【正文】 的 區(qū)間叫做 置信區(qū)間 。 52 作為參數(shù)的區(qū)間估計(jì)，應(yīng)滿足以下兩個(gè)要求：一是估計(jì)的精度要求，二是可靠性要求。允許誤差的最大值，可通過極限誤差來反映。極限誤差的大小 要 根據(jù)研究對(duì)象的變異程度和分析任務(wù)的性質(zhì)來確定。在區(qū)間估計(jì)中，置信度十分重要。 能夠給出置信度的前提條件是，能夠證實(shí)估計(jì)量 ?? 服從（精確地或是近似地）某種已知的常見分布。根據(jù)簡單隨機(jī)樣本的定義，自然有，各個(gè) Xi（ i =1 ， 2 ，?， n ）獨(dú)立，并且與 X 有相同的分布，即 ? ?2,~ ??Nxi。 55 （ 一 ） 總體方差σ2已知的情形 1. 點(diǎn) 估計(jì) 11? niiXX n???? ? （ 5. 20 ） 56 2 . 區(qū)間估計(jì) 根據(jù)《抽樣分布》一節(jié)的論述，我們已知2~ ( , )XXN ??。如果我們?cè)趫D 5 1 的兩個(gè)尾部各取面積 α /2 ，臨界值（我們把截取尾部面積的橫坐標(biāo)點(diǎn)叫做臨界值）分別為 /2z ?和 +/2z ?，那末，顯然有： ? ?/ 2 / 2 1P z Z z?? ?? ? ? ? ? （ ） 57 58 將式（ ）代入式（ ）得到： / 2 / 21XXP z z??????? ?? ? ? ? ????? （ ） 在式（ ）的括號(hào)內(nèi)做不等式的等價(jià)變換后得到： ? ?/ 2 / 2 1XXP X z X z?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? （ 4 ） 通常，我們先給出置信度??1的具體數(shù)值，根據(jù)這個(gè)數(shù)值查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表求得/2z ?值，然后計(jì)算置信區(qū)間的上下限?？傮w均值的 置信度為??1的區(qū)間估計(jì)為： /2? zn??? ? （ ） 抽樣 極限誤差為 : ? =/2zn?? （ 5. 26 ） 60 不放回抽樣的場合，?????????12NnNnx??。從某日生產(chǎn)的大量產(chǎn)品中隨機(jī)抽取 6 個(gè)，測得平均直徑為 16厘米，試在 0 .95 的置信度下，求該產(chǎn)品直徑的均值置信區(qū)間。 樣本平均數(shù) X = 16 樣本平均的標(biāo)準(zhǔn)差x?=n?=6= 0 .05 / 2 1 .9 6z ? 抽樣極限誤差 ? =2??x?= 4= 所求 μ 的置信區(qū)間為： 16 0. 04 μ 16 + 即 （ ， ）。對(duì)該城市居民戶均用于報(bào)刊的消費(fèi)支出做區(qū)間估計(jì) (置信水平為 95% )。以 95%的置信水平求該學(xué)校在校學(xué)生的平均體重的置信區(qū)間。 按照與總體方差已知 場合相 類似的方法，對(duì) X 進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)變換后得到： t =xXS? （ ） 數(shù)學(xué)上可以證明 , 當(dāng)總體為正態(tài)分布時(shí)，式（ ）服從自由度為1?n的 t 分布。于是可以寫出 ? ? ? ?11221nnxXP t tS???????? ?? ? ? ? ????? （ ） 對(duì)括號(hào)內(nèi)的不等式作等價(jià)變換以后的得到 ? ? ? ?? ?1122 1nnxxP X t S X t S?? ????? ? ? ? ? ? （ ） 67 放回抽樣的場合，XSS=n。 解：樣本平均數(shù) X = 16 XS=Sn= 56= 610 . 0 5 / 2()t ? ? ? ==/2( n 1 ) Stn?= 04= 25 所求 μ 的置信區(qū)間為： 16 0. 0525 μ 16+ ，即（ ， 16 .05 ）。以 95%的置信水平求該學(xué)校在校學(xué)生的平均體重的置信區(qū)間?？傮w比例可以看成是一種特殊的平均數(shù)，類似于總體均值的區(qū)間估計(jì)，總體比例的區(qū)間估計(jì)是： pzP ??2? (5 .3 1 ) 式中的樣本比例標(biāo)準(zhǔn)差在放回抽樣條件下是： ? ?nPPp??1? 在不放回抽樣的條件下是： ? ?11????NnNnPPp? 72 【例 5 5 】 在某市區(qū)隨機(jī)調(diào)查了 300 個(gè)居民戶，其中 6 戶擁有等離子電視機(jī)。 解：本例總體單位數(shù) N 很大，故采用放回抽樣的有關(guān)公式計(jì)算。 300???= 因此，所求電視機(jī)擁有率的置信區(qū)間為 8 1 ? + ， 即（ 19 ， ）。