【正文】 47。（2）因為a247。4＝13??3知，7855的個位數(shù)與83的個位數(shù)相同，等于2，所以7855可分解為10a＋2。3。綠藤星教育（***）小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程例4 求下列各除法運(yùn)算所得的余數(shù)：（1）7855247。2＝14??1知，2929的個位數(shù)與91的個位數(shù)相同，等于9。4＝32知，28128的個位數(shù)與84的個位數(shù)相同，等于6。例3 求281282929的個位數(shù)字。4＝72??3，所以3291與33的個位數(shù)相同，等于7。4＝22??3，所以，291的個位數(shù)字與23的個位數(shù)字相同，等于8。例2 求291+3291的個位數(shù)字。999247。例1 求67999的個位數(shù)字。（3）當(dāng)a的個位數(shù)是2，3，7，8時，隨著n的增大，an的個位數(shù)按每四個數(shù)為一周期循環(huán)出現(xiàn)。（2）當(dāng)a的個位數(shù)是4，9時，隨著n的增大，an的個位數(shù)按每兩個數(shù)為一周期循環(huán)出現(xiàn)。為了找出一個整數(shù)a自乘n次后，乘積的個位數(shù)字的變化規(guī)律，我們列出下頁的表格，看看a，a2，a3，a4，?的個位數(shù)字各是什么。一般地，n個a相乘，叫做a的n次方，記作an，即本講主要講an的個位數(shù)的變化規(guī)律，以及an除以某數(shù)所得余數(shù)的變化規(guī)律。兩人以同樣的速度同時開始報數(shù)，當(dāng)兩人都報了100個數(shù)時，有多少次兩人報的數(shù)相同？6．A，B，C，D四個盒子中依次放有9，6，3，0個小球。這串?dāng)?shù)中第100個數(shù)是幾？前100個數(shù)之和是多少？4．有一列數(shù)，第一個數(shù)是6，以后每一個數(shù)都是它前面一個數(shù)與7的和的個位數(shù)。求這個數(shù)列前100個數(shù)的和。練習(xí)71．有一串很長的珠子，它是按照5顆紅珠、3顆白珠、4顆黃珠、2顆綠珠的順序重復(fù)排列的。（1001）247。例5 A，B，C，D四個盒子中依次放有8，6，3，1個球。按照例3的方法找到一周期，因為這個周期很長，所以也不是好方法。例4 在下面的一串?dāng)?shù)中，從第五個數(shù)起，每個數(shù)都是它前面四個數(shù)之和的個位數(shù)字。20=4??8知，第88個數(shù)與第8個數(shù)相同，所以第88個數(shù)是4。我們試著將這串?dāng)?shù)再多寫出幾位：綠藤星教育（***）小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程當(dāng)寫出第21，22位（豎線右面的兩位）時就會發(fā)現(xiàn)，它們與第1，2位數(shù)相同，所以這串?dāng)?shù)按每20個數(shù)一個周期循環(huán)出現(xiàn)。例3 下面這串?dāng)?shù)的規(guī)律是：從第3個數(shù)起，每個數(shù)都是它前面兩個數(shù)之和的個位數(shù)。由77247。這串?dāng)?shù)按照3，6，7，9的順序循環(huán)出現(xiàn)。所以，第2個數(shù)等于第6個數(shù)，是6；第3個數(shù)等于第11個數(shù)，是7。同理，第2，6，10，14，?個數(shù)都相同，第3，7，11，15，?個數(shù)都相同，第4，8，12，16?個數(shù)都相同。問：這串?dāng)?shù)中第24個數(shù)是幾？前77個數(shù)的和是多少？分析與解：因為第1，2，3，4個數(shù)的和等于第2，3，4，5個數(shù)的和，所以第1個數(shù)與第5個數(shù)相同。綠藤星教育（***）小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程例2 有一串?dāng)?shù)，任何相鄰的四個數(shù)之和都等于25。（2）150247。（1）100247。問：（1）第100盞燈是什么顏色？（2）前150盞彩燈中有多少盞藍(lán)燈？分析與解：這是一個周期變化問題。下面，我們通過一些例題作進(jìn)一步講解。年復(fù)一年，總是按照春、夏、秋、冬四季變化，這就是周期性變化規(guī)律。這一講重點(diǎn)學(xué)習(xí)具有“周期性”變化規(guī)律的問題。綠藤星教育（***）小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程7．