【正文】 變化規(guī)律，因?yàn)樗糜鄶?shù)必然小于b，所以在b個(gè)數(shù)以內(nèi)必會(huì)重復(fù)出現(xiàn)。綠藤星教育（***）小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程由例4（2）的方法，將3的各次方除以7的余數(shù)列表如下：由上表看出，3n247。由上表看出，5n除以3的余數(shù)，隨著n的增大，按2，1的順序循環(huán)出現(xiàn)。4＝13??3知，7855的個(gè)位數(shù)與83的個(gè)位數(shù)相同，等于2，所以7855可分解為10a＋2。4＝32知，28128的個(gè)位數(shù)與84的個(gè)位數(shù)相同，等于6。例2 求291+3291的個(gè)位數(shù)字。（2）當(dāng)a的個(gè)位數(shù)是4，9時(shí)，隨著n的增大，an的個(gè)位數(shù)按每?jī)蓚€(gè)數(shù)為一周期循環(huán)出現(xiàn)。這串?dāng)?shù)中第100個(gè)數(shù)是幾？前100個(gè)數(shù)之和是多少？4．有一列數(shù)，第一個(gè)數(shù)是6，以后每一個(gè)數(shù)都是它前面一個(gè)數(shù)與7的和的個(gè)位數(shù)。例5 A，B，C，D四個(gè)盒子中依次放有8，6，3，1個(gè)球。我們?cè)囍鴮⑦@串?dāng)?shù)再多寫出幾位：綠藤星教育（***）小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程當(dāng)寫出第21，22位（豎線右面的兩位）時(shí)就會(huì)發(fā)現(xiàn)，它們與第1，2位數(shù)相同，所以這串?dāng)?shù)按每20個(gè)數(shù)一個(gè)周期循環(huán)出現(xiàn)。所以，第2個(gè)數(shù)等于第6個(gè)數(shù)，是6；第3個(gè)數(shù)等于第11個(gè)數(shù)，是7。（2）150247。年復(fù)一年，總是按照春、夏、秋、冬四季變化，這就是周期性變化規(guī)律。練習(xí)61．為使五位數(shù)6□295能被11整除，□內(nèi)應(yīng)當(dāng)填幾？2．用1，2，3，4四個(gè)數(shù)碼能排出哪些能被11整除的沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)？3．求能被11整除的最大的沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)。分析與解：由99=911，且9與11互質(zhì)，所以六位數(shù)既能被9整除又能被11整除。有3377，3773，7337，7733。例3 求除以11的余數(shù)。11=7247。例如9位數(shù)768325419中，奇數(shù)位與偶數(shù)位如下圖所示：能被11整除的數(shù)的特征：一個(gè)數(shù)的奇數(shù)位上的數(shù)字之和與偶數(shù)位上的數(shù)字之和的差（大數(shù)減小數(shù)）如果能被11整除，那么這個(gè)數(shù)就能被11整除。3．用棄九法檢驗(yàn)下列各題計(jì)算的正確性：（1）228222＝50616；（2）334336＝112224；（3）23372428247。上式中，被乘數(shù)的九余數(shù)是4，乘數(shù)的九余數(shù)是6，46＝24，24的九余數(shù)是6。等號(hào)右邊的九余數(shù)也是6。分析與解：若干個(gè)加數(shù)的九余數(shù)相加，所得和的九余數(shù)應(yīng)當(dāng)?shù)扔谶@些加數(shù)的和的九余數(shù)。所以這個(gè)數(shù)除以9余1。分析與解：利用棄九法，將和為9的數(shù)依次劃掉。利用這個(gè)性質(zhì)可以迅速地判斷一個(gè)數(shù)能否被9整除或者求出被9除的余數(shù)是幾。它應(yīng)能被9整除，因此B＋C＝6或B＋C＝15。B可取0，3，6，9這4個(gè)值。