第5章抽樣分布與參數(shù)估計(jì)-文庫(kù)吧在線文庫(kù)
【正文】 果我們?cè)趫D 5 1 的兩個(gè)尾部各取面積 α /2 ，臨界值（我們把截取尾部面積的橫坐標(biāo)點(diǎn)叫做臨界值）分別為 /2z ?和 +/2z ?，那末，顯然有： ? ?/ 2 / 2 1P z Z z?? ?? ? ? ? ? （ ） 57 58 將式（ ）代入式（ ）得到： / 2 / 21XXP z z??????? ?? ? ? ? ????? （ ） 在式（ ）的括號(hào)內(nèi)做不等式的等價(jià)變換后得到： ? ?/ 2 / 2 1XXP X z X z?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? （ 4 ） 通常，我們先給出置信度??1的具體數(shù)值，根據(jù)這個(gè)數(shù)值查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表求得/2z ?值，然后計(jì)算置信區(qū)間的上下限。對(duì)該城市居民戶均用于報(bào)刊的消費(fèi)支出做區(qū)間估計(jì) (置信水平為 95% )。 解：樣本平均數(shù) X = 16 XS=Sn= 56= 610 . 0 5 / 2()t ? ? ? ==/2( n 1 ) Stn?= 04= 25 所求 μ 的置信區(qū)間為： 16 0. 0525 μ 16+ ，即（ ， 16 .05 ）。 300???= 因此，所求電視機(jī)擁有率的置信區(qū)間為 8 1 ? + ， 即（ 19 ， ）。 這時(shí) ， 需要考慮在給定的置信度與極限誤差的前提下 ，樣本容量 n究竟取多大合適 ？ 這就是所謂樣本容量的確定問題 。 84 ? ，需要同時(shí)估計(jì)總體均值與比率，可用上面的公式同時(shí)計(jì)算出兩個(gè)樣本容量，取其中較大的結(jié)果，同時(shí)滿足兩方面的需要。采用隨機(jī)重復(fù)抽樣方式，需要在 % 的概率保證下，抽樣平均電流的誤差范圍不超過 安培，抽樣合格率誤差范圍不超過 5% ，試求必要的抽樣單位數(shù)。將 A列命名為“ x”，將 B2單元格命名為“置信水平”。樣本平均數(shù)服從正態(tài)分布，即2~ ( , )XXN ??；當(dāng) n 充分大時(shí)，樣本比例近似服從正態(tài)分布( 1 ),Nn??????????；統(tǒng)計(jì)量 22( 1 )nS??服從自由度為)1( ?n的2?分布。 （ 2）樣本平均數(shù)等于或超過 62023元的可能性有多大？ 96 ? 某公司 1000名職工的人均年獎(jiǎng)金為 20230元，標(biāo)準(zhǔn)差 5000元，從中隨機(jī)抽取 36人作為樣本進(jìn)行調(diào)查，求： （ 1）樣本平均數(shù)的數(shù)學(xué)期望和標(biāo)準(zhǔn)差 （ 2）樣本的人均年獎(jiǎng)金在 19000— 22023元的概率有多大？ 97 ? 在某天生產(chǎn)的 500袋食品中，按重復(fù)抽樣方法隨機(jī)抽取 25袋進(jìn)行調(diào)查，測(cè)得平均每袋的重量為 996克。以 95%的置信水平求該學(xué)校在校學(xué)生的平均體重的置信區(qū)間。試給出該批產(chǎn)品的廢品率的區(qū)間估計(jì)（置信度是 90%）。 7．在給定的置信度與極限誤差的前提下，樣本容量 n可利用極限誤差、臨界值與抽樣標(biāo)準(zhǔn)差三者間的數(shù)量關(guān)系去計(jì)算。 本章小結(jié) 93 3 ． 總體分布的數(shù)量特征就是總體的參數(shù)，也是統(tǒng)計(jì)推斷的對(duì)象。 1．構(gòu)造工作表。按歷史上的兩次調(diào)查資料，分 別 計(jì) 算 比 例 的 方 差 為 ： ( 1 5 ) =0. 1 125 ，和 ( 1 3 ) = 131 。即在給定的置信水平下，允許誤差越大，樣本容量就可以越??；允許誤差越小，樣本容量就必須加大。 （二）區(qū)間估計(jì) 76 【例 5 6 】 某公司生產(chǎn) 一種健康食品，對(duì)每罐食品的重量有一定規(guī)定，不允許有過大的差異?？傮w比例可以看成是一種特殊的平均數(shù)，類似于總體均值的區(qū)間估計(jì)，總體比例的區(qū)間估計(jì)是： pzP ??2? (5 .3 1 ) 式中的樣本比例標(biāo)準(zhǔn)差在放回抽樣條件下是： ? ?nPPp??1? 在不放回抽樣的條件下是： ? ?11????NnNnPPp? 72 【例 5 5 】 在某市區(qū)隨機(jī)調(diào)查了 300 個(gè)居民戶，其中 6 戶擁有等離子電視機(jī)。 