代后昆二次函數每日一題(編輯修改稿)
2025-07-04 15:20 本頁面
【文章內容簡介】 ）令y=0，則x2+x﹣2=0，解得：x=﹣4或1，則A的坐標是（﹣4，0），B的坐標是（1，0）；（3）x2+x﹣2=0中令x=0，則y=﹣2，則C的坐標是（0，﹣2）．設AC的解析式是y=kx+b，則，解得：，則直線AC的解析式是y=﹣x﹣2．設與AC平行，且與拋物線在第三象限只有一個公共點的直線的解析式是y=﹣x+b，則﹣x+b=x2+x﹣2，即x2+4x﹣（4+2b）=0，△=16+4（4+2b）=0，解得：b=﹣4．則x=﹣2．把x=﹣2代入y=x2+x﹣2得y=﹣3．則M的坐標是（﹣2，﹣3）．【例13】 如果拋物線的頂點到軸的距離是，那么的值等于（ ）A． B． C． D．【解答】解：根據題意，解得c=8或14．故選C．【例14】 如圖，已知拋物線經過點和⑴求這條拋物線的解析式．⑵設此拋物線與直線相交于點、（點在點的右側），平行于軸的直線()與拋物線交于點，與直線交于點，交軸于點，求線段的長（用含的代數式表示）．⑶在條件⑵的情況下，連接、是否存在的值，使的面積最大？若存在，請求出的值，若不存在，請說明理由．【解答】解：（1）由題意把點（1，﹣5）、（﹣2，4）代入y=x2+bx+c得：，解得b=﹣2，c=﹣4，（3分）∴此拋物線解析式為：y=x2﹣2x﹣4；（2）由題意得：，∴x2﹣3x﹣4=0，解得：x=4或x=﹣1（舍），∴點B的坐標為（4，4），將x=m代入y=x條件得y=m，∴點N的坐標為（m，m），同理點M的坐標為（m，m2﹣2m﹣4），點P的坐標為（m，0），∴PN=|m|，MP=|m2﹣2m﹣4|，∵0＜m＜+1，∴MN=PN+MP=﹣m2+3m+4；（3）作BC⊥MN于點C，則BC=4﹣m，OP=m，S=MN?OP+MN?BC，=2(﹣m2+3m+4)=﹣2(m﹣）2+12，∵﹣2＜0，∴當m﹣=0，則m=時，S有最大值．【例15】 如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=x2經過平移得到拋物線y=x2﹣3x，其對稱軸與兩段拋物線所圍成的陰影部分的面積為 ?。窘獯稹拷猓喝鐖D，∵y=x2﹣3x=（x﹣3）2﹣，∴平移后拋物線的頂點坐標為（3，﹣），對稱軸為直線x=3，當x=3時，y=32=，∴平移后陰影部分的面積等于如圖三角形的面積，（+）3=．故答案為：．【例16】 如圖，正方形ABCD的邊長為4cm，動點P、Q同時從點A出發(fā)，以1cm/s的速度分別沿A→B→C和A→D→C的路徑向點C運動，設運動時間為x（單位：s），四邊形PBDQ的面積為y（單位：cm2），則y與x（0≤x≤8）之間函數關系可以用圖象表示為（ ）A． B． C． D．【解答】解：①0≤ x≤4時，∵正方形的邊長為4cm，∴y=S△ABD﹣S△APQ，=44﹣?x?x，=﹣x2+8，②4≤ x≤8時，y=S△BCD﹣S△CPQ=44﹣?（8﹣x）?（8﹣x），=﹣（8﹣x）2+8，所以，y與x之間的函數關系可以用兩段二次函數圖象表示，縱觀各選項，只有B選項圖象符合．故選：B．【例17】 關于x的一元二次方程ax2﹣3x﹣1=0的兩個不相等的實數根都在﹣1和0之間（不包括﹣1和0），則a的取值范圍是 ．【解答】解：∵關于x的一元二次方程ax2﹣3x﹣1=0的兩個不相等的實數根∴△=（﹣3）2﹣4a（﹣1）＞0，解得：a＞設f（x）=ax2﹣3x﹣1，如圖，∵實數根都在﹣1和0之間，∴，∴，且有f（﹣1）＜0，f（0）＜0，即f（﹣1）=a（﹣1）2﹣3（﹣1）﹣1＜0，f（0）=﹣1＜0，解得：a＜﹣2，∴＜a＜﹣2，故答案為：＜a＜﹣2．【例18】 已知：y關于x的函數y=（k﹣1）x2﹣2kx+k+2的圖象與x軸有交點．（1）求k的取值范圍．（2）若函數圖象與x軸有兩個交點，且滿足k2﹣2k﹣2=0．①求k的值；②當k≤x≤k+2時，請結合函數圖象確定y的最大值和最小值．【解答】解：（1）當k=1時，函數為一次函數y=﹣2x+3，其圖象與x軸有一個交點．當k≠1時，函數為二次函數，其圖象與x軸有一個或兩個交點，令y=0得（k﹣1）x2﹣2kx+k+2=0．△=（﹣2k）2﹣4（k﹣1）（k+2）≥0，解得k≤2．即k≤2且k≠1．綜上所述，k的取值范圍是k≤2． （2）①∵圖象與x軸有兩個交點，可知k＜2且k≠1．由k2﹣k﹣2=0解得：k1=﹣1，k2=2 （不合題意，舍去）．∴所求k值為﹣1． ②如圖，∵k=﹣1，y=﹣2x2+2x+1=﹣2（x﹣）2+．且﹣1≤x≤1．由圖象知：當x=﹣1時，y最小=﹣3；當x=時，y最大=．∴y的最大值為，最小值為﹣3．【例19】 當x=m和x=n（m≠n）時，二次函數y=x2﹣2x+3的函數值相等，當
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