根據(jù)能被8整除的數(shù)的特征，要求綠藤星教育（***）小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程能被8整除，由此可確定B＝6。根據(jù)整除的性質(zhì)3，我們可以把判斷整除的范圍進(jìn)一步擴(kuò)大。再根據(jù)整除的性質(zhì)2，由（8＋3＋7）能被9整除，就能判斷837能被9整除。其中（1）（2）（3）是三年級(jí)學(xué)過的內(nèi)容，（4）（5）（6）是本講要學(xué)習(xí)的內(nèi)容。例如，126能被9整除，又能被7整除，且9與7互質(zhì)，那么126能被97＝63整除。，敲打的次數(shù)等于該鐘點(diǎn)數(shù)，每半點(diǎn)鐘也敲一下。第一次多了2只球，第二次多了22只球??第十次多了210只球。問：（1）最大三角形的面積是多少平方厘米？（2）整個(gè)圖形由多少根火柴棍擺成？分析：最大三角形共有8層，從上往下擺時(shí)，每層的小三角形數(shù)目及所用火柴數(shù)目如下表： 綠藤星教育（***）小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程由上表看出，各層的小三角形數(shù)成等差數(shù)列，各層的火柴數(shù)也成等差數(shù)列。例3 3＋7＋11＋?＋99＝？分析與解：3，7，11，?，99是公差為4的等差數(shù)列，項(xiàng)數(shù)=（99－3）247。2＝1999000。若干個(gè)數(shù)排成一列稱為數(shù)列，數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)稱為一項(xiàng)，其中第一項(xiàng)稱為首項(xiàng)，最后一項(xiàng)稱為末項(xiàng)。在計(jì)算多位數(shù)的“補(bǔ)同”型乘法時(shí)，如果“補(bǔ)”與“同”，即“頭”與“尾”的位數(shù)相同，那么例2的方法仍然適用（見例4）；如果“補(bǔ)”與“同”的位數(shù)不相同，那么例2的方法不再適用，因?yàn)闆]有簡(jiǎn)捷實(shí)用的方法，所以就不再討論了。在一個(gè)乘法算式中，當(dāng)被乘數(shù)與乘數(shù)前面的幾位數(shù)相同，后面的幾位數(shù)互補(bǔ)時(shí)，這個(gè)算式就是“同補(bǔ)”型，即“頭相同，尾互補(bǔ)”型。例2（1）7838＝？（2）4363＝？分析與解：本例兩題都是“頭互補(bǔ)、尾相同”類型。在整數(shù)乘法運(yùn)算中，常會(huì)遇到像7278，2686等被乘數(shù)與乘數(shù)的十位數(shù)字相同或互補(bǔ)，或被乘數(shù)與乘數(shù)的個(gè)位數(shù)字相同或互補(bǔ)的情況。：（1）372；（2）532；（3）912；（4）682：（5）1082；（6）3972。于是，我們得到下面的速算式：由上式看出，積的末兩位數(shù)是兩個(gè)因數(shù)的個(gè)位數(shù)之積，本例為84；積中從百位起前面的數(shù)是“個(gè)位與十位相同的因數(shù)”的十位數(shù)與“個(gè)位與十位之和為10的因數(shù)”的十位數(shù)加1的乘積，本例為8（6＋1）。例4 求9932和20042的值。綠藤星教育（***）小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程822＝8282＝（82－2）（82＋2）＋2＝8084＋4＝6720+4＝6724。答：平均每塊麥田的產(chǎn)量為455千克。由例1得到：總和數(shù)=基準(zhǔn)數(shù)加數(shù)的個(gè)數(shù)+累計(jì)差，平均數(shù)=基準(zhǔn)數(shù)+累計(jì)差247。觀察這些數(shù)不難發(fā)現(xiàn)，這些數(shù)雖然大小不等，但相差不大。準(zhǔn)確、快速的計(jì)算能力既是一種技巧，也是一種思維訓(xùn)練，既能提高計(jì)算效率、節(jié)省計(jì)算時(shí)間，更可以鍛煉記憶力，提高分析、判斷能力，促進(jìn)思維和智力的發(fā)展。