【正文】 統(tǒng)計學STATISTICS 均方誤差準則 （ Mean square error） 是參數(shù) ?的兩個估計量，若對 ?的一切可能值， 設 且嚴格不等式至少對參數(shù) ?的某個可能值成立， 則稱在均方誤 優(yōu)于 1?? 2??， 2221 )?()?( ???? ??? EE差意義下 1?? 2??注：均方誤差準則計量取值“集中”于參數(shù)真值得的程度 5 56 統(tǒng)計學STATISTICS 單個總體參數(shù)的區(qū)間估計 1. 總體均值的區(qū)間估計 2. 總體比例的區(qū)間估計 3. 總體方差的區(qū)間估計 5 57 統(tǒng)計學STATISTICS 區(qū)間估計 (interval estimate) 1. 在點估計的基礎上 ， 給出總體參數(shù)估計的一個區(qū)間范圍 ， 該區(qū)間由樣本統(tǒng)計量加減抽樣誤差而得到的 2. 根據樣本統(tǒng)計量的抽樣分布能夠對樣本統(tǒng)計量與總體參數(shù)的接近程度給出一個概率度量 ? 比如 ， 某班級平均分數(shù)在 75～ 85之間 ， 置信水平是 95% 樣本統(tǒng)計量 (點估計 ) 置信區(qū)間 置信下限 置信上限 5 58 統(tǒng)計學STATISTICS 置信區(qū)間 (confidence interval) 1. 設 ?是未知參數(shù)， 是來自總體的 樣本，構造兩個統(tǒng)計量 ， ，對于給定的 ? (0 ? 1), 若 、 滿足： ),( 21 nXXX ?),(? 2111 nXXXT ???),(? 2122 nXXXT ???1?? 2?????? ???? 1}??{ 21P則稱隨機區(qū)間 ]?,?[21 ?? 是參數(shù) ?置信水平為 (1 ?)的置信區(qū)間， (1 ?)稱為 ]?,?[ 21 ?? 的置信系數(shù)， 1?? 2??、 稱為置信限。 根據樣本數(shù)據計算得： 總體均值 ?在 1?置信水平下的置信區(qū)間為 ( ), ????? nzx ??故全體投保人平均年齡的置信水平為 99%的置信區(qū)間為 [， ] 5 67 統(tǒng)計學STATISTICS 總體均值的區(qū)間估計 (例題分析 ) 【 例 】 一家食品公司 ， 每天大約生產袋裝食品若干 ， 按規(guī)定每袋的重量應為 100g。 現(xiàn)從某一天生產的一批食品 8000袋中隨機抽取了 25袋 （ 不重復抽樣 ） ， 測得它們的重量如下表所示 ， 已知產品重量服從正態(tài)分布 ， 且總體方差為 100g。 25袋食品的重量 5 68 統(tǒng)計學STATISTICS 總體均值的區(qū)間估計 (例題分析 ) 解： 已知 Ｘ ~N(?， 102)， n=25, 1? = 95%， z?/2=。 試建立投保人年齡 90%的置信區(qū)間 36個投保人年齡的數(shù)據 23 35 39 27 36 44 36 42 46 43 31 33 42 53 45 54 47 24 34 28 39 36 44 40 39 49 38 34 48 50 34 39 45 48 45 32 5 70 統(tǒng)計學STATISTICS 總體均值的區(qū)間估計 (例題分析 ) 解： 已知 n=36, 1? = 90%， z?/2=。 一個特定的分布依賴于稱之為自由度的參數(shù) 。 建立該批燈泡平均使用壽命 95%的置信區(qū)間 16燈泡使用壽命的數(shù)據 1510 1520 1480 1500 1450 1480 1510 1520 1480 1490 1530 1510 1460 1460 1470 1470 5 74 統(tǒng)計學STATISTICS 總體均值的區(qū)間估計 (例題分析 ) 解： 已知 Ｘ ~N(?， ?2)， n=16, 1? = 95%， t?/2= 根據樣本數(shù)據計算得： ， 總體均值 ?在 1?置信水平下的置信區(qū)間為 ( ),162???????ntx??該種燈泡平均使用壽命的置信區(qū)間為 ～ 1490?x ?s5 75 統(tǒng)計學STATISTICS 總體比例的區(qū)間估計 5 76 統(tǒng)計學STATISTICS 總體比例的區(qū)間估計 1. 假定條件 ： 大樣本條件下，樣本比例的抽樣分布可以由正態(tài)分 布來近似 2. 