高三文科數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)之立體幾何部分-wenkub
2022-11-13 19:39:02 本頁(yè)面
【正文】 ?????????FG//AEP F C面面 ∥PFC面 （ 2020 中山期末） 如圖，四面體 ABCD 中， O、 E分別是 BD、 BC 的中點(diǎn)， 2 , 2 .C A C B C D B D A B A D? ? ? ? ? ? （ I）求證： AO? 平面 BCD； （ II）求異面直線 AB與 CD所成角 的余弦 ； 解： （ I）證明：連結(jié) OC , , .BO D O AB AD AO BD? ? ? ? , , .BO D O BC C D C O BD? ? ? ? 在 AOC? 中，由已知可得 1, CO?? 而 2,AC? 2 2 2 ,AO CO AC? ? ? 90 ,oAOC?? ? 即 .AO OC? 又 ,AO BD BD O C O??， AO??平面 BCD （ II） 取 AC的中點(diǎn) M，連結(jié) OM、 ME、 OE， 由 E為 BC 的中點(diǎn)知 ME∥ AB,OE ∥ DC ?直線 OE與 EM所成的銳角就是異面直線 AB 與 CD 所成的角 。所以異面直線 BF 與 DE 所成的角的大小為 60176。因?yàn)?FE//? AP，所以 FA//? EP， 同理 AB//? PC。 求證：（ 1） EF∥平面 ABC；（ 2）平面 1AFD ? 平面 11BBCC . 【解析】 本小題主要考查直線與平面、平面與平面得位置 關(guān)系，考查空間想象能力、推理論證能力。 ADBC 2? ． （ 1）求證： AB ⊥ PD ； （ 2）在線段 PB 上是否存在一點(diǎn) E ，使 AE //平面 PCD ， 若存在，指出點(diǎn) E 的位置并加以證明；若不存在， 請(qǐng)說(shuō)明理由． 解： （ 1）∵ PA ⊥平面 ABCD ， AB ? 平面 ABCD ， ∴ PA ⊥ AB ． ∵ AB ⊥ AD ， PA ? AD A? ， ∴ AB ⊥平面 PAD ， ∵ PD ? 平面 PAD ，∴ AB ⊥ PD ． （ 2）法 1: 取線段 PB 的中點(diǎn) E ， PC 的中點(diǎn) F ，連結(jié) DFEFAE , , 則 EF 是△ PBC 中位線． ∴ EF ∥ BC ， BCEF 21? ， ∵ BCAD// ， BCAD 21? ，∴ EFADEFAD ?,// ． ∴ 四邊形 EFDA 是平行四邊形， ∴ DFAE// ． ∵ AE ? 平面 PCD ， DF ? 平面 PCD ， ∴ AE ∥平面 PCD ． ∴ 線段 PB 的中點(diǎn) E 是符合題意要求的點(diǎn)． 法 2: 取線段 PB 的中點(diǎn) E ， BC 的中點(diǎn) F ，連結(jié) AFEFAE , , 則 EF 是△ PBC 的中位線．∴ EF ∥ PC ， BCCF 21? ， ∵ ?EF 平面 PCD , ?PC 平面 PCD , ∴ //EF 平面 PCD ． ∵ BCAD// ， BCAD 21? ， ∴ CFADCFAD ?,// ∴ 四邊形 DAFC 是平行四邊形， ∴ CDAF// ∵ AF ? 平面 PCD ， CD ? 平面 PCD ， ∴ AF ∥平面 PDC ． ∵ FEFAF ?? ,∴平面 //AEF 平面 PCD ． ∵ ?AE 平面 AEF ,∴ AE ∥平面 PCD ． ∴ 線段 PB 的中點(diǎn) E 是符合題意要求的點(diǎn)． = = A C D B P 圖 6 第 4 頁(yè) 共 8 頁(yè) 四、 習(xí)題選練： （ 2020 東莞一模） 若 l 為一條直線 , ??? , 為三個(gè)互不重合的平面
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