【正文】 有8層，從上往下擺時，每層的小三角形數目及所用火柴數目如下表： 綠藤星教育（***）小學奧數基礎教程由上表看出，各層的小三角形數成等差數列，各層的火柴數也成等差數列。解：（1）最大三角形面積為（1＋3＋5＋?＋15）12 ＝［（1＋15）8247。2］12 ＝768（厘米2）。2）火柴棍的數目為3＋6＋9+?+24 ＝（3＋24）8247。2=108（根）。答：最大三角形的面積是768厘米2，整個圖形由108根火柴擺成。例6 盒子里放有三只乒乓球，一位魔術師第一次從盒子里拿出一只球，將它變成3只球后放回盒子里；第二次又從盒子里拿出二只球，將每只球各變成3只球后放回盒子里??第十次從盒子里拿出十只球，將每只球各變成3只球后放回到盒子里。這時盒子里共有多少只乒乓球？分析與解：一只球變成3只球，實際上多了2只球。第一次多了2只球，第二次多了22只球??第十次多了210只球。因此拿了十次后，多了21＋22＋?＋210 ＝2（1＋2＋?＋10）＝255＝110（只）。加上原有的3只球，盒子里共有球110＋3＝113（只）。綜合列式為：（31）（1＋2＋?＋10）＋3 ＝2［（1＋10）10247。2］＋3＝113（只）。練習3：（1）2＋4＋6＋?＋200；（2）17＋19＋21＋?＋39；（3）5＋8＋11＋14＋?＋50；（4）3＋10＋17＋24＋?＋101。，末項是93，公差是4的等差數列的和。，公差是5的等差數列的前30項的和。，敲打的次數等于該鐘點數，每半點鐘也敲一下。問：時鐘一晝夜敲打多少次？。，十位數比個位數大的數共有多少個？第四講我們在三年級已經學習了能被2，3，5整除的數的特征，這一講我們將討論整除的性質，并講解能被4，8，9整除的數的特征。數的整除具有如下性質： 綠藤星教育（***）小學奧數基礎教程性質1 如果甲數能被乙數整除，乙數能被丙數整除，那么甲數一定能被丙數整除。例如，48能被16整除，16能被8整除，那么48一定能被8整除。性質2 如果兩個數都能被一個自然數整除，那么這兩個數的和與差也一定能被這個自然數整除。例如，21與15都能被3整除，那么21＋15及2115都能被3整除。性質3 如果一個數能分別被兩個互質的自然數整除，那么這個數一定能被這兩個互質的自然數的乘積整除。例如，126能被9整除，又能被7整除，且9與7互質，那么126能被97＝63整除。利用上面關于整除的性質，我們可以解決許多與整除有關的問題。為了進一步學習數的整除性，我們把學過的和將要學習的一些整除的數字特征列出來：（1）一個數的個位數字如果是0，2，4，6，8中的一個，那么這個數就能被2整除。（2）一個數的個位數字如果是0或5，那么這個數就能被5整除。（3）一個數各個數位上的數字之和如果能被3整除，那么這個數就能被3整除。（4）一個數的末兩位數如果能被4（或25）整除，那么這個數就能被4（或25）整除。（5）一個數的末三位數如果能被8（或125）整除，那么這個數就能被8（或125）整除。（6）一個數各個數位上的數字之和如果能被9整除，那么這個數就能被9整除。其中（1）（2）（3）是三年級學過的內容，（4）（5）（6）是本講要學習的內容。綠藤星教育（***）小學奧數基礎教程因為100能被4（或25）整除，所以由整除的性質1知，整百的數都能被4（或25）整除。因為任何自然數都能分成一個整百的數與這個數的后兩位數之和，所以由整除的性質2知，只要這個數的后兩位數能被4（或25）整除，這個數就能被4（或25）整除。這就證明了（4）。類似地可以證明（5）。（6）的正確性，我們用一個具體的數來說明一般性的證明方法。837＝800＋30＋7 ＝8100＋310＋7 ＝8（99＋1）＋3（9＋1）＋7 ＝899＋8＋39＋3＋7 ＝（899＋39）＋（8＋3＋7）。因為99和9都能被9整除，所以根據整除的性質1和性質2知，（8x99＋3x9）能被9整除。再根據整除的性質2，由（8＋3＋7）能被9整除，就能判斷837能被9整除。利用（4）（5）（6）還可以求出一個數除以4，8，9的余數：（4‘）一個數除以4的余數，與它的末兩位除以4的余數相同。（5＇）一個數除以8的余數，與它的末三位除以8的余數相同。（6＇）一個數除以9的余數，與它的各位數字之和除以9的余數相同。例1 在下面的數中，哪些能被4整除？哪些能被8整除？哪些能被9整除？ 234，789，7756，8865。解：能被4整除的數有7756，3728，8064；能被8整除的數有3728，8064； 能被9整除的數有234，8865，8064。