【正文】 的正確性，只需檢驗(yàn)1517253=383801的正確性。例5 檢驗(yàn)下面的乘法算式是否正確：468769537＝447156412。分析與解：被減數(shù)的九余數(shù)減去減數(shù)的九余數(shù)（若不夠減，可在被減數(shù)的九余數(shù)上加9，然后再減）應(yīng)當(dāng)?shù)扔诓畹木庞鄶?shù)。因?yàn)?050的數(shù)字和為5＋0＋5＋0=10，利用棄九法，棄去一個(gè)9余1，故5050除以9余1。我們已經(jīng)熟知1＋2＋3＋?＋9＝45，而45是9的倍數(shù)，所以每一組1，2，3，?，9都可以劃掉。一個(gè)數(shù)被9除的余數(shù)叫做這個(gè)數(shù)的九余數(shù)。在這樣的四位數(shù)中，最大的和最小的各是多少？4．五位數(shù)能被12整除，求這個(gè)五位數(shù)。因此首先是A的能被4整除，就要能被4整除，因能被36整除，而且所得的商最小，問(wèn)A，B，C各代盡量小，其次是B盡量小，最后是C盡量小。例5 六位數(shù)是6的倍數(shù)，這樣的六位數(shù)有多少個(gè)？分析與解：因?yàn)?＝23，且2與3互質(zhì)，所以這個(gè)整數(shù)既能被2整除又能被3整除。根據(jù)三位數(shù)能被3整除的特征，數(shù)字和2＋7＋0與5＋7＋0都能被3整除，因此所求的這些數(shù)為270，570，720，750。解：能被4整除的數(shù)有7756，3728，8064；能被8整除的數(shù)有3728，8064； 能被9整除的數(shù)有234，8865，8064。（6）的正確性，我們用一個(gè)具體的數(shù)來(lái)說(shuō)明一般性的證明方法。（4）一個(gè)數(shù)的末兩位數(shù)如果能被4（或25）整除，那么這個(gè)數(shù)就能被4（或25）整除。性質(zhì)2 如果兩個(gè)數(shù)都能被一個(gè)自然數(shù)整除，那么這兩個(gè)數(shù)的和與差也一定能被這個(gè)自然數(shù)整除。練習(xí)3：（1）2＋4＋6＋?＋200；（2）17＋19＋21＋?＋39；（3）5＋8＋11＋14＋?＋50；（4）3＋10＋17＋24＋?＋101。答：最大三角形的面積是768厘米2，整個(gè)圖形由108根火柴擺成。2＝3340。在利用等差數(shù)列求和公式時(shí)，有時(shí)項(xiàng)數(shù)并不是一目了然的，這時(shí)就需要先求出項(xiàng)數(shù)。2。于是，小高斯把這道題巧算為（1+100）100247。在計(jì)算多位數(shù)的“同補(bǔ)”型乘法時(shí)，例1的方法仍然適用。當(dāng)被乘數(shù)和乘數(shù)多于兩位時(shí)，情況會(huì)發(fā)生什么變化呢？我們先將互補(bǔ)的概念推廣一下。于是，我們得到下面的速算式：（2）與（1）類似可得到下面的速算式：由例1看出，在“頭相同、尾互補(bǔ)”的兩個(gè)兩位數(shù)乘法中，積的末兩位數(shù)是兩個(gè)因數(shù)的個(gè)位數(shù)之積（不夠兩位時(shí)前面補(bǔ)0，如19＝09），積中從百位起前面的數(shù)是被乘數(shù)（或乘數(shù)）的十位數(shù)與十位數(shù)加1的乘積。6.（1）2156；（2）3630；（3）627；（4）3608；（5）1221；（6）4554。求這批麥苗的平均高度。這幾道算式具有一個(gè)共同特點(diǎn)，兩個(gè)因數(shù)都是兩位數(shù)，一個(gè)因數(shù)的十位數(shù)與個(gè)位數(shù)相同，另一因數(shù)的十位數(shù)與個(gè)位數(shù)之和為10。由湊整補(bǔ)零法計(jì)算352，得3535＝4030＋52=1225。