【正文】 對該城市居民戶均用于報刊的消費劫支出做區(qū)間估計。 95 某地區(qū)職工家庭的人均年收入平均為 60000元，標(biāo)準(zhǔn)差為 8000元。 樣本統(tǒng)計量是樣本的一個函數(shù)，因此是隨機變量。 C、 D列為計算結(jié)果，分別在 C D2單元格存放置信下限和上限。由于企業(yè)產(chǎn)品數(shù)量一般都較大，抽出樣本在總體中所占的比重很小，無論是放回抽樣還是不放回抽樣，結(jié)果相差不大，可按放回抽樣方式計算，所以至少應(yīng)抽取的樣本容量是： ? ?? ?222221??????PPPzn??= 4 應(yīng)抽取 174 件產(chǎn)品進行檢驗。也就是說，我們要求的可靠程度越高，樣本容量就應(yīng)該越大?，F(xiàn)從生產(chǎn)線上抽查了 10 個樣本，求得其樣本方差為 ，試對總體方差進行置信度為 的區(qū)間估計。 解：本例總體單位數(shù) N 很大，故采用放回抽樣的有關(guān)公式計算。于是可以寫出 ? ? ? ?11221nnxXP t tS???????? ?? ? ? ? ????? （ ） 對括號內(nèi)的不等式作等價變換以后的得到 ? ? ? ?? ?1122 1nnxxP X t S X t S?? ????? ? ? ? ? ? （ ） 67 放回抽樣的場合，XSS=n。 樣本平均數(shù) X = 16 樣本平均的標(biāo)準(zhǔn)差x?=n?=6= 0 .05 / 2 1 .9 6z ? 抽樣極限誤差 ? =2??x?= 4= 所求 μ 的置信區(qū)間為： 16 0. 04 μ 16 + 即 （ ， ）。 55 （ 一 ） 總體方差σ2已知的情形 1. 點 估計 11? niiXX n???? ? （ 5. 20 ） 56 2 . 區(qū)間估計 根據(jù)《抽樣分布》一節(jié)的論述，我們已知2~ ( , )XXN ??。極限誤差的大小 要 根據(jù)研究對象的變異程度和分析任務(wù)的性質(zhì)來確定。 51 ? （四）區(qū)間估計與估計的精度和可靠性 所謂區(qū)間估計，實質(zhì)上就是用兩個互相聯(lián)系的樣本統(tǒng)計量給出 θ 的區(qū)間。下面分別介紹點估計與區(qū)間估計的有關(guān)概念。據(jù)統(tǒng)計，本年度購買此種洗發(fā)水的有 10萬人，其中 6萬是女性。 36 【例 5 5 】 從某地區(qū) 6 000 名適齡兒童中用不 放回 抽樣方法抽取 400 名兒童，其中有 320 名兒童入學(xué)，求樣本入學(xué)率的標(biāo)準(zhǔn)差。 因為2~ ( 5. 02 , 0. 3 )XN, 所以，可先將其進行標(biāo)準(zhǔn)變換，并利用上一章介紹的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布求解概率。由于該系數(shù)在 0 ， 1 之間，因此，不放回抽樣的標(biāo)準(zhǔn)差比放回抽樣小。 中心極限定理告訴我們無論總體服從何種分布，只要它的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差客觀存在，我們就可以通過增大樣本容量n 的方式，保證樣本平均數(shù) X 近似服從正態(tài)分布。 大數(shù)定理： 獨立同分布的隨機變量 X1， X2，? , Xn，?，并且有數(shù)學(xué)期望? ?iEX ??及方差? ? 2iVX ??，( i = 1,2, ? ) 。 10 名推銷員任職年限如表 5 2 。第二，每次試驗結(jié)果不是獨立的，上次中選情況影響下次抽選結(jié)果。放回抽樣的特點是：第一，n 個單位的樣本是由 n 次試驗的結(jié)果構(gòu)成的。（ 1 ）從中有目的地抽出5 號球；（ 2 ）從中隨便地取一個球；（ 3 ）把10 個球放在袋中，充分混勻，從中抽出一個球，抽取時，要求袋中各個球有相等的被抽中的概率 。 5 。樣本是從總體中抽出的部分單位的集合，這個集合的大小稱為樣本容量，一般用 n表示，它表明一個樣本中所包含的單位數(shù)。總體分布的數(shù)量特征就是總體的參數(shù)，也是抽樣統(tǒng)計推斷的對象。 6 ? （三）概率抽樣及其組織形式 所謂概率抽樣，就是要求對總體的每一次觀察（每一次抽?。┒际且淮坞S機試驗，并且有和總體相同的分布。所以，（ 3 ）的抽取行為是概率抽樣。不放回抽樣 的具體做法是： 每次從總體抽取一個單位， 記錄其標(biāo)志值后不放回原總體，不參加下一輪抽樣。 抽樣分布可能是精確地服從某種已知分布（所謂已知分布，例如我們在第四章介紹過的各種常見分布），也可能是以某種已知分布為極限分布。 ( 2) 用表 5 3 中各樣本配合方式的樣本均值（括號中數(shù)字）數(shù)據(jù)作成分布數(shù)列（表 5 4 ）便描述了樣本平均數(shù)這個統(tǒng)計量的分布。但是在客觀實際中，總體并非都是正態(tài)分布。 解： ( 1 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 1 0 ) / 1 0 = 5 . 5? ?? 2 2 2( 1 5 .5 ) ( 2 5 .5 ) ( 10 5 .5 ) / 10 2 .8 72 28? ??? ? ? ? ? ? ??? E ( X ) 5 .5??? 2 .87 22 8 / 2 2 .03 10xn?? ? ? ? 27 在不放回抽樣的情況下，數(shù)學(xué)上可以證明，其 樣本平均數(shù)的期望值同樣等于總體的期望值。通常將樣本單位數(shù)不少于 30 的稱為大樣本。 我們把樣本中“成功”的次數(shù)所占比例定義作樣本比例P 。 38 表 55 用正態(tài)分布來近似時對樣本量的要求 ? 總 體 參 數(shù) 1－ 樣本量 至少為 n 36 37 38 40 43 48 57 71 100 39 ? 例：某企業(yè)生產(chǎn)的一種產(chǎn)品，根據(jù)以往的經(jīng)驗，合格率為 95%。例如，估計總體均值，估計總體比例和總體方差等等。 48 *()?f? ? *()?E?()?f估計值 偏倚 概 率 密 度 49 概 率 密 度 ??*()f ??()f ?估計值 50 3. 一致性 ， 一致性是指隨著樣本容量不斷增大，樣本統(tǒng)計量接近總體參數(shù)的可能性就越來越大，或者，對于任意給定的偏差控制水平，兩者間偏差高于此控制水平的可能性越來越小，接近于 0 。 所謂精度要求就是估計誤差必須控制在一定的范圍內(nèi)。 54 ? 二 、 總體均值的估計 設(shè)隨機變量 ? ?2,~ ??NX， ( X1， X 2，?， X n)是取自 X 的簡單隨機樣本?？傮w均值的 置信度為??1的區(qū)間估計為： /2?N nzN 1n??? ? ( ) 抽樣 極限誤差為： ? = /2N nzN 1n?? （ ） 61 【例 5 3 】 某企業(yè)加工的產(chǎn)品直徑 X 是一隨機變量，且服從方差為 0 .0025的正態(tài)分布。 64 ? （二）總體方差 σ2未知的情形 1. 點 估計 11? niiXX n???? ? ( 5 . 25 ) 65 由于總體方差 σ2未知，因此，需要用總體方差的無偏估計量 S 2來代替 σ