七位數(shù)3A8629B是88的倍數(shù)，求A和B。5．求6．六位數(shù)除以11的余數(shù)。練習(xí)61．為使五位數(shù)6□295能被11整除，□內(nèi)應(yīng)當(dāng)填幾？2．用1，2，3，4四個數(shù)碼能排出哪些能被11整除的沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)？3．求能被11整除的最大的沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)。將B=9代入A＋B=14，得A＝5。因為A+B與AB同奇同偶，所以有在（1）中，A≤5與A≥7不能同時滿足，所以無解。又因為六位數(shù)能被11整除，所以（A＋8＋5）－（2＋7＋B）綠藤星教育（***）小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程＝AB＋4應(yīng)能被11整除，即AB+4=0或AB+4=11。分析與解：由99=911，且9與11互質(zhì)，所以六位數(shù)既能被9整除又能被11整除。所求數(shù)為987652413。調(diào)整“4321”，只要4調(diào)到奇數(shù)位，1調(diào)到偶數(shù)位，奇數(shù)位就比原來增大3，就可達(dá)到目的。分析與解：最大的沒有重復(fù)數(shù)字的九位數(shù)是987654321，由（9＋7＋5＋3＋1）（8＋6＋4＋2）＝5知，987654321不能被11整除。有3377，3773，7337，7733。所以例3相當(dāng)于求最后三位數(shù)191除以11的余數(shù)。11=72??7，117=4，所求余數(shù)是4。（91001101）247。例3 求除以11的余數(shù)。如上題（2）中，（3217）247。（17+112）32＝7，所以296738185除以11的余數(shù)是7。（2）奇數(shù)位之和為2＋6＋3＋1＋5=17，偶數(shù)位之和為9＋7＋8＋8＝32。11=7247。例2 求下列各數(shù)除以11的余數(shù)：（1）41873；（2）296738185。綠藤星教育（***）小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程一個數(shù)除以11的余數(shù)，與它的奇數(shù)位上的數(shù)字之和減去偶數(shù)位上的數(shù)字之和所得的差除以11的余數(shù)相同。分析與解：奇數(shù)位上的數(shù)字之和為1＋3＋6＋3=13，偶數(shù)位上的數(shù)字之和為8＋9＋7=24，因為2413=11能被11整除，所以1839673能被11整除。例如9位數(shù)768325419中，奇數(shù)位與偶數(shù)位如下圖所示：能被11整除的數(shù)的特征：一個數(shù)的奇數(shù)位上的數(shù)字之和與偶數(shù)位上的數(shù)字之和的差（大數(shù)減小數(shù)）如果能被11整除，那么這個數(shù)就能被11整除。一個數(shù)從右邊數(shù)起，第1，3，5，?位稱為奇數(shù)位，第2，4，6，?位稱為偶數(shù)位。求D。6789＝83810105。3．用棄九法檢驗下列各題計算的正確性：（1）228222＝50616；（2）334336＝112224；（3）23372428247。練習(xí)51．求下列各數(shù)除以9的余數(shù)：（1）7468251；（2）36298745；（3）2657348；（4）6678254193。例如，檢驗383801247。6≠7，所以這個算式不正確。上式中，被乘數(shù)的九余數(shù)是4，乘數(shù)的九余數(shù)是6，46＝24，24的九余數(shù)是6。分析與解：兩個因數(shù)的九余數(shù)相乘，所得的數(shù)的九余數(shù)應(yīng)當(dāng)?shù)扔趦蓚€因數(shù)的乘積的九余數(shù)。所以用棄九法檢驗運(yùn)算的正確性，只是一種粗略的檢驗。值得注意的是，這里我們用的是“可能正確”。等號右邊的九余數(shù)也是6。如果不等，那么這個減綠藤星教育（***）小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程法計算肯定不正確。例4 檢驗下面的減法算式是否正確：78321452167953＝5664192。上式中，三個加數(shù)的九余數(shù)依次為8，4，6，8+4+6的九余數(shù)為0；和的九余數(shù)為1。分析與解：若干個加數(shù)的九余數(shù)相加，所得和的九余數(shù)應(yīng)當(dāng)?shù)扔谶@些加數(shù)的和的九余數(shù)。