【正文】 2πR 2＝2π R2＝32π.　　一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為_(kāi)______________.　 　　【答案】12+π　 　　【解析】幾何體為一個(gè)長(zhǎng)方體和一個(gè)等高的　圓柱的組合體，其中長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高　 　　分別為 1，圓柱的底面直徑為 2，　　高位 1，所以該幾何體的體積為　 2????　　　　　　　　　　　已知點(diǎn) P，A，B，C，D 是球 O 表面上的點(diǎn)，PA⊥平面 ABCD，四邊形 ABCD 是邊長(zhǎng)為 2 正方形?！　窘馕觥坑扇晥D可知該幾何體為一個(gè)長(zhǎng)方體在中　 　　間挖去了一個(gè)等高的圓柱，其中長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、　高分別為 1，圓柱的底面直徑為 2，所以該　　幾何體的表面積為長(zhǎng)方體的表面積加圓　柱的側(cè)面積再減去圓柱的底面積，　即為 　　　2()138??????如圖，正方體 的棱長(zhǎng)為 1，　 　　ABCD分別為線段 上的點(diǎn)，　 　　,EF1,則三棱錐 的體積為_(kāi)___________. 　1?6【解析】法一： 點(diǎn)在線段 上，所以 ，　　1A211???DES又因?yàn)?點(diǎn)在線段 上，　FCB1所以點(diǎn) 到平面 的距離為 1,即 ，所以DE?h.　61233111 ??????SVDFED法二：使用特殊點(diǎn)的位置進(jìn)行求解，不失一般性令 點(diǎn)在 點(diǎn)處， 點(diǎn)在 點(diǎn)處，則EAFC。已知球的半徑為 ，所以正方體的棱長(zhǎng)為 2，　3可求得正三棱錐 ABC 在面 ABC 上的高為 ，　P?2所以球心到截面 ABC 的距離為 　　　3??1若一個(gè)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是面積為 的半圓面，則該圓錐的體積為 。A1 C1B1BCAD第第11第第1如圖，在正三棱柱 1CBA?中，D 為棱 1A的中點(diǎn)，若截面 C?是面積為 6 的直角三角形，則此三棱柱的體積為 .　　答案 38　　　　　　　　三：解答題　　 如圖，長(zhǎng)方體 中，底面 是正方形，　1DCBA?1CBA是 的中點(diǎn)， 是棱 上任意一點(diǎn)。　　求四棱錐 PABCD 的體積.　 　　解：（Ⅰ）因?yàn)?　　　,.PABCDABCPBD???平 面 平 面 所 以又 是平面 PAC 內(nèi)的兩條相較直線，　,CBD所以 BD 平面 PAC，而 平面 PAC，所以 .　　（Ⅱ）設(shè) AC 和 BD 相交于點(diǎn) O，連接 PO，由（Ⅰ）知，BD 平面 PAC，　　所以 是直線 PD 和平面 PAC 所成的角，從而 .　P?DPO?30??由 BD 平面 PAC， 平面 PAC，知 .　　??B?在 中，由 ，得 PD=2OD.　　　RtOD:30??因?yàn)樗倪呅?ABCD 為等腰梯形， ，所以 均為等腰直角三角形，　AC,ABC:從而梯形 ABCD 的高為 于是梯形 ABCD 面積　 　　11(42)32B????　　　1(4)????在等腰三角形ＡＯＤ中， 　　　,2,ODA?所以 　24, ??故四棱錐 的體積為 .　ABC?19123VSP???如圖，幾何體 是四棱錐，△ 為正三角形， .　　EDABD,CBDE?(Ⅰ)求證： ；　　?(Ⅱ)若∠ ，M 為線段 AE 的中點(diǎn)，　　120?求證： ∥平面 .　B【答案】(I) 設(shè) 中點(diǎn)為 O，連接 OC，OE ，　則由 知 ， ，　C?又已知 ，所以 平面 OCE.　　　ED所以 ，即 OE 是 BD 的垂直平分線，　B?所以 .　?(II)取 AB 中點(diǎn) N，連接 ，　 　　,MD∵M(jìn) 是 AE 的中點(diǎn)，∴ ∥ ，∵△ 是等邊三角形，∴ .　BEADNAB?由∠BCD＝120176。＝90176。　 　　D? 因?yàn)?，　 　　ABD?? 所以 平面 ?！?　　?ABCD則 ， 。因?yàn)?， 所以 。 ，D ，E 分別為 AC，AB 的中點(diǎn)，點(diǎn) F 為線段 CD 上的一點(diǎn)，將△ADE 沿 DE 折起到△A 1DE 的位置，使 A1F⊥CD，如圖 2。 