代后昆二次函數(shù)每日一題(已修改)
2025-06-19 15:20 本頁面
【正文】 【例1】 已知二次函數(shù)y=x2﹣2mx+m2+m﹣2（1）當m為何值時，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過原點．（2）當m為何值時，二次函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱．【解答】（1）∵二次函數(shù)y=x2﹣2mx+m2+m﹣2的圖象過原點，∴把（0，0）代入，得：m2+m﹣2=0，解得m=1或﹣2，故當m為1或﹣2時，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過原點；（2）∵二次函數(shù)的對稱軸為y軸，∴﹣2m=0，解得m=0．故當m為0時，二次函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱．【例2】 如圖，在平面直角坐標系中，已知點坐標為，直線與軸相交于點，連結(jié)，拋物線從點沿方向平移，與直線交于點，頂點到點時停止移動．⑴求線段所在直線的函數(shù)解析式；⑵設(shè)拋物線頂點的橫坐標為． ①用的代數(shù)式表示點的坐標； ②當為何值時，線段最短； ⑶當線段最短時，相應(yīng)的拋物線上是否存在點，使的面積與的面積相等，若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由．【解答】解：（1）設(shè)OA所在直線的函數(shù)解析式為y=kx，∵A（2，4），∴2k=4，∴k=2，∴OA所在直線的函數(shù)解析式為y=2x．（2）①∵頂點M的橫坐標為m，且在線段OA上移動，∴y=2m（0≤m≤2）．∴頂點M的坐標為（m，2m）．∴拋物線函數(shù)解析式為y=（x﹣m）2+2m．∴當x=2時，y=（2﹣m）2+2m=m2﹣2m+4（0≤m≤2）．∴點P的坐標是（2，m2﹣2m+4）．②∵PB=m2﹣2m+4=（m﹣1）2+3，又∵0≤m≤2，∴當m=1時，PB最短是3．【例3】 如圖，二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，且OA=OC，則下列結(jié)論①abc＜0；②b2﹣4ac＞0；③ac﹣b+1=0；④OA?OB=．其中正確結(jié)論的個數(shù)是（ ?。〢．1 B．2 C．3 D．4 【解答】解：∵拋物線開口向下，∴a＜0，∵拋物線的對稱軸在y軸的右側(cè)，∴b0，∵拋物線與y軸的交點在x軸下方，∴c0，∴abc＜0，所以①正確；∵拋物線與x軸有2個交點，∴△=b2﹣4ac＞0，所以②正確；∵OA=OC，C（0，c），∴A（﹣c，0），∴ac2﹣bc+c=0，∴ac﹣b+1=0，所以③正確；設(shè)A、B兩點的橫坐標為xx2，則OA=﹣x1，OB=x2，∵x1?x2=，∴OA?OB=﹣，所以④錯誤．故選C．【例4】 如圖，直線和拋物線都經(jīng)過點．（1）求的值和拋物線的解析式；（2）求拋物線的對稱軸和頂點坐標；（3）求不等式的解集．（直接寫出答案）【解答】解：（1）把點A（1，0），B（3，2）分別代入直線y=x+m和拋物線y=x2+bx+c得：0=1+m，∴m=﹣1，b=﹣3，c=2，所以y=x﹣1，y=x2﹣3x+2；（2）由（1）知，該拋物線的解析式為：y=x2﹣3x+2，∴y=（x﹣）2﹣，∴拋物線的對稱軸是：x= ；頂點坐標是（，﹣）；（3）x2﹣3x+2＞x﹣1，解得：x＜1或x＞3．【例5】 已知函數(shù)的圖象與軸交于相異兩點、另一拋物線過、頂點為，且是等腰直角三角形，求、.【分析】根據(jù)函數(shù)y=x2﹣|x|﹣12的圖象與x軸交于相異兩點A、B，令y=0，則x2﹣|x|﹣12=0，從而確定x=177。4；再根據(jù)△APB是等腰直角三角形，可以確定P（0，4）或（0，﹣4），再根據(jù)待定系數(shù)法求解．【解答】解：根據(jù)題意，得令y=0，則x2﹣|x|﹣12=0，從而x=177。4．又△APB是等腰直角三角形，可以確定P（0，4）或（0，﹣4），①把（﹣4，0），（4，0），（0，4）代入y=ax2+bx+c，得，解得：a=，b=0，c=4．②把（﹣4，0），（4，0），（0，﹣4）代入y=ax2+bx+c，得，解得：a=﹣，b=0，c=﹣4．故答案為a=，b=0，c=4或a=﹣，b=0，c=﹣4．【例6】 已知二次函數(shù)y=﹣x2﹣mx﹣m+1（x為自變量）（1）若該函數(shù)的圖象與x軸有兩個交點，求m的取值范圍；（2）在（1）的情況下，設(shè)函數(shù)圖象與x軸的兩個交點分別為AB，且A點在B點的左邊，兩點中至少有一點在原點的右邊，又設(shè)函數(shù)圖象與y軸交于點C，若以A、B、C三點為頂點的△ABC為等腰三角形，求m的值并寫出相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式．【解答】解：（1）∵二次函數(shù)y=﹣x2﹣mx﹣m+1與x軸有兩個交點∴△=（﹣m）2﹣4（﹣1）（﹣m+1）=m2﹣4m+4=（m﹣2）2＞0∴m的取值范圍為：m≠2的任何實數(shù)．（2）令y=0，則﹣x2﹣mx﹣m+1=0解得：x1=1﹣m，x2=﹣1∴點A為（﹣1，0），點B為（1﹣m，0）∵A點在B點的左邊，兩點中至少有一點在原點的右邊∴A點中原點左側(cè)，B點中原點右側(cè)又∵函數(shù)圖象與y軸交于點C，即點C中y軸上，且點C為（0，1﹣m）當以A．B．C三點為頂點的△ABC為等腰三角形時分情況討論：
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