下面通過(guò)例題來(lái)說(shuō)明這一方法。求平均每塊麥田的產(chǎn)量。例1所用的方法叫做加法的基準(zhǔn)數(shù)法。例1 四年級(jí)一班第一小組有10名同學(xué)，某次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)的成績(jī)（分?jǐn)?shù)）如下：86，78，77，83，91，74，92，69，84，75。求這10名同學(xué)的總分。這種方法適用于加數(shù)較多，而且所有的加數(shù)相差不大的情況。解：選基準(zhǔn)數(shù)為450，則累計(jì)差=12＋30－7－30＋23－21＋18－11＋25＋11＝50，平均每塊產(chǎn)量=450＋50247。例3 求292和822的值。這與三年級(jí)學(xué)的個(gè)位數(shù)是5的數(shù)的平方的速算方法結(jié)果相同。這類算式有非常簡(jiǎn)便的速算方法。，他們加工零件的個(gè)數(shù)分別為：68，91，84，75，78，81，83，72，79。第2講 速算與巧算（二）上一講我們介紹了一類兩位數(shù)乘法的速算方法，這一講討論乘法的“同補(bǔ)”與“補(bǔ)同”速算法?！巴a(bǔ)”速算法簡(jiǎn)單地說(shuō)就是： 積的末兩位是“尾尾”，前面是“頭（頭+1）”。當(dāng)兩個(gè)數(shù)的和是10，100，1000，?時(shí)，這兩個(gè)數(shù)互為補(bǔ)數(shù)，簡(jiǎn)稱互補(bǔ)。例3（1）702708=？（2）17081792＝？ 解：（1）（2）計(jì)算多位數(shù)的“同補(bǔ)”型乘法時(shí)，將“頭（頭+1）”作為乘積的前幾位，將兩個(gè)互補(bǔ)數(shù)之積作為乘積的后幾位。2＝5050。例1 1＋2＋3＋?＋1999＝？分析與解：這串加數(shù)1，2，3，?，1999是等差數(shù)列，首項(xiàng)是1，末項(xiàng)是1999，共有1999個(gè)數(shù)。根據(jù)首項(xiàng)、末項(xiàng)、公差的關(guān)系，可以得到 項(xiàng)數(shù)=（末項(xiàng)首項(xiàng)）247。利用等差數(shù)列求和公式及求項(xiàng)數(shù)和末項(xiàng)的公式，可以解決各種與等差數(shù)列求和有關(guān)的問(wèn)題。例6 盒子里放有三只乒乓球，一位魔術(shù)師第一次從盒子里拿出一只球，將它變成3只球后放回盒子里；第二次又從盒子里拿出二只球，將每只球各變成3只球后放回盒子里??第十次從盒子里拿出十只球，將每只球各變成3只球后放回到盒子里。，末項(xiàng)是93，公差是4的等差數(shù)列的和。例如，21與15都能被3整除，那么21＋15及2115都能被3整除。（5）一個(gè)數(shù)的末三位數(shù)如果能被8（或125）整除，那么這個(gè)數(shù)就能被8（或125）整除。837＝800＋30＋7 ＝8100＋310＋7 ＝8（99＋1）＋3（9＋1）＋7 ＝899＋8＋39＋3＋7 ＝（899＋39）＋（8＋3＋7）。綠藤星教育（***）小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程例2 在四位數(shù)56□2中，被蓋住的十位數(shù)分別等于幾時(shí)，這個(gè)四位數(shù)分別能被9，8，4整除？解：如果56□2能被9整除，那么5＋6＋□＋2＝13＋□應(yīng)能被9整除，所以當(dāng)十位數(shù)是5，即四位數(shù)是5652時(shí)能被9整除；如果56□2能被8整除，那么6□2應(yīng)能被8整除，所以當(dāng)十位數(shù)是3或7，即四位數(shù)是5632或5672時(shí)能被8整除；如果56□2能被4整除，那么□2應(yīng)能被4整除，所以當(dāng)十位數(shù)是1，3，5，7，9，即四位數(shù)是5612，5632，5652，5672，5692時(shí)能被4整除。