實(shí)際計(jì)算時(shí)只需口算，將這些數(shù)與80的差逐一累加。同時(shí)考慮到基準(zhǔn)數(shù)與加數(shù)個(gè)數(shù)的乘法能夠方便地計(jì)算出來，所以基準(zhǔn)數(shù)應(yīng)盡量選取整十、整百的數(shù)。有沒有什么竅門，能夠迅速算出兩位數(shù)的平方呢？這里向同學(xué)們介紹一種方法——湊整補(bǔ)零法。本例中，給一個(gè)29補(bǔ)1，就要給另一個(gè)29減1；給一個(gè)82減了2，就要給另一個(gè)82加上2。下面，我們介紹一類特殊情況的乘法的速算方法。練習(xí)1：165，152，168，171，148，156，169，161，157，149。例1（1）7674＝？（2）3139＝？分析與解：本例兩題都是“頭相同、尾互補(bǔ)”類型?！把a(bǔ)同”速算法簡(jiǎn)單地說就是： 積的末兩位數(shù)是“尾尾”，前面是“頭頭+尾”。當(dāng)被乘數(shù)與乘數(shù)前面的幾位數(shù)互補(bǔ)，后面的幾位數(shù)相同時(shí)，這個(gè)乘法算式就是“補(bǔ)同”型，即“頭互補(bǔ)，尾相同”型。高斯為什么算得又快又準(zhǔn)呢？原來小高斯通過細(xì)心觀察發(fā)現(xiàn)：1＋100＝2＋99＝3＋98＝?＝49＋52＝50＋51。其中（1）是首項(xiàng)為1，末項(xiàng)為100，公差為1的等差數(shù)列；（2）是首項(xiàng)為1，末項(xiàng)為99，公差為2的等差數(shù)列；（3）是首項(xiàng)為8，末項(xiàng)為71，公差為7的等差數(shù)列。原式=（11+31）21247。例4 求首項(xiàng)是25，公差是3的等差數(shù)列的前40項(xiàng)的和。2）火柴棍的數(shù)目為3＋6＋9+?+24 ＝（3＋24）8247。綜合列式為：（31）（1＋2＋?＋10）＋3 ＝2［（1＋10）10247。數(shù)的整除具有如下性質(zhì)： 綠藤星教育（***）小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程性質(zhì)1 如果甲數(shù)能被乙數(shù)整除，乙數(shù)能被丙數(shù)整除，那么甲數(shù)一定能被丙數(shù)整除。（2）一個(gè)數(shù)的個(gè)位數(shù)字如果是0或5，那么這個(gè)數(shù)就能被5整除。這就證明了（4）。（6＇）一個(gè)數(shù)除以9的余數(shù)，與它的各位數(shù)字之和除以9的余數(shù)相同。例3 從0，2，5，7四個(gè)數(shù)字中任選三個(gè)，組成能同時(shí)被2，5，3整除的數(shù)，并將這些數(shù)從小到大進(jìn)行排列。解答例4的關(guān)鍵是把72分解成89，再分別根據(jù)能被8和9整除的數(shù)的特征去討論B和A所代表的數(shù)字。六位數(shù)此C可取1，3，5，7，9。36＝4171。有沒有更簡(jiǎn)便的方法呢？因?yàn)槲覀冎皇桥袛噙@個(gè)式子被9除的余數(shù)，所以凡是若干個(gè)數(shù)的和是9時(shí)，就把這些數(shù)劃掉，如3＋6＝9，4＋5＝9，7＋2＝9，把這些數(shù)劃掉后，最多只剩下一個(gè)3（如下圖），所以這個(gè)數(shù)除以9的余數(shù)是3。所以這個(gè)多位數(shù)除以9余1。因?yàn)橐粋€(gè)數(shù)與它的各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和除以9的余數(shù)相同，所以題中這個(gè)數(shù)各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和，與1＋2＋?＋100除以9的余數(shù)相同。因?yàn)?≠1，所以這個(gè)算式不正確。利用棄九法檢驗(yàn)加法、減法、乘法（見例5）運(yùn)算的結(jié)果是否正確時(shí)，如果等號(hào)兩邊的九余數(shù)不相等，那么這個(gè)算式肯定不正確；如果等號(hào)兩邊的九余數(shù)相等，那么還不能確定算式是否正確，因?yàn)榫庞鄶?shù)只有0，1，2，?