使用正態(tài)分布統(tǒng)計量 z )1,0(~)1(Nnpppz????3. 總體比例 ?在 1?置信水平下 的置信區(qū)間為 )(1)1()()1( 22 不重復抽樣或重復抽樣 ????? N nNn ppzpn ppzp ??5 77 統(tǒng)計學STATISTICS 總體比例的區(qū)間估計 (例題分析 ) 【 例 】 某城市想要估計下崗職工中女性所占的比例 ， 隨機地抽取了 100名下崗職工 ， 其中 65人為女性職工 。 試以 95％ 的置信水平確定贊成改革的人數(shù)比例的置信區(qū)間 解： 已知 n=200,z?/2=， p＝ 75% 。 解 :已知 n＝ 15， 1?＝ 90% ,s2 = 查卡方分布表的： 68 )1(2 2 ??n?? 57 )1(212 ??? n??( ) ( ) 2222 ????????? ??故總體方差的置信水平為 90%的置信區(qū)間為 [， ] 5 83 統(tǒng)計學STATISTICS 兩個總體參數(shù)的區(qū)間估計 1. 總體均值之差的區(qū)間估計 2. 總體比例之差的區(qū)間估計 3. 總體方差之比的區(qū)間估計 5 84 統(tǒng)計學STATISTICS 兩個總體參數(shù)的區(qū)間估計 總體參數(shù) 符號表示 樣本統(tǒng)計量 均值之差 比率之差 方差比 21 ?? ?21 ?? ?2221 ??21 xx ?21 pp ?2221 ss5 85 統(tǒng)計學STATISTICS 兩個總體均值之差的區(qū)間估計 (獨立大樣本 ) 5 86 統(tǒng)計學STATISTICS 兩個總體均值之差的估計 (大樣本 ) 1. 假定條件 ? 兩個 總體都服從正態(tài)分布 ， ?1２ 、 ?2２ 已知 ? 若不是正態(tài)分布 , 可以用正態(tài)分布來近似(n1?30和 n2?30) ? 兩個樣本是獨立的隨機樣本 2. 使用正態(tài)分布統(tǒng)計量 z )1,0(~)()(2221212121 Nnnxxz?????????5 87 統(tǒng)計學STATISTICS 兩個總體均值之差的估計 (大樣本 ) 1. ?1２ ， ?2２ 已知時 ， 兩個總體均值之差 ?1?2在1? 置信水平下的置信區(qū)間為 222121221 )( nnzxx??? ???222121221 )( nsnszxx ??? ?2. ?1２ 、 ?2２ 未知時， 兩個總體均值之差 ?1?2在 1? 置信水平下的置信區(qū)間為 5 88 統(tǒng)計學STATISTICS 兩個總體均值之差的估計 (例題分析 ) 【 例 】 某地區(qū)教育委員會想估計兩所中學的學生高考時的英語平均分數(shù)之差 ， 為此在兩所中學獨立抽取兩個隨機樣本 ， 有關數(shù)據如右表 。 假定兩種方法組裝產品的時間服從正態(tài)分布 ， 且方差相等 。 假定第一種方法隨機安排 12名工人 ， 第二種方法隨機安排名工人 ， 即 n1=12， n2=8 ， 所得的有關數(shù)據如表 。 以95%的置信水平建立兩種方法組裝產品所需平均時間差值的置信區(qū)間 兩個方法組裝產品所需的時間 方法 1 方法 2 2 1 5 98 統(tǒng)計學STATISTICS 兩個總體均值之差的估計 (例題分析 ) 解 : 根據樣本數(shù)據計算得 自由度為： 兩種方法組裝產品所需平均時間之差的置信區(qū)間為 ~ ?x ?s ?x ?s( ) ( )18112812222??????????? ??v )( ??????5 99 統(tǒng)計學STATISTICS 兩個總體比率之差的區(qū)間估計 5 100 統(tǒng)計學STATISTICS 1. 假定條件 ? 兩個 總體服從二項分布 ? 可以用正態(tài)分布來近似 ? 兩個樣本是獨立的 2. 兩個總體比率之差 ?1? 2在 1? 置信水平下的置信區(qū)間為 兩個總體比率之差的區(qū)間估計 ( )222111221)1()1(nppnppzpp????? ?5 101 統(tǒng)計學STATISTICS 兩個總體比率之差的估計 (例題分析 ) 【 例 】 在某個電視節(jié)目的收視率調查中 ， 農村隨機調查了 400人 ， 有 32%的人收看了該節(jié)目；城市隨機調查了 500人 ， 有 45%的人收看了該節(jié)目