例4 五位數(shù)分析與解：已知以能被72整除，問(wèn)：A與B各代表什么數(shù)字？能被72整除。由六位數(shù)能被2整除，推知A可取0，2，4，6，8這五個(gè)值。先試取A=0。5．有一個(gè)能被24整除的四位數(shù)□23□，這個(gè)四位數(shù)最大是幾？最小是幾？6．從0，2，3，6，7這五個(gè)數(shù)碼中選出四個(gè)，可以組成多少個(gè)可以被8整除的沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)？7．在123的左右各添一個(gè)數(shù)碼，使得到的五位數(shù)能被72整除。利用棄九法可以計(jì)算一個(gè)數(shù)的九余數(shù)，還可以檢驗(yàn)四則運(yùn)算的正確性。在1～99這九十九個(gè)數(shù)中，個(gè)位數(shù)有十組1，2，3，?，9，都可劃掉；十位數(shù)也有十組1，2，3，?，9，也都劃掉。因此題中的數(shù)除以9余1。如果不等，那么這個(gè)減綠藤星教育（***）小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程法計(jì)算肯定不正確。分析與解：兩個(gè)因數(shù)的九余數(shù)相乘，所得的數(shù)的九余數(shù)應(yīng)當(dāng)?shù)扔趦蓚€(gè)因數(shù)的乘積的九余數(shù)。練習(xí)51．求下列各數(shù)除以9的余數(shù)：（1）7468251；（2）36298745；（3）2657348；（4）6678254193。一個(gè)數(shù)從右邊數(shù)起，第1，3，5，?位稱為奇數(shù)位，第2，4，6，?位稱為偶數(shù)位。例2 求下列各數(shù)除以11的余數(shù)：（1）41873；（2）296738185。如上題（2）中，（3217）247。所以例3相當(dāng)于求最后三位數(shù)191除以11的余數(shù)。所求數(shù)為987652413。將B=9代入A＋B=14，得A＝5。這一講重點(diǎn)學(xué)習(xí)具有“周期性”變化規(guī)律的問(wèn)題。（1）100247。同理，第2，6，10，14，?個(gè)數(shù)都相同，第3，7，11，15，?個(gè)數(shù)都相同，第4，8，12，16?個(gè)數(shù)都相同。例3 下面這串?dāng)?shù)的規(guī)律是：從第3個(gè)數(shù)起，每個(gè)數(shù)都是它前面兩個(gè)數(shù)之和的個(gè)位數(shù)。按照例3的方法找到一周期，因?yàn)檫@個(gè)周期很長(zhǎng)，所以也不是好方法。求這個(gè)數(shù)列前100個(gè)數(shù)的和。為了找出一個(gè)整數(shù)a自乘n次后，乘積的個(gè)位數(shù)字的變化規(guī)律，我們列出下頁(yè)的表格，看看a，a2，a3，a4，?的個(gè)位數(shù)字各是什么。999247。例3 求281282929的個(gè)位數(shù)字。3。比如，52除以3的余數(shù)是1，53除以3的余數(shù)與15=5除以3的余數(shù)相同。20時(shí)后，將這些細(xì)菌每7個(gè)分為一組，還剩下幾個(gè)細(xì)菌？分析與解：1時(shí)后有13=31（個(gè)）細(xì)菌，2時(shí)后有313=32（個(gè)）細(xì)菌??20時(shí)后，有320個(gè)細(xì)菌，所以本題相當(dāng)于“求320247。