【正文】 5 93 統(tǒng)計學STATISTICS 兩個總體均值之差的估計 (例題分析 ) 【 例 】 為估計兩種方法組裝產(chǎn)品所需時間的差異 ， 分別對兩種不同的組裝方法各隨機安排 12名工人 ， 每個工人組裝一件產(chǎn)品所需的時間 （ 分鐘 ） 下如表 。 根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計算得總體均值 ?在 1?置信水平下的置信區(qū)間為 95％ 的置信水平下估計贊成改革的人數(shù)比例的置信區(qū)間為 %～ % ( )%%,%%75110002022000100%)751%(%751)1(2?????????????NnNnppzp?5 79 統(tǒng)計學STATISTICS 總體方差的區(qū)間估計 5 80 統(tǒng)計學STATISTICS 總體方差的區(qū)間估計 1. 估計一個總體的方差或標準差 2. 假設總體服從正態(tài)分布 3. 總體方差 ? 2 的點估計量為 S2,且 4. 總體方差在 1? 置信水平下的置信區(qū)間為 ( ) ( )1~1 222?? nsn ??( )( )( )( )111122122222??????? nsnnsn?? ???5 81 統(tǒng)計學STATISTICS 總體方差的區(qū)間估計 (圖示 ) ? 2 ? 21?? ?2 ? 2? ?2 總體方差 1?? 的置信區(qū)間 自由度為 n1的 ?2 5 82 統(tǒng)計學STATISTICS 總體方差的區(qū)間估計 (例題分析 ) 【 例 】 食品廠從生產(chǎn)的罐頭中隨機抽取 15個稱量其重量 ， 得樣本方差 s2 =（ 克 2 ） ， 設罐頭重量服從正態(tài)分布， 試求其方差的置信水平為 90%的置信區(qū)間 。試以 95%的置信水平估計該城市下崗職工中女性比例的置信區(qū)間 解： 已知 n=100， p＝ 65% , 1? = 95%，z?/2= ( )%%,%%65100%)651%(65%65)1(2?????????nppzp?該城市下崗職工中女性比例的置信區(qū)間為 %~% 5 78 統(tǒng)計學STATISTICS 總體比例的區(qū)間估計 (例題分析 ) 【 例 】 某企業(yè)共有職工 1000人 ， 企業(yè)準備實行一項改革 ， 在職工中征求意見 ， 采用不重復抽樣方法 ， 隨機抽取 200人作為樣本 ， 調查結果顯示 ， 由 150人表示贊成這項改革 ， 有 50人表示反對 。 隨著自由度的增大 ， 分布也逐漸趨于正態(tài)分布 x t 分布與標準正態(tài)分布的比較 t 分布 標準正態(tài)分布 t 不同自由度的 t分布 標準正態(tài)分布 t (df = 13) t (df = 5) z 5 73 統(tǒng)計學STATISTICS 總體均值的區(qū)間估計 (例題分析 ) 【 例 】 已知某種燈泡的壽命服從正態(tài)分布 ， 現(xiàn)從一批燈泡中隨機抽取 16只 ， 測得其使用壽命 (小時 )如下 。 根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計算得： ， 總體均值 ?在 1? 置信水平下的置信區(qū)間為 ( ),362???????nszx?投保人平均年齡的置信區(qū)間為 ~ ?x ?s5 71 統(tǒng)計學STATISTICS 總體均值的區(qū)間估計 (正態(tài)總體、方差未知、小樣本 ) 1. 假定條件 ? 總體服從正態(tài)分布 ,且方差 (?２ ) 未知 ? 小樣本 (n 30) 2. 使用 t 分布統(tǒng)計量 3. 總體均值 ? 在 1?置信水平下的 置信區(qū)間為 )1(~ ??? ntnsxt ?nstx2??5 72 統(tǒng)計學STATISTICS t 分布 ? t 分布是類似正態(tài)分布的一種對稱分布 ， 它通常要比正態(tài)分布平坦和分散 。 根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計算得： 總體均值 ?在 1?置信水平下的置信區(qū)間為 ( ),18000258000251012?????????NnNnzx??該食品平均重量的置信區(qū)間為 ~ ?x注：在不重復抽樣條件下，置信區(qū)間取 12 ???NnNnzx ??5 69 統(tǒng)計學STATISTICS 總體均值的區(qū)間估計 (例題分析 ) 【 例 】 一家保險公司收集到由 36投保個人組成的隨機樣本 ， 得到每個投保人的年齡 (周歲 )數(shù)據(jù)如下表 。 