按照與總體方差已知 場(chǎng)合相 類似的方法，對(duì) X 進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)變換后得到： t =xXS? （ ） 數(shù)學(xué)上可以證明 , 當(dāng)總體為正態(tài)分布時(shí)，式（ ）服從自由度為1?n的 t 分布。從某日生產(chǎn)的大量產(chǎn)品中隨機(jī)抽取 6 個(gè)，測(cè)得平均直徑為 16厘米，試在 0 .95 的置信度下，求該產(chǎn)品直徑的均值置信區(qū)間。根據(jù)簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本的定義，自然有，各個(gè) Xi（ i =1 ， 2 ，?， n ）獨(dú)立，并且與 X 有相同的分布，即 ? ?2,~ ??Nxi。允許誤差的最大值，可通過極限誤差來(lái)反映。用公式表示就是： 1l i m ???????????????pn (5 .18 ) 4. 充分性。 參數(shù)估計(jì)有兩種基本形式：點(diǎn)估計(jì)和區(qū)間估計(jì)。現(xiàn)從生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取100件產(chǎn)品進(jìn)行檢驗(yàn)，問樣本合格率大于等于90%的概率是多少？ 40 ? 例：一種電子元件的合格率是 98%。 1NPn? （ 1 ） 34 根據(jù)上一章的介紹，我們知道， N1服從二項(xiàng)分布，它的數(shù)學(xué)期望是n ?，方差是( 1 )n ?? ?。 29 【 例 5 4 】 160 件電子元器件重量的均值為 5. 02 克，標(biāo)準(zhǔn)差為 克，從中采用不放回方式隨機(jī)抽取 64 件，試求：（ 1 ）樣本平均數(shù)的期望值與方差； （ 2 ）總重量在 克與 5. 00 克之間的概率。而樣本平均數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差為 ： ?????????12NnNnx?? ( 5 . 1 0 ) 上式中的 N 為總體單位數(shù)。對(duì)于從非正態(tài)分布的總體中抽取的樣本平均數(shù)的分布問題，需要由中心極限定理來(lái)解決。 14 第 二 次 抽 取 可 能 被 抽 中 的 人 員 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 第 一 次 抽 取 可 能 被 抽 中 的 人 員 1 1,1 (1) 1,2 () 1,3 (2) 1,4 () 1,5 (3) 1,6 () 1,7 (4) 1,8 () 1,9 (5) 1,10 () 2 2,1 () 2,2 (2) 2,3 () 2,4 (3) 2,5 () 2,6 (4) 2,7 () 2,8 (5) 2,9 () 2,10 (6) 3 3,1 (2) 3,2 () 3,3 (3) 3,4 () 3,5 (4) 3,6 () 3,7 (5) 3,8 () 3,9 (6) 3,10 () 4 4,1 () 4,2 (3) 4,3 () 4,4 (4) 4,5 () 4,6 (5) 4,7 () 4,8 (6) 4,9 () 4,10 (7) 5 5,1 (3) 5,2 () 5,3 (4) 5,4 () 5,5 (5) 5,6 () 5,7 (6) 5,8 () 5,9 (7) 5,10 () 6 6,1 () 6,2 (4) 6,3 () 6,4 (5) 6,5 () 6,6 (6) 6,7 () 6,8 (7) 6,9 () 6,10 (8) 7 7,1 (4) 7,2 () 7,3 (5) 7,4 () 7,5 (6) 7,6 () 7,7 (7) 7,8 () 7,9 (8) 7,10 () 8 8,1 () 8,2 (5) 8,3 () 8,4 (6) 8,5 () 8,6 (7) 8,7 () 8,8 (8) 8,9 () 8,10 (9) 9 9,1 (5) 9,2 () 9,3 (6) 9,4 () 9,5 (7) 9,6 () 9,7 (8) 9,8 () 9,9 (9) 9,10 () 10 10,1 () 10,2 (6) 10,3 () 10,4 (7) 10,5 () 10,6 (8) 10,7 () 10,8 (9) 10,9 () 10,10 (10) 表 53 10人中有放回抽二人的全部可能樣本 15 ? 表 54 任職年限樣本均值分布數(shù)列 樣本均值 X 樣本數(shù) P ( X ) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
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