綠藤星教育（***）小學奧數基礎教程例2 在四位數56□2中，被蓋住的十位數分別等于幾時，這個四位數分別能被9，8，4整除？解：如果56□2能被9整除，那么5＋6＋□＋2＝13＋□應能被9整除，所以當十位數是5，即四位數是5652時能被9整除；如果56□2能被8整除，那么6□2應能被8整除，所以當十位數是3或7，即四位數是5632或5672時能被8整除；如果56□2能被4整除，那么□2應能被4整除，所以當十位數是1，3，5，7，9，即四位數是5612，5632，5652，5672，5692時能被4整除。到現在為止，我們已經學過能被2，3，5，4，8，9整除的數的特征。根據整除的性質3，我們可以把判斷整除的范圍進一步擴大。例如，判斷一個數能否被6整除，因為6＝23，2與3互質，所以如果這個數既能被2整除又能被3整除，那么根據整除的性質3，可判定這個數能被6整除。同理，判斷一個數能否被12整除，只需判斷這個數能否同時被3和4整除；判斷一個數能否被72整除，只需判斷這個數能否同時被8和9整除；如此等等。例3 從0，2，5，7四個數字中任選三個，組成能同時被2，5，3整除的數，并將這些數從小到大進行排列。解：因為組成的三位數能同時被2，5整除，所以個位數字為0。根據三位數能被3整除的特征，數字和2＋7＋0與5＋7＋0都能被3整除，因此所求的這些數為270，570，720，750。例4 五位數分析與解：已知以能被72整除，問：A與B各代表什么數字？能被72整除。因為72＝89，8和9是互質數，所既能被8整除，又能被9整除。根據能被8整除的數的特征，要求綠藤星教育（***）小學奧數基礎教程能被8整除，由此可確定B＝6。再根據能被9整除的數的特征，的各位數字之和為A＋3＋2＋9＋B＝A＋3－f－2＋9＋6＝A＋20，因為l≤A≤9，所以21≤A＋20≤29。在這個范圍內只有27能被9整除，所以A＝7。解答例4的關鍵是把72分解成89，再分別根據能被8和9整除的數的特征去討論B和A所代表的數字。在解題順序上，應先確定B所代表的數字，因為B代表的數字不受A的取值大小的影響，一旦B代表的數字確定下來，A所代表的數字就容易確定了。例5 六位數是6的倍數，這樣的六位數有多少個？分析與解：因為6＝23，且2與3互質，所以這個整數既能被2整除又能被3整除。由六位數能被2整除，推知A可取0，2，4，6，8這五個值。再由六位數能被3整除，推知 3＋A＋B＋A＋B＋A＝3＋3A＋2B能被3整除，故2B能被3整除。B可取0，3，6，9這4個值。由于B可以取4個值，A可以取5個值，題目沒有要求A≠B，所以符合條件的六位數共有54＝20（個）。例6 要使六位數表什么數字？分析與解：因為36＝49，且4與9互質，所以這個六位數應既能被4整除又能被9整除。六位數此C可取1，3，5，7，9。要使所得的商最小，就要使這個六位數盡可能小。因此首先是A的能被4整除，就要能被4整除，因能被36整除，而且所得的商最小，問A，B，C各代盡量小，其次是B盡量小，最后是C盡量小。先試取A=0。六位數綠藤星教育（***）小學奧數基礎教程各位數字之和為12＋B＋C。它應能被9整除，因此B＋C＝6或B＋C＝15。因為B，C應盡量小，所以B＋C＝6，而C只能取1，3，5，7，9，所以要使盡可能小，應取B＝1，C＝5。當A=0，B=1，C＝5時，六位數能被36整除，而且所得商最小，為150156247。36＝4171。練習41．6539724能被4，8，9，24，36，72中的哪幾個數整除？2．個位數是5，且能被9整除的三位數共有多少個？3．一些四位數，百位上的數字都是3，十位上的數字都是6，并且它們既能被2整除又能被3整除。在這樣的四位數中，最大的和最小的各是多少？4．五位數能被12整除，求這個五位數。5．有一個能被24整除的四位數□23□，這個四位數最大是幾？最小是幾？6．從0，2，3，6，7這五個數碼中選出四個，可以組成多少個可以被8整除的沒有重復數字的四位數？7．在123的左右各添一個數碼，使得到的五位數能被72整除。8．學校買了72只小足球，發(fā)票上的總價有兩個數字已經辨認不清，只看到是□□元，你知道每只小足球多少錢嗎？ 第5講 棄九法從第4講知道，如果一個數的各個數位上的數字之和能被9整除，那么這個數能被9整除；如果一個數各個數位上的數字之和被9除余數是幾，那么這個數被9除的余數也一定是幾。利用這個性質可以迅速地判斷一個數能否被9整除或者求出被9除的余數是幾。