試估計該批產(chǎn)品平均重量的置信區(qū)間 ， 置信水平為 95％ 。 為對產(chǎn)品質量進行檢測 ， 該企業(yè)質檢部門采用抽樣技術 ， 每天抽取一定數(shù)量的食品 ， 以分析每袋重量是否符合質量要求 。 5 59 統(tǒng)計學STATISTICS 1. 將構造置信區(qū)間的步驟重復很多次，置信區(qū)間包含總體參數(shù)真值的次數(shù)所占的比例稱為置信水平 .（樣本的估計值接近于總體參數(shù)的概率） 2. 表示為 (1 ?) ? ? ? 為是總體參數(shù) 未在 區(qū)間內的比例 3. 常用的置信水平值有 99%, 95%, 90% ? 相應的 ? 為 ， ， 置信水平 5 60 統(tǒng)計學STATISTICS 2. 區(qū)間寬度為隨機變量，置信區(qū)間為隨機區(qū)間 3. 置信水平描述了估計的可靠度，區(qū)間寬度描述 了估計的精度 4. 用一個具體的樣本所構造的區(qū)間是一個特定的區(qū)間，我們無法知道這個樣本所產(chǎn)生的區(qū)間是否包含總體參數(shù)的真值 ? 我們只能是希望這個區(qū)間是大量包含總體參數(shù)真值的區(qū)間中的一個，但它也可能是少數(shù)幾個不包含參數(shù)真值的區(qū)間中的一個 置信區(qū)間與置信水平 5 61 統(tǒng)計學STATISTICS 置信區(qū)間與置信水平 均值的抽樣分布 (1 ?) % 區(qū)間包含了 ? ? % 的區(qū)間未包含 ? ?? ?x1 – ? ? /2 ? /2 x?x5 62 統(tǒng)計學STATISTICS 影響區(qū)間寬度的因素 1. 總體數(shù)據(jù)的離散程度， 用 ? 來測度 2. 樣本容量， 3. 置信水平 (1 ?)，影響 z 的大小 nx?? ?5 63 統(tǒng)計學STATISTICS 總體均值區(qū)間估計的圖示 ? x 95% 的樣本 ? ?x ? +?x 99% 的樣本 ? ?x ? + 90%的樣本 ? ?x ? +?x x?xzx ?? ? 2??5 64 統(tǒng)計學STATISTICS 總體均值的區(qū)間估計 5 65 統(tǒng)計學STATISTICS 總體均值的區(qū)間估計 (正態(tài)總體且 ?２ 已知或非正態(tài)總體、 ?２ 未知、大樣本 ) 1. 假定條件 ? 總體服從正態(tài)分布 ,且方差 (?２ ) 已 知 ? 如果不是正態(tài)分布，可由正態(tài)分布來近似 (n ? 30) 2. 使用正態(tài)分布統(tǒng)計量 z 3. 總體均值 ? 在 1? 置信水平下的 置信區(qū)間為 )1,0(~ NnXz ? ???)(22 未知或 ?? ?? nszXnzX ??5 66 統(tǒng)計學STATISTICS 總體均值的區(qū)間估計 (例題分析 ) 【 例 】 保險公司從投保人中隨機抽取 36人 ,計算得 36人的平均年齡 歲 ， 已知投保人平均年齡近似服從正態(tài)分布 ， 標準差為 ， 試求全體投保人平均年齡的置信水平為99%的置信區(qū)間 ?X解： 已知 n=36, 1? = 99%， z?/2=。 estimated value) ??5 49 統(tǒng)計學STATISTICS 點估計 (point estimate) 1. 點估計量： 設總體 的分布類型已知 ， 但包含未知參數(shù) ?， 從總體中抽取一個簡單隨機樣本 ， 構造 一個適當?shù)慕y(tǒng)計量 作為 ?的估計 ， 稱 為未知參數(shù) ?的點估計量 2. 用樣本的估計量直接作為總體參數(shù)的估計值 ? 例如：用樣本均值直接 作為 總體均值的估 ? 例如：用兩個樣本均值之差直接 作為 總體均值之差的估計 3. 沒有給出估計值接近總體未知參數(shù)程度的信息 ),( 21 nXXX ?X),(? 21 nXXXT ?????5 50 統(tǒng)計學STATISTICS 點估計的常用方法 （一）矩法估計 用總體矩對應的樣本矩作為其點估計量。 并給出樣本均值的抽樣分布 3 2 4 4 3 2 1 1 第二個觀察值 第一個 觀察值 16個樣本的均值（ x） x 樣本均值的抽樣分布 0 P ( x ) 5 32 統(tǒng)計學STATISTICS 樣本均值的分布與總體分布的比較 (例題分析 ) ? = σ2 = 總體分布 1 4 2 3 0 .1 .2 .3 抽樣分布 P ( x ) 0 .1 .2 .3 x ?x? ?x?5 33 統(tǒng)計學STATISTICS 樣本均值的抽樣分布 與中心極限定理 ? = 50 ? =10 X 總體分布 n = 4 抽樣分布 x n =16 5?x?50?x