【正文】 隨機(jī)變量及其概率分布隨機(jī)變量及其概率分布168。 試問 隨機(jī) 進(jìn) 入 電 梯 18人， 總 重量超重的概率是多少？現(xiàn)質(zhì)檢部門從該廠隨機(jī)抽取了 50個電瓶進(jìn)行壽命檢驗。 設(shè) 若 U為 服從自由度 為 n1的 ?2分布，即 U～ ?2(n1)， V為 服從自由度 為 n2的 ?2分布，即 V～ ?2(n2),且U和 V相互獨(dú)立， 則216。 則 于 1863年首先 給 出，后來由海 爾 墨特 (Hermert)和卡 分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的比較分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的比較t 分布分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布t不同自由度的不同自由度的 t分布分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布t (df=(sampling distribution)統(tǒng)計學(xué)STATISTICS【 例 52】 設(shè)一個總體，含有 4個元素 (個體 )樣本方差的抽樣分布樣本方差的抽樣分布抽樣分布的概念抽樣分布的概念2. 隨機(jī) 變量 X落入任一區(qū)間 (a， b)的概率為 試求該乘客等候乘車的均勻分布。)? )，有統(tǒng)計學(xué)STATISTICS 標(biāo)準(zhǔn)化的例子? ?b?法則 —— 關(guān)于鐘形分布的一個近似的或經(jīng)驗的法則：– 變量值落在 x=Gauss， 1777— 1855)作為描述誤差相對頻數(shù)分布的模型而提出。連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和方差1）連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望2）方差統(tǒng)計學(xué)STATISTICSX?f(x)表示 X 的所有取值 求：損的。解：解： 設(shè)設(shè) X=10分鐘內(nèi)航空公司預(yù)訂票處接到的電話次數(shù)分鐘內(nèi)航空公司預(yù)訂票處接到的電話次數(shù) 統(tǒng)計學(xué)STATISTICS3－ 78（ 1）當(dāng)試驗的次數(shù) x — 給定的時間間隔、長度、面則任取一件為廢品或合格品這一表示。有有 3個以下次品的概率是多少？個以下次品的概率是多少？ 次試驗，出現(xiàn) “成功 ”的次數(shù)的概率分布稱為二項分布，記為 X~B(n， p)4）設(shè) X為 數(shù)學(xué)期望和方差統(tǒng)計學(xué)STATISTICS3－ 641.求正好發(fā)生兩次故障的概率求正好發(fā)生兩次故障的概率x2p(x2)等表示。P(?B)=11/2A =P(A|?B)=1/n1第二個人摸到獎券，第二個人摸到獎券， B =兩個不相容事件一定是統(tǒng)計相依的，兩個獨(dú)立事件一定是相容的（除非其中有一個事件的概率為 0）?；ゲ幌嗳菔侵竷蓚€事件不能同時發(fā)生。每個盒子里摸球的盒子摸球。? , P(B|A)=3/52/4=統(tǒng)計學(xué)STATISTICS3－ 423. 獨(dú)立事件1）若 P(A|B)=P(A)或 P(B|A)=P(B)(4)統(tǒng)計學(xué)STATISTICS3－ 391）用來計算兩事件交的概率2）以條件概率的定義為基礎(chǔ)3）設(shè) A， B為兩個事件，若 P(B)0，則 P(AB)=P(B)P(A|B)A =(3)條件概率與事件的獨(dú)立性統(tǒng)計學(xué)STATISTICS3－ 351.P(B)P(B) 它是樣本空間中所有不屬于事件 A的樣本點(diǎn)的集合A??P(? )=04）可加性 :P ?