所以最后還剩2個(gè)細(xì)菌。這兩講除了復(fù)習(xí)鞏固學(xué)過(guò)的知識(shí)外，還要學(xué)習(xí)一些新的內(nèi)容。例2 把1～9這九個(gè)數(shù)字填到下面的九個(gè)□里，組成三個(gè)等式（每個(gè)數(shù)字只能填一次）：分析與解：如果從加法與減法兩個(gè)算式入手，那么會(huì)出現(xiàn)許多種情形。經(jīng)逐一驗(yàn)證，86，64和42均無(wú)解，只有當(dāng)中間減式為53時(shí)有如下兩組解：128247。7。為敘述方便，將原式改寫為：[A247。65=35；（3）46+24247?！?。（2）填個(gè)位。如果“學(xué)”＝2，那么要使三個(gè)“數(shù)”所代表的數(shù)字相加的和的個(gè)位數(shù)字為8，“數(shù)”只能代表數(shù)字6。同理，由左下式看出，“力”=8，988888=100，可將左下式簡(jiǎn)化為下中式，從而求出“學(xué)”=9，“習(xí)”=1。2＝222222，而被乘數(shù)各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字各不相同，所以“賽”≠2。（5）若“賽”＝8或9，仿上討論可知，不合題意。若G=5，則F=A=9，此時(shí)被乘數(shù)為695，無(wú)論C為何值，它與695的積不可能等于□5□5，與題意不符，所以G=0，F(xiàn)=A=4。至此，除數(shù)與商都已求出，其余未知數(shù)都可填出（見(jiàn)右式）。除法算式如上頁(yè)右式。（1）一根鋼軌重多少千克？1900247。綠藤星教育（***）小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程例2 王家養(yǎng)了5頭奶牛，7天產(chǎn)牛奶630千克，照這樣計(jì)算，8頭奶牛15天可產(chǎn)牛奶多少千克？分析：以1頭奶牛1天產(chǎn)的牛奶為單一量。答：可產(chǎn)牛奶2160千克。綜合列式為25600247。（1）1輛卡車1趟運(yùn)沙土多少噸？336247。（336247。12＝10（時(shí)）。4＝75（千米）。（3）剩下的工程增加30人后還需多少天完成？3600247。問(wèn)：每天要工作幾小時(shí)？6．食堂管理員去農(nóng)貿(mào)市場(chǎng)買雞蛋。例2 今年爸爸48歲，兒子20歲，幾年前爸爸的年齡是兒子的5倍？ 分析與解：今年爸爸與兒子的年齡差為“48——20”歲，因?yàn)槎说哪挲g差不隨時(shí)間的變化而改變，所以當(dāng)爸爸的年齡為兒子的5倍時(shí)，兩人的年綠藤星教育（***）小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程齡差還是這個(gè)數(shù)，這樣就可以用“差倍問(wèn)題”的解法。例4 今年兄弟二人年齡之和為55歲，哥哥某一年的歲數(shù)與弟弟今年的歲數(shù)相同，那一年哥哥的歲數(shù)恰好是弟弟歲數(shù)的2倍，請(qǐng)問(wèn)哥哥今年多少歲？ 分析與解：在哥哥的歲數(shù)是弟弟的歲數(shù)2倍的那一年，若把弟弟歲數(shù)看成一份，那么哥哥的歲數(shù)比弟弟多一份，哥哥與弟弟的年齡差是1份。2=39（歲）。問(wèn)：父子今年各多少歲？解法一：假設(shè)父親的年齡一直是兒子年齡的4倍，那么每過(guò)一年兒子增加一歲，父親就要增加4歲。問(wèn)：幾年后爺爺?shù)哪挲g等于三個(gè)孫子年齡之和？分析：今年三個(gè)孫子的年齡和為27＋23＋16=66（歲），爺爺比三個(gè)孫子的年齡和多78——66＝12（歲）。問(wèn)：父女兩人現(xiàn)在各多少歲？5．一家三口人，三人年齡之和是74歲，媽媽比爸爸小2歲，媽媽的年齡是兒子年齡的4倍。