因此題中的數(shù)除以9余1。利用高斯求和法，知此和是5050。本題還有其它簡捷的解法。所以這個數(shù)除以9余1。在1～99這九十九個數(shù)中，個位數(shù)有十組1，2，3，?，9，都可劃掉；十位數(shù)也有十組1，2，3，?，9，也都劃掉。例2 將自然數(shù)1，2，3，?依次無間隔地寫下去組成一個數(shù)***3?如果一直寫到自然數(shù)100，那么所得的數(shù)除以9的余數(shù)是多少？ 綠藤星教育（***）小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程分析與解：因為這個數(shù)太大，全部寫出來很麻煩，在使用棄九法時不能逐個劃掉和為9或9的倍數(shù)的數(shù)，所以要配合適當(dāng)?shù)姆治觥？谒阒?，6，5的和是9的倍數(shù)，又可劃掉，只剩下1。分析與解：利用棄九法，將和為9的數(shù)依次劃掉。利用棄九法可以計算一個數(shù)的九余數(shù)，還可以檢驗四則運(yùn)算的正確性。這種將和為9或9的倍數(shù)的數(shù)字劃掉，用剩下的數(shù)字和求除以9的余數(shù)的方法，叫做棄九法。但是，當(dāng)一個數(shù)的數(shù)位較多時，這種計算麻煩且易錯。利用這個性質(zhì)可以迅速地判斷一個數(shù)能否被9整除或者求出被9除的余數(shù)是幾。5．有一個能被24整除的四位數(shù)□23□，這個四位數(shù)最大是幾？最小是幾？6．從0，2，3，6，7這五個數(shù)碼中選出四個，可以組成多少個可以被8整除的沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)？7．在123的左右各添一個數(shù)碼，使得到的五位數(shù)能被72整除。練習(xí)41．6539724能被4，8，9，24，36，72中的哪幾個數(shù)整除？2．個位數(shù)是5，且能被9整除的三位數(shù)共有多少個？3．一些四位數(shù)，百位上的數(shù)字都是3，十位上的數(shù)字都是6，并且它們既能被2整除又能被3整除。當(dāng)A=0，B=1，C＝5時，六位數(shù)能被36整除，而且所得商最小，為150156247。它應(yīng)能被9整除，因此B＋C＝6或B＋C＝15。先試取A=0。要使所得的商最小，就要使這個六位數(shù)盡可能小。例6 要使六位數(shù)表什么數(shù)字？分析與解：因為36＝49，且4與9互質(zhì)，所以這個六位數(shù)應(yīng)既能被4整除又能被9整除。B可取0，3，6，9這4個值。由六位數(shù)能被2整除，推知A可取0，2，4，6，8這五個值。在解題順序上，應(yīng)先確定B所代表的數(shù)字，因為B代表的數(shù)字不受A的取值大小的影響，一旦B代表的數(shù)字確定下來，A所代表的數(shù)字就容易確定了。在這個范圍內(nèi)只有27能被9整除，所以A＝7。根據(jù)能被8整除的數(shù)的特征，要求綠藤星教育（***）小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程能被8整除，由此可確定B＝6。例4 五位數(shù)分析與解：已知以能被72整除，問：A與B各代表什么數(shù)字？能被72整除。解：因為組成的三位數(shù)能同時被2，5整除，所以個位數(shù)字為0。同理，判斷一個數(shù)能否被12整除，只需判斷這個數(shù)能否同時被3和4整除；判斷一個數(shù)能否被72整除，只需判斷這個數(shù)能否同時被8和9整除；如此等等。根據(jù)整除的性質(zhì)3，我們可以把判斷整除的范圍進(jìn)一步擴(kuò)大。綠藤星教育（***）小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程例2 在四位數(shù)56□2中，被蓋住的十位數(shù)分別等于幾時，這個四位數(shù)分別能被9，8，4整除？解：如果56□2能被9整除，那么5＋6＋□＋2＝13＋□應(yīng)能被9整除，所以當(dāng)十位數(shù)是5，即四位數(shù)是5652時能被9整除；如果56□2能被8整除，那么6□2應(yīng)能被8整除，所以當(dāng)十位數(shù)是3或7，即四位數(shù)是5632或5672時能被8整除；如果56□2能被4整除，那么□2應(yīng)能被4整除，所以當(dāng)十位數(shù)是1，3，5，7，9，即四位數(shù)是5612，5632，5652，5672，5692時能被4整除。例1 在下面的數(shù)中，哪些能被4整除？哪些能被8整除？