試給出該批產(chǎn)品的廢品率的區(qū)間估計(jì)（置信度 90%）。 （二）區(qū)間估計(jì) 76 【例 5 6 】 某公司生產(chǎn) 一種健康食品，對(duì)每罐食品的重量有一定規(guī)定，不允許有過大的差異。現(xiàn)從生產(chǎn)線上抽查了 10 個(gè)樣本，求得其樣本方差為 ，試對(duì)總體方差進(jìn)行置信度為 的區(qū)間估計(jì)。 這時(shí) ， 需要考慮在給定的置信度與極限誤差的前提下 ，樣本容量 n究竟取多大合適 ？ 這就是所謂樣本容量的確定問題 。即必要樣本容量n與總體方差成正比。即在給定的置信水平下，允許誤差越大，樣本容量就可以越??；允許誤差越小，樣本容量就必須加大。也就是說，我們要求的可靠程度越高，樣本容量就應(yīng)該越大。 84 ? ，需要同時(shí)估計(jì)總體均值與比率，可用上面的公式同時(shí)計(jì)算出兩個(gè)樣本容量，取其中較大的結(jié)果，同時(shí)滿足兩方面的需要。例如計(jì)算得到：n=，那么，樣本容量取 57，而不是 56。按歷史上的兩次調(diào)查資料，分 別 計(jì) 算 比 例 的 方 差 為 ： ( 1 5 ) =0. 1 125 ，和 ( 1 3 ) = 131 。由于企業(yè)產(chǎn)品數(shù)量一般都較大，抽出樣本在總體中所占的比重很小，無論是放回抽樣還是不放回抽樣，結(jié)果相差不大，可按放回抽樣方式計(jì)算，所以至少應(yīng)抽取的樣本容量是： ? ?? ?222221??????PPPzn??= 4 應(yīng)抽取 174 件產(chǎn)品進(jìn)行檢驗(yàn)。采用隨機(jī)重復(fù)抽樣方式，需要在 % 的概率保證下，抽樣平均電流的誤差范圍不超過 安培，抽樣合格率誤差范圍不超過 5% ，試求必要的抽樣單位數(shù)。 90 第五節(jié) Excel在參數(shù)估計(jì)中的應(yīng)用 ? 【例 59】用 Excel完成本章思考與練習(xí)計(jì)算題的第 1題。 1．構(gòu)造工作表。 C、 D列為計(jì)算結(jié)果，分別在 C D2單元格存放置信下限和上限。將 A列命名為“ x”，將 B2單元格命名為“置信水平”。 分別在 C D2中輸入如下的公式： =AVERAGE(x)TINV(1置信水平 , COUNT(x)1) *STDEV(x)/SQRT(COUNT(x)) =AVERAGE(x)+TINV(1置信水平 , COUNT(x)1)*STDEV(x)/SQRT(COUNT(x)) 92 1 ． 統(tǒng)計(jì)推斷是在對(duì)所要研究的總體進(jìn)行概率抽樣的基礎(chǔ)上，利用有關(guān)的抽樣分布，根據(jù)樣本數(shù)據(jù)去估計(jì)或檢驗(yàn)總體的數(shù)量特征。 本章小結(jié) 93 3 ． 總體分布的數(shù)量特征就是總體的參數(shù)，也是統(tǒng)計(jì)推斷的對(duì)象。 樣本統(tǒng)計(jì)量是樣本的一個(gè)函數(shù)，因此是隨機(jī)變量。樣本平均數(shù)服從正態(tài)分布，即2~ ( , )XXN ??；當(dāng) n 充分大時(shí)，樣本比例近似服從正態(tài)分布( 1 ),Nn??????????；統(tǒng)計(jì)量 22( 1 )nS??服從自由度為)1( ?n的2?分布。好的統(tǒng)計(jì)量的理想性質(zhì)包括：無偏性、有效性、一致性和充分性。 7．在給定的置信度與極限誤差的前提下，樣本容量 n可利用極限誤差、臨界值與抽樣標(biāo)準(zhǔn)差三者間的數(shù)量關(guān)系去計(jì)算。 95 某地區(qū)職工家庭的人均年收入平均為 60000元，標(biāo)準(zhǔn)差為 8000元。 （ 2）樣本平均數(shù)等于或超過 62023元的可能性有多大？ 96 ? 某公司 1000名職工的人均年獎(jiǎng)金為 20230元，標(biāo)準(zhǔn)差 5000元，從中隨機(jī)抽取 36人作為樣本進(jìn)行調(diào)查，求： （ 1）樣本平均數(shù)的數(shù)學(xué)期望和標(biāo)準(zhǔn)差 （ 2）樣本的人均年獎(jiǎng)金在 19000— 22023元的概率有多大？ 97 ? 在某天生產(chǎn)的 500袋食品中，按重復(fù)抽樣方法隨機(jī)抽取 25袋進(jìn)行調(diào)查，測得平均每袋的重量為 996克。試以 95%的置信度估計(jì)該種食品平均重量的置信區(qū)間。試給出該批產(chǎn)品的廢品率的區(qū)間估計(jì)（置信度是 90%）。對(duì)該城市居民戶均用于報(bào)刊的消費(fèi)劫支出做區(qū)間估計(jì)。以 95%的置信水平求該學(xué)校在校學(xué)生的平均體重的置信區(qū)