求出其點(diǎn) 數(shù)為數(shù)為 1點(diǎn)或點(diǎn)或 2點(diǎn)或點(diǎn)或 3點(diǎn)或點(diǎn)或 4點(diǎn)或點(diǎn)或 5點(diǎn)或點(diǎn)或 6點(diǎn)的概率點(diǎn)的概率統(tǒng)計學(xué)STATISTICS3－ 28u 概率的性質(zhì) (小結(jié) )1）非負(fù)性 :統(tǒng)計學(xué)STATISTICS3－ 26u 互斥事件加法規(guī)則1）若兩個事件 A與 B互斥，則事件 A發(fā)生或事件 B發(fā)生的概率等于這兩個事件各自的概率之和，即 該項試驗會有 4個互斥事件之一發(fā)生個互斥事件之一發(fā)生 (1) 兩枚硬幣都正面朝上，記為兩枚硬幣都正面朝上，記為 H1H2 (2) 1號硬幣正面朝上而號硬幣正面朝上而 2號硬幣反面朝上，記為號硬幣反面朝上，記為 H1T2 (3) 1號硬幣反面朝上而號硬幣反面朝上而 2號硬幣正面朝上，記為號硬幣正面朝上，記為 T1H2 (4) 兩枚硬幣都是反面朝上，記為兩枚硬幣都是反面朝上，記為 T1T2統(tǒng)計學(xué)STATISTICS3－ 25 事件 A與 B是互斥事件。(2)概率的性質(zhì)和運(yùn)算法則統(tǒng)計學(xué)STATISTICS3－ 21互斥事件及其概率(mutually exclusive events)168。記為 P(A)3. ”411?A BA B統(tǒng)計學(xué)STATISTICS（ 5）交（積）：運(yùn)算式 AB或 A∩B，稱作“A與 B的交（或積） ”，表示 “事件 A和 B同時出現(xiàn) ”?；?稱作 “B包含 A”，表示 “若 A出現(xiàn)，– 擲一顆骰子，觀察其出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)– 從一副 52張撲克牌中抽取一張，并觀察其結(jié)果(紙牌的數(shù)字或花色 )2）試驗的特點(diǎn)– 可以在相同的條件下重復(fù)進(jìn)行– 每次試驗的可能結(jié)果可能不止一個，但試驗的所有可能結(jié)果在試驗之前是確切知道的– 在試驗結(jié)束之前，不能確定該次試驗的確切結(jié)果1. 試 驗統(tǒng)計學(xué)STATISTICS3－ 72.試驗、事件和樣本空間 熟練運(yùn)用中心極限定理。168。章章 事件及其概率事件及其概率中心極限定理的應(yīng)用中心極限定理的應(yīng)用統(tǒng)計學(xué)STATISTICS3－ 3學(xué)習(xí)目標(biāo)168。 掌握樣本均值、比率和方差的抽樣分掌握樣本均值、比率和方差的抽樣分布。事件及其概率事件及其概率（反之則未必）， 當(dāng)試驗的次數(shù)很多時，概率 P(A)可以由所觀察到的事件 A發(fā)生次數(shù) (頻數(shù) )的比例來逼近– 在相同條件下，重復(fù)進(jìn)行 n次試驗，事件A發(fā)生了 m次，則事件 A發(fā)生的概率可以寫為統(tǒng)計學(xué)STATISTICS3－ 22【 例 】 在一所城市中隨機(jī)抽取 600個家庭，用以確定擁有個人電腦的家庭所占的比例。(3) 不可能恰好有 100個家庭擁有電腦因為張三 件與有可能同時發(fā)生恰好有同時拋擲兩枚硬幣，并考察其結(jié)果。由于每一枚硬幣出現(xiàn)正面或出現(xiàn)反面的概率都是1/2，當(dāng)拋擲的次數(shù)逐漸增大時，上面的 4個簡單事件中每一事件發(fā)生的相對頻數(shù) (概率 )將近似等于 1/4。P(A∪ B)=P(A1)+P(A2)一個事件的概率是一個介于 0與 1之間的值，即對于任意事件 P(A1)+P(A2)+…+ P(An)統(tǒng)計學(xué)STATISTICS3－ 29事件的補(bǔ)及其概率168。=它是由屬于事件 A或事件或事件 B的所有樣的所有樣本點(diǎn)的集合，記為本點(diǎn)的集合，記為 A∪∪ B或或 A+BBA?A∪∪ B統(tǒng)計學(xué)STATISTICS3－ 32廣義加法公式(事件的交或積 ) A B?A∩B? 事件事件 A與事件與事件 B同時發(fā)生的事件，稱為事件同時發(fā)生的事件，稱為事件 A與與事件事件 B的交，它是由屬于事件的交，它是由屬于事件 A也屬于事件也屬于事件 B的所的所有公共樣本點(diǎn)所組成的集合，記為有公共樣本點(diǎn)所組成的集合，記為 B∩A 或或 AB統(tǒng)計學(xué)STATISTICS3－ 33 解： 設(shè) A =員工離職是因為對工資不滿意 B =員工離職是因為對工作不滿意 依題意有： P(A)=； P(B)=； P(AB)=統(tǒng)計學(xué)STATISTICS求：品也購買其他商品。