【正文】 　　QA⊥平面 ABCD，PD ∥QA，QA＝AB＝ PD.　12(1)證明：PQ ⊥ 平面 DCQ；　 　　(2)求棱錐 Q－ ABCD 的體積與棱錐 P－DCQ 的體積的比值．　解：(1)由條件知 PDAQ 為直角梯形．　　因?yàn)?QA⊥平面 ABCD，所以平面 PDAQ⊥平面 ABCD，交線為 AD.　又四邊形 ABCD 為正方形，DC⊥AD，　所以 DC⊥平面 PDAQ，可得 PQ⊥DC.　在直角梯形 PDAQ 中可得 DQ＝PQ ＝ PD，則 PQ⊥QD . 所以 PQ⊥平面 DCQ.　　22(2)設(shè) AB＝a.　 　　由題設(shè)知 AQ 為棱錐 Q－ABCD 的高，所以棱錐 Q－ABCD 的體積 V1＝ a3.　　13由(1)知 PQ 為棱錐 P－DCQ 的高，而 PQ＝ a，△DCQ 的面積為 a2，　222所以棱錐 P－DCQ 的體積 V2＝ a3.　　　13故棱錐 Q－ABCD 的體積與棱錐 P－DCQ 的體積的比值為 1.　　　　　　如圖，四棱錐 P－ABCD 中，PA⊥底面 ABCD，AB ⊥AD ，　點(diǎn) E 在線段 AD 上，且 CE∥AB.　　(1) 求證：CE⊥平面 PAD；　 　　(2) 若 PA＝AB＝1，AD＝3，CD＝ ，∠CDA＝45176。BD 得 DE＝ .　　　32即棱錐 D－PBC 的高為 .　 　321如圖，在△ABC 中，∠ABC＝45176。 ，　　所以△ABD 為正三角形，因?yàn)?F 是 AD 的中點(diǎn)，所以 BF⊥AD.　　因?yàn)槠矫?PAD⊥平面 ABCD，BF ?平面 ABCD，　 　　平面 PAD∩平面 ABCD＝AD，所以 BF⊥平面 PAD.　又因?yàn)?BF?平面 BEF，所以平面 BEF⊥平面 PAD.　　　　　 　　　　　 　　　　　　　　　　　1如圖，四棱錐 P－ABCD 中，底面 ABCD 為平行四邊形，　∠DAB＝60176?！　　窘馕觥?（1）由已知可得 AE=3，BF=4，　 　　則折疊完后 EG=3，GF=4，又因?yàn)?EF=5，　所以可得 EGF?　又因?yàn)?C底 面 ,可得 CEG?，即 CF面 所以平面 DEG⊥平面 CFG.　過(guò) G 作 GO 垂直于 EF，GO 即為四棱錐 GEFCD 的高，所以所求體積為1125033DECFSO????正 方 形　　　1如圖所示，正方形 ABD與直角梯形 A所在平面互　 　　相垂直， 90??， E/， 2?F.　　?、?求證： /平面 ；　 　?、?求四面體 F的體積.　(Ⅰ)證明：設(shè) ACBO??，取 中點(diǎn) G，　連結(jié) G,，所以， /12DE.　因?yàn)?EF/， F，所以 A/?O，　 　　從而四邊形 A是平行四邊形， .　因?yàn)??平面 B, ?平面 B,　所以 /O平面 ，即 /C平面 E. 　　　（Ⅱ）解：因?yàn)槠矫?D?平面 ， D?,　　所以 平面 EF. 　因?yàn)?A/, 90???, 2?AF，　所以 ?的面積為 12?， 　　　所以四面體 BDEF的體積 ?BSDEF343. 　　　1如圖，矩形 中， 平面 ， 為 上的點(diǎn)，且 平面 .　AC?A,CF?EBF?ACE（1）求證： 平面 ；　（2）求證： ∥平面 .　　EB【答案】解：（1）證明： 平面 ， ∥ 　　D?EDB平面 ，則 　　B??A又 平面 ，則 　FCF?平面 ?。?）證明：依題意可知： 是 中點(diǎn)　GAC平面 ，則 ，　 　　EB而 是 中點(diǎn)在△ 中， ∥ 　　　 B?EAE又 ∥ 　 AFDG??平 FD平A　 B　 　C　　　D　F　 　E　A　 B　 　C　　　G　F　 　E　　　D　O　1 如圖 ABEDFC 為多面體，平面 ABED 與平面 ACFD 垂直，　　點(diǎn) O 在線段 AD 上，OA＝1， OD＝2，　　△OAB，△OAC，△ODE， △ODF 都是正三角形．　(1)證明直線 BC∥EF；　　(2)求棱錐 F－OBED 的體積．　　【解答】 (1)證明：設(shè) G 是線段 DA 與 EB 延長(zhǎng)線的交點(diǎn)，　　由于△OAB 與△ODE 都是正三角形，OA＝1，OD＝2，　所以 OB 綊 DE，OG＝OD ＝ 2.　