，實(shí)際上多了2只球。例5 在下圖中，每個(gè)最小的等邊三角形的面積是12厘米2，邊長是1根火柴棍。公差+1，末項(xiàng)=首項(xiàng)+公差（項(xiàng)數(shù)1）。由等差數(shù)列求和公式可得原式=（1＋1999）1999247。小高斯使用的這種求和方法，真是聰明極了，簡單快捷，并且廣泛地適用于“等差數(shù)列”的求和問題。注意：互補(bǔ)數(shù)如果是n位數(shù)，則應(yīng)占乘積的后2n位，不足的位補(bǔ)“0”。如43與57互補(bǔ)，99與1互補(bǔ)，555與445互補(bǔ)。我們在三年級(jí)時(shí)學(xué)到的1515，2525，?，9595的速算，實(shí)際上就是“同補(bǔ)”速算法。兩個(gè)數(shù)之和等于10，則稱這兩個(gè)數(shù)互補(bǔ)。他們共加工了多少個(gè)零件？：13＋16＋10+11＋17＋12＋15＋12＋16＋13＋12。例5 8864＝？分析與解：由乘法分配律和結(jié)合律，得到8864＝（80＋8）（60＋4）＝（80＋8）60＋（80＋8）4＝8060＋860＋804＋84＝8060＋806＋804＋84＝80（60＋6＋4）＋84＝80（60＋10）＋84＝8（6＋1）100+84。這種方法不僅適用于求兩位數(shù)的平方值，也適用于求三位數(shù)或更多位數(shù)的平方值。解：292=2929＝（29＋1）（291）＋12＝3028＋1＝840+1＝841。10＝455（千克）。作為“基準(zhǔn)”的數(shù)（如例1的80）叫做基準(zhǔn)數(shù)，各數(shù)與基準(zhǔn)數(shù)的差的和叫做累計(jì)差。分析與解：通常的做法是將這10個(gè)數(shù)直接相加，但這些數(shù)雜亂無章，直接相加既繁且易錯(cuò)。我們在三年級(jí)已經(jīng)講過一些四則運(yùn)算的速算與巧算的方法，本講和下一講主要介紹加法的基準(zhǔn)數(shù)法和乘法的補(bǔ)同與同補(bǔ)速算法。為了清楚起見，將這一過程表示如下：通過口算，得到差數(shù)累加為9，再加上8010，就可口算出結(jié)果為809。例2 某農(nóng)場有10塊麥田，每塊的產(chǎn)量如下（單位：千克）：462，480，443，420，473，429，468，439，475，461。所謂湊整補(bǔ)零法，就是用所求數(shù)與最接近的整十?dāng)?shù)的差，通過移多補(bǔ)少，將所求數(shù)轉(zhuǎn)化成一個(gè)整十?dāng)?shù)乘以另一數(shù)，再加上零頭的平方數(shù)。最后，還要加上“移多補(bǔ)少”的數(shù)的平方。請看下面的算式：6646，7388，1944。，量出12株麥苗的高度分別為（單位：厘米）：26，25，25，23，27，28，26，24，29，27，27，25。5.（1）1369；（2）2809；（3）8281；（4）4624；（5）11664；（6）157609。（1）由乘法分配律和結(jié)合律，得到 7674 ＝（70＋6）（70+4）＝（70＋6）70＋（70＋6）4＝7070＋670＋704＋64 ＝70（70＋6＋4）＋64 ＝70（70＋10）＋64 綠藤星教育（***）小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程＝7（7+1）100＋64。例1和例2介紹了兩位數(shù)乘以兩位數(shù)的“同補(bǔ)”或“補(bǔ)同”形式的速算法。例如，等都是“補(bǔ)同”型。綠藤星教育（***）小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程1～100正好可以分成這樣的50對數(shù)，每對數(shù)的和都相等。由高斯的巧算方法，得到等差數(shù)列的求和公式： 和=（首項(xiàng)+末項(xiàng)）項(xiàng)數(shù)247。2=441。解：末項(xiàng)=25＋3（401）＝142，和=（25＋142）40247。2=108（根）。2］＋3＝113（只）。例如，48能被16整除，16能被8整除，那么48一定能被8整除。（3）一個(gè)數(shù)各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和如果能被3整除，那么這個(gè)數(shù)就能被3整除。類似地可以證明（5）。例1 在下面的數(shù)中，哪些能被4整除？哪些能被8整除？哪些能被9整除？ 234，789，7756，8865。解：因?yàn)榻M成的三位數(shù)能同時(shí)被2，5整除，所以個(gè)位數(shù)字為0。