【正文】 5．簡單隨機(jī)抽樣： 獲得簡單隨機(jī)樣本的方法 5 10 統(tǒng)計(jì)學(xué)STATISTICS 一次失敗的統(tǒng)計(jì)調(diào)查 在 1936年的美國總統(tǒng)選舉前，一份名為 Literary Digest 的雜志進(jìn)行了一次民意調(diào)查。在收回的調(diào)查表中， Alf Landon非常受歡迎。這些都是值得懷疑的 5 12 統(tǒng)計(jì)學(xué)STATISTICS 抽樣單元與抽樣框 1. 抽樣單元 (Sampling unit)： 將總體劃分成互不重迭且又窮盡的若干部分，每個部分稱為一個抽樣單元 ? 每 個抽樣單元都是由若干個體組成的集合 ? 只由一個個體組成就稱為最小抽樣單元 ? 抽樣單元可以是自然形成的，也可以是人為劃定的 2. 抽樣框（ Sampling frame)：關(guān)于抽樣單元的名冊或清單 ? 上一級別的某個抽樣單元被抽中，必須在下一級別抽樣框中連續(xù)抽樣 ? 有效的抽樣框所包含的抽樣單元應(yīng)既無遺漏又無重復(fù) 5 13 統(tǒng)計(jì)學(xué)STATISTICS 參數(shù)與統(tǒng)計(jì)量 例：設(shè) 是總體 容量為 n的樣本，則 ),( 21 nXXX ? X樣本均值 (Sample mean)： 樣本方差 (Sample variance)： ???niiXnX11????nii XXnS122 )(1???nikik XnA 11k階原點(diǎn)矩 (Moment of order )： k都是統(tǒng)計(jì)量 統(tǒng)計(jì)量是不含任何未知參數(shù)的樣本函數(shù)。 根據(jù)對樣本的要求不同，又分考慮順序的抽樣和不考慮順序的抽樣 抽樣方法的不同 ,獲得樣本的可能數(shù)目也不同 . 5 19 統(tǒng)計(jì)學(xué)STATISTICS 樣本的可能數(shù)目 （ 1）考慮順序的不重復(fù)抽樣，樣本的可能數(shù)目為： （ 2）考慮順序的重復(fù)抽樣，樣本的可能數(shù)目為： （ 3）不考慮順序的不重復(fù)抽樣，樣本的可能數(shù)目為： （ 4）不考慮順序的重復(fù)抽樣，樣本的可能數(shù)目為： )!(!)1()2)(1(nNNnNNNNA nN ??????? ?nnN NB ?)!(!!!)1()2)(1(nNnNnnNNNNC nN ??????? ?n nNnN CD 1???5 20 統(tǒng)計(jì)學(xué)STATISTICS 分層抽樣 (分類抽樣、類型抽樣） (stratified sampling) 1. 將抽樣單位按某種特征或某種規(guī)則劃分為不同的層 ， 然后從不同的層中獨(dú)立 、 隨機(jī)地抽取樣本 . 2. 優(yōu)點(diǎn) : ? 保證樣本的結(jié)構(gòu)與總體的結(jié)構(gòu)比較相近 ， 從而提高估計(jì)的精度 ? 組織實(shí)施調(diào)查方便 ? 既可以對總體參數(shù)進(jìn)行估計(jì) ， 也可以對各層的目標(biāo)量進(jìn)行估計(jì) 5 21 統(tǒng)計(jì)學(xué)STATISTICS 系統(tǒng)抽樣（機(jī)械抽樣、等距抽樣） (systematic sampling) 1. 將總體中的所有單位 (抽樣單位 )按一定順序排列 ， 在規(guī)定的范圍內(nèi)隨機(jī)地抽取一個單位作為初始單位 ， 然后按事先規(guī)定好的規(guī)則確定其他樣本單位 . ? 先從數(shù)字 1到 k之間隨機(jī)抽取一個數(shù)字 r作為初始單位 ， 以后依次取 r+k， r+2k… 等單位 2. 優(yōu)點(diǎn)：操作簡便 ， 可提高估計(jì)的精度 3. 缺點(diǎn)：對估計(jì)量方差的估計(jì)比較困難 5 22 統(tǒng)計(jì)學(xué)STATISTICS 整群抽樣 (cluster sampling) 1. 將總體中若干個單位合并為組 (群 ),抽樣時直接抽取群 ， 然后對中選群中的所有單位全部實(shí)施調(diào)查 . 2. 特點(diǎn) : ? 抽樣時只需群的抽樣框 ， 可簡化工作量 ? 調(diào)查的地點(diǎn)相對集中 ， 節(jié)省調(diào)查費(fèi)用 ， 方便調(diào)查的實(shí)施 . ? 缺點(diǎn)是估計(jì)的精度較差 . 5 23 統(tǒng)計(jì)學(xué)STATISTICS 二階抽樣與多階段抽樣 (twoamp。 總體的均值 、 方差及分布如下 總體分布 1 4 2 3 0 .1 .2 .3 ????NxNii?)(122 ?????NxNii ??均值和方差 5 30 統(tǒng)計(jì)學(xué)STATISTICS 樣本均值的抽樣分布 (例題分析 ) ? 現(xiàn)從總體中抽取 n＝ 2的簡單隨機(jī)樣本 ， 在重復(fù)抽樣條件下 ， 共有 42=16個樣本 。 estimated value) ??5 49 統(tǒng)計(jì)學(xué)STATISTICS 點(diǎn)估計(jì) (point estimate) 1. 點(diǎn)估計(jì)量： 設(shè)總體 的分布類型已知 ， 但包含未知參數(shù) ?， 從總體中抽取一個簡單隨機(jī)樣本 ， 構(gòu)造 一個適當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計(jì)量 作為 ?