求某住戶既訂閱日報又訂閱晚報的概率既訂閱日報又訂閱晚報的概率 解：解： 設(shè)設(shè) B =某住戶訂閱了晚報某住戶訂閱了晚報 第第 2次摸到紅球次摸到紅球 P(B)3）若事件 A1,A2,? ,An相互獨(dú)立，則 A =在沒兩個游客都照相留念是兩個事件的交。A =從第二個盒子里摸到紅球從第二個盒子里摸到紅球 全概率公式B?B5 B4B?B3?完備事件組完備事件組統(tǒng)計學(xué)STATISTICS3－ 48【【 例例 】】 假設(shè)在假設(shè)在 n張彩票中只有一張中獎獎券，那么第張彩票中只有一張中獎獎券，那么第二個人摸到獎券的概率是多少？二個人摸到獎券的概率是多少？ 考試結(jié)束后發(fā)現(xiàn)他答對了，那么他。投擲兩枚硬幣出現(xiàn)正面的數(shù)量統(tǒng)計學(xué)STATISTICS4542.統(tǒng)計學(xué)STATISTICS3－ 55u 離散型隨機(jī)變量的一些例子試驗 隨機(jī)變量 可能的取值抽 查 100個 產(chǎn)品一家餐館營業(yè)一天電腦公司一個月的銷售銷售一輛汽車取到次品的個數(shù)顧 客數(shù)銷 售量顧 客性 別0,1,2, … ,1000,1,2, …0,1, 2,…男性 為 0,女性 為 1統(tǒng)計學(xué)STATISTICS3－ 56u 連續(xù)型隨機(jī)變量的一些例子試驗 隨機(jī)變量 可能的取 值抽 查 一批 電 子元件新建一座住宅樓測量一個產(chǎn)品的長 度使用壽命 (小 時 )半年后工程完成的百分比測 量 誤 差 (cm)X ? 00? X ?100X ? 0統(tǒng)計學(xué)STATISTICSx3離散型隨機(jī)變量概率分布的性質(zhì)變量 X (1)由于由于 +++? =1離散型隨機(jī)變量的或 ?D(X)統(tǒng)計學(xué)STATISTICS3－ 66【【 例例 】】 一家電腦配件供應(yīng)商聲稱，他所提供的配一家電腦配件供應(yīng)商聲稱，他所提供的配件件 100個中擁有次品的個數(shù)及概率如下表個中擁有次品的個數(shù)及概率如下表 – 試驗是相互獨(dú)立的，并 可以重復(fù)進(jìn)行 n次 x當(dāng) n = 1 時，二項分布退化為兩點(diǎn)分布：或統(tǒng)計學(xué)STATISTICS3－ 74【【 例例 】】 已知一批產(chǎn)品的次品率為已知一批產(chǎn)品的次品率為 p＝＝ ，合格率，合格率為為 q=1p==。 給定的時間間隔、長度、面 積、體積內(nèi) “成功 ”的 平均數(shù)e超幾何分布1）采用不重復(fù)抽樣，各次試驗并不獨(dú)立，成功的概率也互不相等2）總體元素的數(shù)目 N很小，或?qū)嶒灤螖?shù) n相對于N來說較大時，樣本中 “成功 ”的次數(shù)則服從超幾何概率分布3）概率分布函數(shù)為4）統(tǒng)計學(xué)STATISTICS3－ 80【【 例例 】】 假定有假定有 10支股票，其中有支股票，其中有 3支購買后可以獲利，支購買后可以獲利，另外另外 7支購買后將會虧損。概率密度函數(shù)與概率密度函數(shù)1）設(shè) X為一連續(xù)型隨機(jī)變量， xax0例如： 正態(tài)隨機(jī)變量 X的均值? ?=隨機(jī)變量的取值 ?越大，正態(tài)曲線扁平； ?越小，正態(tài)曲線越陡峭u 當(dāng) X的取值向橫軸左右兩個方向無限延伸時，曲線的兩個尾端也無限漸近橫軸，理論上永遠(yuǎn)不會與之相交u 正態(tài)隨機(jī)變量在特定區(qū)間上的取值概率由正態(tài)曲線下的面積給出，而且其曲線下的總面積等于 1至少有 89%的數(shù)據(jù)位于平均數(shù) 3個標(biāo)準(zhǔn)差范圍內(nèi)。zX? ?5? ???一般正態(tài)分布一般正態(tài)分布? ??Z標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布? ?? 統(tǒng)計學(xué)STATISTICS 標(biāo)準(zhǔn)化的例子P(,b]的任一子區(qū)間 [c(2)一輛汽車到站前需要等待一輛汽車到站前需要等待 5~10分鐘分鐘 簡單隨機(jī)抽樣簡單隨機(jī)抽樣168。統(tǒng)計學(xué)STATISTICS3－ 1171. 樣本統(tǒng)計量的概率