，8九種情況，不同的數(shù)可能有相同的九余數(shù)。說明：因?yàn)槌ㄊ浅朔ǖ哪孢\(yùn)算，被除數(shù)=除數(shù)商+余數(shù)，所以當(dāng)余數(shù)為零時(shí)，利用棄九法驗(yàn)算除法可化為用棄九法去驗(yàn)算乘法。4．有一個(gè)2000位的數(shù)A能被9整除，數(shù)A的各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和是B，數(shù)B的各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和是C，數(shù)C的各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和是D。根據(jù)能被11整除的數(shù)的特征，也能求出一個(gè)數(shù)除以11的余數(shù)。因?yàn)?7＜32，所以應(yīng)給17增加11的整數(shù)倍，使其大于32。11=799247。為了保證這個(gè)數(shù)盡可能大，我們盡量調(diào)整低位數(shù)字，只要使奇數(shù)位的數(shù)字和增加3（偶數(shù)位的數(shù)字和自然就減少3），奇數(shù)位的數(shù)字之和與偶數(shù)位的數(shù)字之和的差就變?yōu)?＋32=11，這個(gè)數(shù)就能被11整除。化簡(jiǎn)得BA＝4或AB＝7。5A634B能被33整除，求A+B。例1 節(jié)日的夜景真漂亮，街上的彩燈按照5盞紅燈、再接4盞藍(lán)燈、再接3盞黃燈，然后又是5盞紅燈、4盞藍(lán)燈、3盞黃燈、??這樣排下去。已知第1個(gè)數(shù)是3，第6個(gè)數(shù)是6，第11個(gè)數(shù)是7。第24個(gè)數(shù)與第4個(gè)數(shù)相同，是9。從例3看出，周期性規(guī)律有時(shí)并不明顯，要找到它還真得動(dòng)點(diǎn)腦筋。4＝24??3，所以第100次后的情況與第4次（3＋1＝4）后的情況相同，A，B，C，D盒中依次有4，6，3，5個(gè)球。第1個(gè)小朋友找到放球最多的盒子，從中拿出3個(gè)球放到其它盒子中各1個(gè)球；第2綠藤星教育（***）小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程個(gè)小朋友也找到放球最多的盒子，也從中拿出3個(gè)球放到其它盒子中各1個(gè)球??當(dāng)100個(gè)小朋友放完后，A，B，C，D四個(gè)盒子中各放有幾個(gè)球？第8講 找規(guī)律（二）整數(shù)a與它本身的乘積，即aa叫做這個(gè)數(shù)的平方，記作a2，即a2＝aa；同樣，三個(gè)a的乘積叫做a的三次方，記作a3，即a3＝aaa。其中a的個(gè)位數(shù)是2時(shí)，按2，4，8，6的順序循環(huán)出現(xiàn)；a的個(gè)位數(shù)是3時(shí)，按3，9，7，1的順序循環(huán)出現(xiàn)；當(dāng)a的綠藤星教育（***）小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程個(gè)位數(shù)是7時(shí)，按7，9，3，1的順序循環(huán)出現(xiàn)；當(dāng)a的個(gè)位數(shù)是8時(shí)，按8，4，2，6的順序循環(huán)出現(xiàn)。類似地，3n的個(gè)位數(shù)字按3，9，7，1四個(gè)數(shù)的順序循環(huán)出現(xiàn)，291247。因?yàn)?＜9，在減法中需向十位借位，所以所求個(gè)位數(shù)字為16－9＝7。3的余數(shù)不僅僅與a的個(gè)位數(shù)有關(guān)，所以不能用求555的個(gè)位數(shù)的方法求解。3的余數(shù)與51247。6＝3??2知，320247。4；（2）8111247。從整個(gè)算式來看，78是4的倍數(shù)，12也是4的倍數(shù)，5不能被4整除，因此可在78+12前后添上小括號(hào)，再除以4得17，5＋172=20。