因此只要算出12里面有幾個(gè)2，就可以求出兔的只數(shù)。（42）=10（只），有兔16——10＝6（只）。2＝80，故小和尚有80人，大和尚有100－80＝20（人）。例4 雞、兔共100只，雞腳比兔腳多20只。例5 現(xiàn)有大、小油瓶共50個(gè)，每個(gè)大瓶可裝油4千克，每個(gè)小瓶可裝油2千克，大瓶比小瓶共多裝20千克。根據(jù)條件，要裝完這144噸鋼材還需要4536=9（輛）小卡車。問(wèn)：搬運(yùn)過(guò)程中共打破了幾只花瓶？分析：假設(shè)500只花瓶在搬運(yùn)過(guò)程中一只也沒(méi)有打破，500=120（元）。例8 小樂(lè)與小喜一起跳繩，小喜先跳了2分鐘，然后兩人各跳了3分鐘，一共跳了780下?？汕蟪鲂?lè)每分鐘跳（780——60）247。＋＝（元）。9＝16（噸）。解：小瓶有（45020）247。這樣雞腳比兔腳多200只，而實(shí)際上只多20只，這說(shuō)明假設(shè)的雞腳比兔腳多的數(shù)比實(shí)際上多200——20=180（只）。在下面的例題中，我們只給出一種假設(shè)方法。因此這類問(wèn)題也叫置換問(wèn)題。（42）=6（只），有雞166＝10（只）。問(wèn)：祖孫三人各多少歲？8．小樂(lè)問(wèn)劉老師今年有多少歲，劉老師說(shuō)：“當(dāng)我像你這么大時(shí)，你才3歲；當(dāng)你像我這么大時(shí)，我已經(jīng)42歲了。因而只需求出12里面有幾個(gè)2即可。事實(shí)上，20年后父親的年齡為兒子的年齡的2倍，根據(jù)剛才的假設(shè)，多增加的60歲，正好相當(dāng)于20年后兒子年齡的（4——2＝）2倍，因此，今年兒子的年齡為（204－20）247。2000年，父親的年齡是哥哥和弟弟年齡之和的2倍。由“和倍問(wèn)題”解得，哥哥今年的歲數(shù)為55247。（5——1）＝7（歲）。問(wèn)：雞蛋價(jià)格下調(diào)后是每千克多少元？7．。解：（60806020）247。解：（605）247。12＝10（時(shí)）。7）247。7=12（噸）。3247。（1）1臺(tái)磨面機(jī)1時(shí)磨面粉多少千克？2400247。5247。（2）95000千克能制造多少根鋼軌？95000247。問(wèn)：“小”代表什么數(shù)字？3．在下列各算式中，不同的漢字代表不同的數(shù)字相同的漢字代表相同的數(shù)字。例6 把左下方除法算式中的*號(hào)換成數(shù)字，使之成為一個(gè)完整的式子（各*所表示的數(shù)字不一定相同）。右式為所求豎式。例4 在□內(nèi)填入適當(dāng)?shù)臄?shù)字，使左下式的乘法豎式成立。（3）若“賽”＝4，則“數(shù)”＝6，積=666666。例2中的兩題形式類似，但題目特點(diǎn)并不相同，解法也不同，請(qǐng)同學(xué)們注意比較。因此“學(xué)”≠2。（3）填十位。7．將1～8分別填入下式的八個(gè)□內(nèi)，使算式取得最小值： □□□□□□□□。65＝0。通過(guò)分析，A，C，D，H應(yīng)盡可能大，且A應(yīng)最大，C，D次之，H再次之；B，E，F(xiàn)，G應(yīng)盡可能小，且B應(yīng)最小，E，F(xiàn)次之，G再次之。7＝8。82＝53＝97。因?yàn)樵诩臃ㄋ闶健?□=□中，等號(hào)兩邊的數(shù)相等，所以加法算式中的三個(gè)□內(nèi)的三個(gè)數(shù)的和是偶數(shù)；而減法算式□□=可以變形為加法算式□=□+□，所以減法算式中的三個(gè)□內(nèi)的三個(gè)數(shù)的和也是偶數(shù)。42＝20。b所得余數(shù)，隨著n的增大，必然會(huì)出現(xiàn)周期性