的估計(jì) ， 稱 為未知參數(shù) ?的點(diǎn)估計(jì)量 2. 用樣本的估計(jì)量直接作為總體參數(shù)的估計(jì)值 ? 例如：用樣本均值直接 作為 總體均值的估 ? 例如：用兩個樣本均值之差直接 作為 總體均值之差的估計(jì) 3. 沒有給出估計(jì)值接近總體未知參數(shù)程度的信息 ),( 21 nXXX ?X),(? 21 nXXXT ?????5 50 統(tǒng)計(jì)學(xué)STATISTICS 點(diǎn)估計(jì)的常用方法 （一）矩法估計(jì) 用總體矩對應(yīng)的樣本矩作為其點(diǎn)估計(jì)量。 為對產(chǎn)品質(zhì)量進(jìn)行檢測 ， 該企業(yè)質(zhì)檢部門采用抽樣技術(shù) ， 每天抽取一定數(shù)量的食品 ， 以分析每袋重量是否符合質(zhì)量要求 。 根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計(jì)算得： 總體均值 ?在 1?置信水平下的置信區(qū)間為 ( ),18000258000251012?????????NnNnzx??該食品平均重量的置信區(qū)間為 ~ ?x注：在不重復(fù)抽樣條件下，置信區(qū)間取 12 ???NnNnzx ??5 69 統(tǒng)計(jì)學(xué)STATISTICS 總體均值的區(qū)間估計(jì) (例題分析 ) 【 例 】 一家保險公司收集到由 36投保個人組成的隨機(jī)樣本 ， 得到每個投保人的年齡 (周歲 )數(shù)據(jù)如下表 。 隨著自由度的增大 ， 分布也逐漸趨于正態(tài)分布 x t 分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的比較 t 分布 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 t 不同自由度的 t分布 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 t (df = 13) t (df = 5) z 5 73 統(tǒng)計(jì)學(xué)STATISTICS 總體均值的區(qū)間估計(jì) (例題分析 ) 【 例 】 已知某種燈泡的壽命服從正態(tài)分布 ， 現(xiàn)從一批燈泡中隨機(jī)抽取 16只 ， 測得其使用壽命 (小時 )如下 。 根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計(jì)算得總體均值 ?在 1?置信水平下的置信區(qū)間為 95％ 的置信水平下估計(jì)贊成改革的人數(shù)比例的置信區(qū)間為 %～ % ( )%%,%%75110002022000100%)751%(%751)1(2?????????????NnNnppzp?5 79 統(tǒng)計(jì)學(xué)STATISTICS 總體方差的區(qū)間估計(jì) 5 80 統(tǒng)計(jì)學(xué)STATISTICS 總體方差的區(qū)間估計(jì) 1. 估計(jì)一個總體的方差或標(biāo)準(zhǔn)差 2. 假設(shè)總體服從正態(tài)分布 3. 總體方差 ? 2 的點(diǎn)估計(jì)量為 S2,且 4. 總體方差在 1? 置信水平下的置信區(qū)間為 ( ) ( )1~1 222?? nsn ??( )( )( )( )111122122222??????? nsnnsn?? ???5 81 統(tǒng)計(jì)學(xué)STATISTICS 總體方差的區(qū)間估計(jì) (圖示 ) ? 2 ? 21?? ?2 ? 2? ?2 總體方差 1?? 的置信區(qū)間 自由度為 n1的 ?2 5 82 統(tǒng)計(jì)學(xué)STATISTICS 總體方差的區(qū)間估計(jì) (例題分析 ) 【 例 】 食品廠從生產(chǎn)的罐頭中隨機(jī)抽取 15個稱量其重量 ， 得樣本方差 s2 =（ 克 2 ） ， 設(shè)罐頭重量服從正態(tài)分布， 試求其方差的置信水平為 90%的置信區(qū)間 。 試以 95%的置信水平建立兩種方法組裝產(chǎn)品所需平均時間差值的置信區(qū)間 兩個方法組裝產(chǎn)品所需的時間 方法 1 方法 2 2 1 5 94 統(tǒng)計(jì)學(xué)STATISTICS 兩個總體均值之差的估計(jì) (例題分析 ) 解 : 根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計(jì)算得 合并估計(jì)量為： 兩種方法組裝產(chǎn)品所需平均時間之差的置信區(qū)間為 ~ ?x ?s ?x ?s )112()112(2 ??? ??????ps12112 7 3 )( ???????? ?????5 95 統(tǒng)計(jì)學(xué)STATISTICS 兩個總體均值之差的估計(jì) (小樣本 : ?12?? 22 ) 1. 假定條件 ? 兩個 總體都服從正態(tài)分布 ? 兩個總體方差未知且不相等： ?1２ ??2２ ? 兩個獨(dú)立的小樣本 (n130和 n230) 2. 使用統(tǒng)計(jì)量 )(~)()(2221212121 vtnsnsxx