所以答案為 與綠藤星教育（***）小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程例3 下面的算式是由1～9九個(gè)數(shù)字組成的，其中“7”已填好，請(qǐng)將其余各數(shù)填入□，使得等式成立：□□□247。分析與解：因?yàn)槊總€(gè)□中要填不同的數(shù)字，對(duì)于加式只有兩種填法：1＋5或2＋4；對(duì)于乘式也只有兩種填法：18或24。例5 從1～9這九個(gè)自然數(shù)中選出八個(gè)填入下式的八個(gè)○內(nèi)，使得算式的結(jié)果盡可能大：[○247。1（8＋7）]－[23＋4－6]=131。4．在下面的□里填上+，，247。由此我們找出解決本題的突破口在百位數(shù)上。由例1看出，考慮減法算式時(shí)，借位是一個(gè)重要條件。滿足條件的解如右式。下面采用逐一試驗(yàn)的方法求解。（4）若“賽”＝7，則“數(shù)”＝9，積=999999。由于乘數(shù)的百位數(shù)與被乘數(shù)的乘積的末位數(shù)是5，故B，C中必有一個(gè)是5。例5 在□內(nèi)填入適當(dāng)數(shù)字，使左下方的除法豎式成立。因?yàn)椤俺龜?shù)9”是三位數(shù)，所以除數(shù)≥12；又因?yàn)椤俺龜?shù)8”是兩位數(shù)，所以除數(shù)≤12。用這種解題思路解答的應(yīng)用題，稱為歸一問題。（1900247。解：（630247。（2）8臺(tái)磨面機(jī)磨25600千克面粉需要多少小時(shí)？25600247。例4 4輛大卡車運(yùn)沙土，7趟共運(yùn)走沙土336噸。5＝7（輛）。所謂“總量”是指總路程、總產(chǎn)量、工作總量、物品的總價(jià)等。若要4時(shí)到達(dá)，則每小時(shí)需要多行多少千米？分析：從甲地到乙地的路程是一定的，以路程為總量。例7 修一條公路，原計(jì)劃60人工作，80天完成。練習(xí)111．2臺(tái)拖拉機(jī)4時(shí)耕地20公頃，照這樣速度，5臺(tái)拖拉機(jī)6時(shí)可耕地多少公頃？2．4臺(tái)織布機(jī)5時(shí)可以織布2600米，24臺(tái)織布機(jī)幾小時(shí)才能織布24960米？3．一種幻燈機(jī)，5秒鐘可以放映80張片子。年齡問題的主要特點(diǎn)是：二人年齡的差保持不變，它不隨歲月的流逝而改變；二人的年齡隨著歲月的變化，將增或減同一個(gè)自然數(shù)；二人年齡的倍數(shù)關(guān)系隨著年齡的增長(zhǎng)而發(fā)生變化，年齡增大，倍數(shù)變小。問：兄、弟二人今年各多少歲？分析與解：根據(jù)題意，作示意圖如下：由上圖可以看出，兄3年后的年齡比弟4年前的年齡大5＋3＋4＝12（歲），由“差倍問題”解得，弟4年前的年齡為（5＋3＋4）247。由“哥哥2年后的年齡與妹妹8年后的年齡和為97歲”，可知兄妹二人今年的年齡和為“97——2——8”歲。由1段＋12歲=2段＋3歲，推知1段是9歲。20年后，父親的年齡應(yīng)是4段線再加上20歲，而兒子的年齡應(yīng)是1段線再加上20歲，是父親年齡的一半，也就是2段線再加上10歲。答：6年后爺爺?shù)哪挲g等于三個(gè)孫子年齡的和。例1 小梅數(shù)她家的雞與兔，數(shù)頭有16個(gè)，數(shù)腳有44只。我們以雞去換兔，每換一只，頭的數(shù)目不變，腳數(shù)減少了42＝2（只）。如果將大和尚、小和尚分別看作雞和兔，饃看作腿，那么就成了雞兔同籠問題，可以用假設(shè)法來解。這樣，就將買文化用品問題轉(zhuǎn)換成雞兔同籠問題了。解：有兔（2100——20）247。例6 一批鋼材，用小卡車裝載要45輛，用大卡車裝載只要36輛。（4536）45＝720（噸）。解：（500－）247。問：象棋與跳棋各有多少副？第二篇：小學(xué)數(shù)學(xué)奧數(shù)教案小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程（四年級(jí)）小學(xué)奧數(shù)第1講 歸一問題與歸總問題 第2講 年齡問題第3講 雞兔同籠問題與假設(shè)法