代后昆二次函數(shù)每日一題-wenkub
2023-06-22 15:20:24 本頁面
【正文】 M在y軸上的拋物線與直線y=x+1相交于A、B兩點，且點A在x軸上，點B的橫坐標為2，連結(jié)AM、BM．（1）求拋物線的函數(shù)關(guān)系式；（2）判斷△ABM的形狀，并說明理由；（3）把拋物線與直線y=x的交點稱為拋物線的不動點．若將（1）中拋物線平移，使其頂點為（m，2m），當(dāng)m滿足什么條件時，平移后的拋物線總有不動點．【解答】（1）∵A點為直線y=x+1與x軸的交點，∴A（﹣1，0），又B點橫坐標為2，代入y=x+1可求得y=3，∴B（2，3），∵拋物線頂點在y軸上，∴可設(shè)拋物線解析式為y=ax2+c，把A、B兩點坐標代入可得，解得，∴拋物線解析式為y=x2﹣1；（2）△ABM為直角三角形．理由如：由（1）拋物線解析式為y=x2﹣1可知M點坐標為（0，﹣1），∴AM=，AB===3，BM==2，∴AM2+AB2=2+18=20=BM2，∴△ABM為直角三角形；（3）當(dāng)拋物線y=x2﹣1平移后頂點坐標為（m，2m）時，其解析式為y=（x﹣m）2+2m，即y=x2﹣2mx+m2+2m，聯(lián)立y=x，可得，消去y整理可得x2﹣（2m+1）x+m2+2m=0，∵平移后的拋物線總有不動點，∴方程x2﹣（2m+1）x+m2+2m=0總有實數(shù)根，∴△≥0，即（2m+1）2﹣4（m2+2m）≥0，解得m≤，即當(dāng)m≤時，平移后的拋物線總有不動點．【例29】 若二次函數(shù)y=﹣x2+2x+m2+1的最大值為4，則實數(shù)m的值為（ ?。〢． B． C．177。4；再根據(jù)△APB是等腰直角三角形，可以確定P（0，4）或（0，﹣4），再根據(jù)待定系數(shù)法求解．【解答】解：根據(jù)題意，得令y=0，則x2﹣|x|﹣12=0，從而x=177。4．又△APB是等腰直角三角形，可以確定P（0，4）或（0，﹣4），①把（﹣4，0），（4，0），（0，4）代入y=ax2+bx+c，得，解得：a=，b=0，c=4．②把（﹣4，0），（4，0），（0，﹣4）代入y=ax2+bx+c，得，解得：a=﹣，b=0，c=﹣4．故答案為a=，b=0，c=4或a=﹣，b=0，c=﹣4．【例6】 已知二次函數(shù)y=﹣x2﹣mx﹣m+1（x為自變量）（1）若該函數(shù)的圖象與x軸有兩個交點，求m的取值范圍；（2）在（1）的情況下，設(shè)函數(shù)圖象與x軸的兩個交點分別為AB，且A點在B點的左邊，兩點中至少有一點在原點的右邊，又設(shè)函數(shù)圖象與y軸交于點C，若以A、B、C三點為頂點的△ABC為等腰三角形，求m的值并寫出相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式．【解答】解：（1）∵二次函數(shù)y=﹣x2﹣mx﹣m+1與x軸有兩個交點∴△=（﹣m）2﹣4（﹣1）（﹣m+1）=m2﹣4m+4=（m﹣2）2＞0∴m的取值范圍為：m≠2的任何實數(shù)．（2）令y=0，則﹣x2﹣mx﹣m+1=0解得：x1=1﹣m，x2=﹣1∴點A為（﹣1，0），點B為（1﹣m，0）∵A點在B點的左邊，兩點中至少有一點在原點的右邊∴A點中原點左側(cè)，B點中原點右側(cè)又∵函數(shù)圖象與y軸交于點C，即點C中y軸上，且點C為（0，1﹣m）當(dāng)以A．B．C三點為頂點的△ABC為等腰三角形時分情況討論：①若CA=CB，即A，B關(guān)于y軸對稱，那么﹣1+（1﹣m）=0，解得m=0；二次函數(shù)y=﹣x2+1②若AB=AC，則AB2=AC2，∵AC2=1+（1﹣m）2，AB2=（1﹣m+1）2∴1+（1﹣m）2=（1﹣m+1）2，解得m=1，此時點B為（0，0），不合題意，故舍去；③若BA=BC，則BA= ，BC=2﹣m，則=2﹣m，解得：m=﹣二次函數(shù)y=﹣x2 x+1．【例7】 已知二次函數(shù)y=ax2+bx的圖象如圖所示，一元二次方程ax2+bx+c=0有實數(shù)根，則c的最大值為 ．【解答】解：（法1）∵拋物線的開口向上，頂點縱坐標為﹣5，∴a＞0．=﹣5，即b2=20a，∵一元二次方程ax2+bx+c=0有實數(shù)根，∴△=b2﹣4ac≥0，即20a﹣4ac≥0，即20﹣4c≥0，解得c≤5，∴c的最大值為5．（法2）一元二次方程ax2+bx+c=0有實數(shù)根，可以理解為y=ax2+bx和y=﹣c有交點，可見，﹣c≥﹣5，∴c≤5，∴c的最大值為5．故答案是：5．【例8】 已知一種水果的批發(fā)單價與批發(fā)量的函數(shù)關(guān)系如圖（1）所示．（1）當(dāng)批發(fā)量為40千克時，批發(fā)單價為 元/千克．（2）某經(jīng)銷商銷售該種水果的日銷量與零售價之間的函數(shù)關(guān)系如圖（2）所示．①求日銷量y（千克）與零售價x（元/千克）之間的函數(shù)關(guān)系式；②如果經(jīng)銷商日銷量y（千克）為整數(shù)，零售價x（元/千克）滿足條件5＜x＜（），求經(jīng)銷商一天能獲得的最大利潤．【解答】解：（1）由圖可知，批發(fā)單價為5元/千克；（2）①設(shè)日銷量與零售價之間的函數(shù)關(guān)系為y=kx+b，將（6，80）（7，40）代入得，解得，所以，日銷量與零售價之間的求函數(shù)關(guān)系式為y=﹣40x+320；②由方程y=﹣40x+320，x滿足條件5＜x＜，得，﹣40+320＜y＜﹣405+320，得，116＜y＜120，∴y
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