C= 213??．　如圖，直三棱柱 ， ， AA′=1，點(diǎn) M，N 分別為//?90??,和 的中點(diǎn)。,AB，由已知 =90,BAC??　　三棱柱 39。?平面 39?！?又∵ 平面 ，∴ 。　　11B?F1B11F又∵ 平面 ，且 平面 ，∴ 。　 　　（1） 求三棱錐 AMCC1 的體積；　?。?） 當(dāng) A1M+MC 取得最小值時(shí)，求證：B 1M⊥平面 MAC。S 四邊形 OBED＝ .　 　313 321如圖，在四面體 PABC 中，PC ⊥AB，PA ⊥BC ，　點(diǎn) D，E，F(xiàn) ， G 分別是棱 AP，AC ，BC，PB 的中點(diǎn)．　(1)求證：DE ∥ 平面 BCP；　(2)求證：四邊形 DEFG 為矩形；　　(3)是否存在點(diǎn) Q，到四面體 PABC 六條棱的中點(diǎn)的距離相等？ 　　說(shuō)明理由．　解：(1)證明：因?yàn)?D，E 分別為 AP，AC 的中點(diǎn)，所以 DE∥PC.　　又因?yàn)?DE?平面 BCP，PC?平面 BCP，所以 DE∥平面 BCP.　　(2)因?yàn)?D、E、 F、G 分別為 AP、AC、BC 、PB 的中點(diǎn)，　　所以 DE∥PC∥FG，DG∥AB∥EF，　所以四邊形 DEFG 為平行四邊形．　又因?yàn)?PC⊥AB，所以 DE⊥DG，所以平行四邊形 DEFG 為矩形．　 　　(3)存 在點(diǎn) Q 滿足條件，理由如下：　 　　連接 DF，EG ，設(shè) Q 為 EG 的中點(diǎn)．　由(2)知，DF ∩EG＝Q，且 QD＝QE＝QF ＝QG＝ EG.　　　12分別取 PC、AB 的中點(diǎn) M，N，連接 ME、EN 、NG、MG、MN.　與(2)同理，可證四邊形 MENG 為矩形，其對(duì)角線交點(diǎn)為 EG 的中點(diǎn) Q，　　且 QM＝ QN＝ EG， 所以 Q 為滿足條件的點(diǎn)．　 　　121如圖，在四棱錐 P－ABCD 中，平面 PAD⊥平面 ABCD，　AB＝AD ，∠BAD＝60176。AB ＝2AD ，　　由余弦定理得 BD＝ AD，　3從而 BD2＋AD 2＝AB 2，故 BD⊥AD. 又 PD⊥底面 ABCD，可得 BD⊥PD，　所以 BD⊥平面 PAD，故 PA⊥BD.　(2)如圖，作 DE⊥PB，垂足為 PD⊥底面 ABCD，則 PD⊥BC.　　由(1)知 BD⊥AD，又 BC∥AD，所以 BC⊥BD .　故 BC⊥平面 PBD，BC⊥DE.　 　　則 DE⊥平面 PBC.　由題設(shè)知 PD＝1，則 BD＝ ，PB＝2.　　3根據(jù) DE　　AD 是 BC 上的高，沿 AD 把 △ABD 折起，使∠BDC＝90176。cos45176。 AE＋ CE　　在△ABD 中，由余弦定理得　 　　BD2＝AD 2＋AB 2－2AD所以∠GDB＝30176。 ，　所以 BD⊥AD .　　又 AD∩D1D＝D ，所以 BD⊥ 平面 ADD1A1，　又 AA1?平面 ADD1A1，所以 AA1⊥BD .　(2)連接 AC，A 1C1.　　　設(shè) AC∩BD＝E，連接 EA1.　　因?yàn)樗倪呅?ABCD 為平行四邊形，　 　　所以 EC＝ AC，由棱臺(tái)定義及 AB＝2AD＝2A 1B1 知，A 1C1∥EC 且 A1C1＝EC，　12所以四邊形 A1ECC1 為平行四邊形．因此 CC1∥EA 1，　又因?yàn)?EA1?平面 A1BD，CC 1?平面 A1BD，　　所以 CC1∥平面 A1BD.　　。＋30176。＝3AD 2.　　所以 AD2＋BD 2＝AB 2，所以 AD⊥BD.　又 AD∩D1D＝D ，所以 BD⊥ 平面 ADD1A1.　　　又 AA1?平面 ADD1A1，所以 AA1⊥BD .　證法二：　因?yàn)?D1D⊥平面 ABCD，且 BD?平面 ABCD，　　所以 BD⊥D 1D.　取 AB 的中點(diǎn) G，連接 DG.　在△ABD 中，由 AB＝2AD 得 AG＝AD ，　 　　又∠BAD＝60176。PA＝ 1＝ .　13 1352 562如圖，在四棱臺(tái) ABCD－A 1B1C1D1 中，D 1D⊥平面 ABCD，　 　　底面 ABCD 是平行四邊形，AB＝2AD，AD＝A 1B1，∠BAD＝60176。sin45176。＝ .　　12 12 12 2 2 32∴表面積 S＝ 3＋ ＝ .　　　12 32 3＋ 321如圖，四邊形 ABCD 為正方形，