12同理，設(shè) G′是線段 DA 與 FC 延長(zhǎng)線的交點(diǎn)，有 OC 綊 DF，OG ′＝OD ＝2，又由于 G 和 G′都12在線段 DA 的延長(zhǎng)線上，所以 G 與 G′重合．　在△GED 和△ GFD 中，由 OB 綊 DE 和 OC 綊 DF，　12 12可知 B 和 C 分別是 GE 和 GF 的中點(diǎn)．　　所以 BC 是△GEF 的中位線，故 BC∥EF.　(2)由 OB＝1， OE＝2，∠EOB＝60176?！? ， 1C11C???1BC由（1）知， 平面 ，∴ ∥ ?！?　　1E， ， 11E??， AD?1BC又∵ 平面 ，∴ 平面 平面 。39。中點(diǎn)　　所以 /39。 　　　MN//AC (Ⅱ)求三棱錐 的體積?！?　　解：（1）因?yàn)?D,E 分別為 AC,AB 的中點(diǎn)，　所以 DE∥ DE?平面 A1CB,所以 DE∥平面 A1CB.　　?。?）由已知得 AC⊥BC 且 DE∥BC,所以 DE⊥AC.　 　　所以 DE⊥A 1D,DE⊥CD. 所以 DE⊥平面 A1DC.　而 A1F ?平面 A1DC,　　所以 DE⊥A A1F⊥CD,所以 A1F⊥平面 A1F⊥BE 　　?。?）線段 A1B 上存在點(diǎn) Q,使 A1C⊥平面 ：如圖， 　　　分別取 A1C,A1B 的中點(diǎn) P,Q,則 PQ∥BC. 　又因?yàn)?DE∥BC,所以 DE∥ DEQ 即為平面 DEP.　由（2）知 DE⊥平面 A1DC,所以 DE⊥A 1C.　　又因?yàn)?P 是等腰三角形 DA1C 底邊 A1C 的中點(diǎn)， 　　　所以 A1C⊥DP, 所以 A1C⊥平面 DEP,從而 A1C⊥平面 DEQ.　故線段 A1B 上存在點(diǎn) Q,使得 A1C⊥平面 DEQ.　直三棱柱 ABC A1B1C1 中，AB=A A 1 ， = 　　　B?2?（Ⅰ）證明 ?！　?B 因?yàn)?，所以 平面 ，所以 平面 。　 　　AM 因?yàn)?是 的中點(diǎn)，所以 ?！E 因?yàn)?是 的中點(diǎn)， 所以 ?！　、?證明：直線 B1D1⊥平面 ACC2A2；　 　?、?現(xiàn)需要對(duì)該零部件表面進(jìn)行防腐處理，　　已知 AB=10， A1B1=20，AA 2=30，AA 1=13（單位：厘米） ，　每平方厘米的加工處理費(fèi)為 元，需加工處理費(fèi)多少元？　 　　解：（Ⅰ）因?yàn)樗睦庵?2CDAB?的側(cè)面是全等的矩形，　所以 2AB?， 2. 又因?yàn)?A??，　所以 平面 ABCD. 連接 BD，因?yàn)??平面 ABCD，所以 2ABD?.　　因?yàn)榈酌?ABCD 是正方形，所以 ?. 　根據(jù)棱臺(tái)的定義可知，BD 與 B1 D1 共面. 　 　　又已知平面 ABCD∥平面 AC，且平面 1B平面 C?，　平面 1BD?平面 11?，所以 B1 D1∥BD . 于是 　　由 2A?， ，B 1 D1∥BD ，可得 21A， 1B?.　　　又因?yàn)?，所以 ?平面 . ?。á颍┮?yàn)樗睦庵?2A?的底面是正方形，側(cè)面是全等的矩形，所以　 2 21 ()40430(cm)SS?????????四 棱 柱 上 底 面 四 棱 柱 側(cè) 面.　　　又因?yàn)樗睦馀_(tái) 1BC的上、下底面均是正方形，側(cè)面是全等的等腰梯形，　所以 22 11()BABh四 棱 臺(tái) 下 底 面 四 棱 臺(tái) 側(cè) 面 等 腰 梯 形 的 高()　　　2 204(0)3[0]0cm?????. 　　　于是該實(shí)心零部件的表面積為 212340(c)S??，　　故所需加工處理費(fèi)為 ..48??（元）. 　 　　如圖所示，在四棱錐 中， 平面 ， ， ， 是 的PABCD?PAD/BCPAD?EPB中點(diǎn)， 是 上的點(diǎn)且 ， 為△ 中 邊上的高.　　FCFH（1）證明： 平面 ；　H?（2）若 ， ， ，求三棱錐 的體積；　　1?21?EF?（3）證明： 平面 .　EPAB【解析】 （1）證明：因?yàn)?平面 ，　 　　D所