在解題順序上，應(yīng)先確定B所代表的數(shù)字，因?yàn)锽代表的數(shù)字不受A的取值大小的影響，一旦B代表的數(shù)字確定下來，A所代表的數(shù)字就容易確定了。要使所得的商最小，就要使這個(gè)六位數(shù)盡可能小。練習(xí)41．6539724能被4，8，9，24，36，72中的哪幾個(gè)數(shù)整除？2．個(gè)位數(shù)是5，且能被9整除的三位數(shù)共有多少個(gè)？3．一些四位數(shù)，百位上的數(shù)字都是3，十位上的數(shù)字都是6，并且它們既能被2整除又能被3整除。這種將和為9或9的倍數(shù)的數(shù)字劃掉，用剩下的數(shù)字和求除以9的余數(shù)的方法，叫做棄九法。例2 將自然數(shù)1，2，3，?依次無間隔地寫下去組成一個(gè)數(shù)***3?如果一直寫到自然數(shù)100，那么所得的數(shù)除以9的余數(shù)是多少？ 綠藤星教育（***）小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程分析與解：因?yàn)檫@個(gè)數(shù)太大，全部寫出來很麻煩，在使用棄九法時(shí)不能逐個(gè)劃掉和為9或9的倍數(shù)的數(shù)，所以要配合適當(dāng)?shù)姆治?。利用高斯求和法，知此和?050。例4 檢驗(yàn)下面的減法算式是否正確：78321452167953＝5664192。所以用棄九法檢驗(yàn)運(yùn)算的正確性，只是一種粗略的檢驗(yàn)。例如，檢驗(yàn)383801247。求D。綠藤星教育（***）小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程一個(gè)數(shù)除以11的余數(shù)，與它的奇數(shù)位上的數(shù)字之和減去偶數(shù)位上的數(shù)字之和所得的差除以11的余數(shù)相同。（17+112）32＝7，所以296738185除以11的余數(shù)是7。11=72??7，117=4，所求余數(shù)是4。調(diào)整“4321”，只要4調(diào)到奇數(shù)位，1調(diào)到偶數(shù)位，奇數(shù)位就比原來增大3，就可達(dá)到目的。因?yàn)锳+B與AB同奇同偶，所以有在（1）中，A≤5與A≥7不能同時(shí)滿足，所以無解。綠藤星教育（***）小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程7．七位數(shù)3A8629B是88的倍數(shù)，求A和B。問：（1）第100盞燈是什么顏色？（2）前150盞彩燈中有多少盞藍(lán)燈？分析與解：這是一個(gè)周期變化問題。問：這串?dāng)?shù)中第24個(gè)數(shù)是幾？前77個(gè)數(shù)的和是多少？分析與解：因?yàn)榈?，2，3，4個(gè)數(shù)的和等于第2，3，4，5個(gè)數(shù)的和，所以第1個(gè)數(shù)與第5個(gè)數(shù)相同。由77247。例4 在下面的一串?dāng)?shù)中，從第五個(gè)數(shù)起，每個(gè)數(shù)都是它前面四個(gè)數(shù)之和的個(gè)位數(shù)字。練習(xí)71．有一串很長的珠子，它是按照5顆紅珠、3顆白珠、4顆黃珠、2顆綠珠的順序重復(fù)排列的。一般地，n個(gè)a相乘，叫做a的n次方，記作an，即本講主要講an的個(gè)位數(shù)的變化規(guī)律，以及an除以某數(shù)所得余數(shù)的變化規(guī)律。例1 求67999的個(gè)位數(shù)字。4＝72??3，所以3291與33的個(gè)位數(shù)相同，等于7。綠藤星教育（***）小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程例4 求下列各除法運(yùn)算所得的余數(shù)：（1）7855247。為了尋找5n247。3的余數(shù)相同，等于2。7的余數(shù)與32247。6；（3）488247。綠藤星教育（***）小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程解：5+（78+12）247?！酢?□□=□7。加式與乘式的數(shù)字不能相同，搭配后只有兩種可能：（1）加式為1＋5，乘式為24；（2）加式為2+4，乘式為18?！穑ā?○）][○○+○○]。練習(xí)91．在下面的算式里填上括號(hào)，使等式成立：（1）46+24247。（）等符號(hào)，使各個(gè)等式成立：4□4□4□4＝1，4□4□4□4＝3，4□4□