綠藤星教育（***）小學奧數基礎教程例如，3645732這個數，各個數位上的數字之和為3＋6＋4＋5＋7＋3＋2＝30，30被9除余3，所以3645732這個數不能被9整除，且被9除后余數為3。但是，當一個數的數位較多時，這種計算麻煩且易錯。有沒有更簡便的方法呢？因為我們只是判斷這個式子被9除的余數，所以凡是若干個數的和是9時，就把這些數劃掉，如3＋6＝9，4＋5＝9，7＋2＝9，把這些數劃掉后，最多只剩下一個3（如下圖），所以這個數除以9的余數是3。這種將和為9或9的倍數的數字劃掉，用剩下的數字和求除以9的余數的方法，叫做棄九法。一個數被9除的余數叫做這個數的九余數。利用棄九法可以計算一個數的九余數，還可以檢驗四則運算的正確性。例1 求多位數764582***15除以9的余數。分析與解：利用棄九法，將和為9的數依次劃掉。只剩下7，6，1，5四個數，這時口算一下即可?？谒阒?，7，6，5的和是9的倍數，又可劃掉，只剩下1。所以這個多位數除以9余1。例2 將自然數1，2，3，?依次無間隔地寫下去組成一個數***3?如果一直寫到自然數100，那么所得的數除以9的余數是多少？ 綠藤星教育（***）小學奧數基礎教程分析與解：因為這個數太大，全部寫出來很麻煩，在使用棄九法時不能逐個劃掉和為9或9的倍數的數，所以要配合適當的分析。我們已經熟知1＋2＋3＋?＋9＝45，而45是9的倍數，所以每一組1，2，3，?，9都可以劃掉。在1～99這九十九個數中，個位數有十組1，2，3，?，9，都可劃掉；十位數也有十組1，2，3，?，9，也都劃掉。這樣在這個大數中，除了0以外，只剩下最后的100中的數字1。所以這個數除以9余1。在上面的解法中，并沒有計算出這個數各個數位上的數字和，而是利用棄九法分析求解。本題還有其它簡捷的解法。因為一個數與它的各個數位上的數字之和除以9的余數相同，所以題中這個數各個數位上的數字之和，與1＋2＋?＋100除以9的余數相同。利用高斯求和法，知此和是5050。因為5050的數字和為5＋0＋5＋0=10，利用棄九法，棄去一個9余1，故5050除以9余1。因此題中的數除以9余1。例3 檢驗下面的加法算式是否正確：2638457＋3521983＋6745785＝12907225。分析與解：若干個加數的九余數相加，所得和的九余數應當等于這些加數的和的九余數。如果不等，那么這個加法算式肯定不正確。上式中，三個加數的九余數依次為8，4，6，8+4+6的九余數為0；和的九余數為1。因為0≠1，所以這個算式不正確。例4 檢驗下面的減法算式是否正確：78321452167953＝5664192。分析與解：被減數的九余數減去減數的九余數（若不夠減，可在被減數的九余數上加9，然后再減）應當等于差的九余數。如果不等，那么這個減綠藤星教育（***）小學奧數基礎教程法計算肯定不正確。上式中被減數的九余數是3，減數的九余數是6，由（9+3）6＝6知，原題等號左邊的九余數是6。等號右邊的九余數也是6。因為6＝6，所以這個減法運算可能正確。值得注意的是，這里我們用的是“可能正確”。利用棄九法檢驗加法、減法、乘法（見例5）運算的結果是否正確時，如果等號兩邊的九余數不相等，那么這個算式肯定不正確；如果等號兩邊的九余數相等，那么還不能確定算式是否正確，因為九余數只有0，1，2，?，8九種情況，不同的數可能有相同的九余數。所以用棄九法檢驗運算的正確性，只是一種粗略的檢驗。例5 檢驗下面的乘法算式是否正確：468769537＝447156412。分析與解：兩個因數的九余數相乘，所得的數的九余數應當等于兩個因數的乘積的九余數。如果不等，那么這個乘法計算肯定不正確。上式中，被乘數的九余數是4，乘數的九余數是6，46＝24，24的九余數是6。乘積的九余數是7。6≠7，所以這個算式不正確。說明：因為除法是乘法的逆運算，被除數=除數商+余數，所以當余數為零時，利用棄九法驗算除法可化為用棄九法去驗算乘法。例如，檢驗383801247。253=1517的正確性，只需檢驗1517253=383801的正確性。練習51．求下列各數除以9的余數：（1）7468251；（2）36298745；（3）2657348；（4）6678254193。2．求下列各式除以9的余數：（1）67235＋82564；（2）9725647823； 綠藤星教育（***）小學奧數基礎教程（3）27836451；（4）3477+265841。3．用棄九法檢驗下列各題計算的正確性：（1）228222＝50616；（2）334336＝112224；（3）23372428247。6236＝3748；（4）12345247。6789＝83810105。4．有一個200