哪些能被9整除？ 234，789，7756，8865。（5＇）一個數(shù)除以8的余數(shù)，與它的末三位除以8的余數(shù)相同。再根據(jù)整除的性質(zhì)2，由（8＋3＋7）能被9整除，就能判斷837能被9整除。837＝800＋30＋7 ＝8100＋310＋7 ＝8（99＋1）＋3（9＋1）＋7 ＝899＋8＋39＋3＋7 ＝（899＋39）＋（8＋3＋7）。類似地可以證明（5）。因為任何自然數(shù)都能分成一個整百的數(shù)與這個數(shù)的后兩位數(shù)之和，所以由整除的性質(zhì)2知，只要這個數(shù)的后兩位數(shù)能被4（或25）整除，這個數(shù)就能被4（或25）整除。其中（1）（2）（3）是三年級學(xué)過的內(nèi)容，（4）（5）（6）是本講要學(xué)習(xí)的內(nèi)容。（5）一個數(shù)的末三位數(shù)如果能被8（或125）整除，那么這個數(shù)就能被8（或125）整除。（3）一個數(shù)各個數(shù)位上的數(shù)字之和如果能被3整除，那么這個數(shù)就能被3整除。為了進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)的整除性，我們把學(xué)過的和將要學(xué)習(xí)的一些整除的數(shù)字特征列出來：（1）一個數(shù)的個位數(shù)字如果是0，2，4，6，8中的一個，那么這個數(shù)就能被2整除。例如，126能被9整除，又能被7整除，且9與7互質(zhì)，那么126能被97＝63整除。例如，21與15都能被3整除，那么21＋15及2115都能被3整除。例如，48能被16整除，16能被8整除，那么48一定能被8整除。，十位數(shù)比個位數(shù)大的數(shù)共有多少個？第四講我們在三年級已經(jīng)學(xué)習(xí)了能被2，3，5整除的數(shù)的特征，這一講我們將討論整除的性質(zhì)，并講解能被4，8，9整除的數(shù)的特征。，敲打的次數(shù)等于該鐘點(diǎn)數(shù)，每半點(diǎn)鐘也敲一下。，末項是93，公差是4的等差數(shù)列的和。2］＋3＝113（只）。加上原有的3只球，盒子里共有球110＋3＝113（只）。第一次多了2只球，第二次多了22只球??第十次多了210只球。例6 盒子里放有三只乒乓球，一位魔術(shù)師第一次從盒子里拿出一只球，將它變成3只球后放回盒子里；第二次又從盒子里拿出二只球，將每只球各變成3只球后放回盒子里??第十次從盒子里拿出十只球，將每只球各變成3只球后放回到盒子里。2=108（根）。2］12 ＝768（厘米2）。問：（1）最大三角形的面積是多少平方厘米？（2）整個圖形由多少根火柴棍擺成？分析：最大三角形共有8層，從上往下擺時，每層的小三角形數(shù)目及所用火柴數(shù)目如下表： 綠藤星教育（***）小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程由上表看出，各層的小三角形數(shù)成等差數(shù)列，各層的火柴數(shù)也成等差數(shù)列。利用等差數(shù)列求和公式及求項數(shù)和末項的公式，可以解決各種與等差數(shù)列求和有關(guān)的問題。解：末項=25＋3（401）＝142，和=（25＋142）40247。2＝1275。例3 3＋7＋11＋?＋99＝？分析與解：3，7，11，?，99是公差為4的等差數(shù)列，項數(shù)=（99－3）247。根據(jù)首項、末項、公差的關(guān)系，可以得到 項數(shù)=（末項首項）247。2=441。例2 11＋12＋13＋?＋31＝？分析與解：這串加數(shù)11，12，13，?，31是等差數(shù)列，首項是11，末項是31，共有3111＋1＝21（項）。2＝1999000。例1 1＋2＋3＋?＋1999＝？分析與解：這串加數(shù)1，2，3，?，1999是等差數(shù)列，首項是1，末項是1999，共有1999個數(shù)。由高斯的巧算方法，得到等差數(shù)列的求和公式： 和=（首項+末項）項數(shù)247。例如：（1）1，2，3，4，5，?，100；（2）1，3，5，7，9，?，99；（3）8，15，22，29，36，?，71。若干個數(shù)排成一列稱為數(shù)列，數(shù)列中的每一個數(shù)稱為一項，其中第一項稱為首項，最后一項稱為末項。2＝5050。綠藤星教育（***）小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程1～100正好可以分成這樣的50對數(shù)，每對數(shù)的和都相等。第3講 高斯求和德國著名數(shù)學(xué)家高斯幼年